Rectas y circunferencias en el plano
7. Traslaciones y movimientos de circunferencias en el plano
Traslaciones y movimientos de circunferencias en el plano
En la clase anterior estudiamos la ecuación de la circunferencia y aprendimos a leer su centro y su radio. Ahora daremos un paso más: analizaremos cómo cambia una circunferencia cuando se traslada en el plano y qué movimientos pueden describirse a partir de su ecuación.
La idea central es observar cómo cambia la posición del centro sin perder de vista el radio, y cómo esos cambios se reflejan en la expresión algebraica.
Objetivo de la página
- Comprender la traslación de circunferencias en el plano cartesiano.
- Relacionar cambios en la ecuación con desplazamientos del centro.
- Distinguir entre mover una circunferencia y cambiar su radio.
- Interpretar movimientos horizontales y verticales de circunferencias.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Describir cómo se traslada una circunferencia a partir de su ecuación.
- Reconocer cuándo una circunferencia mantiene su radio y solo cambia de posición.
- Construir la nueva ecuación de una circunferencia después de una traslación.
- Comparar geométricamente dos circunferencias a partir de sus ecuaciones.
La ecuación de una circunferencia con centro \((h,k)\) y radio \(r\) es:
\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]
Por lo tanto, si cambia el centro, la circunferencia se mueve en el plano.
Una traslación es un movimiento que desplaza todos los puntos de una figura la misma cantidad y en la misma dirección.
En una circunferencia, una traslación mueve el centro, pero no cambia el radio.
Si una circunferencia cambia de posición pero conserva su radio, entonces se trata de una traslación.
Si cambia el radio, ya no estamos frente al mismo movimiento, sino ante una modificación del tamaño.
No hay que confundir mover la circunferencia con agrandarla o achicarla.
Por ejemplo, pasar de \(x^2+y^2=9\) a \((x-2)^2+y^2=9\) es una traslación, pero pasar de \(x^2+y^2=9\) a \(x^2+y^2=16\) cambia el radio.
Resumen conceptual
| Cambio en la ecuación | Interpretación geométrica |
|---|---|
| \((x-h)^2+y^2=r^2\) | Traslación horizontal del centro |
| \(x^2+(y-k)^2=r^2\) | Traslación vertical del centro |
| \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) | Traslación horizontal y vertical |
| \((x-h)^2+(y-k)^2=R^2\), con \(R\neq r\) | Cambio de radio |
Ejemplo guiado 1: traslación horizontal
Comparemos las circunferencias:
\[ x^2+y^2=4 \qquad\text{y}\qquad (x-3)^2+y^2=4 \]
En la primera circunferencia:
- centro \((0,0)\),
- radio \(2\).
En la segunda:
- centro \((3,0)\),
- radio \(2\).
Entonces la segunda es la misma circunferencia trasladada 3 unidades hacia la derecha.
Esquema geométrico
Ejemplo guiado 2: traslación vertical
Comparemos ahora:
\[ x^2+y^2=9 \qquad\text{y}\qquad x^2+(y-2)^2=9 \]
La primera tiene centro \((0,0)\) y radio 3.
La segunda tiene centro \((0,2)\) y radio 3.
Por lo tanto, la segunda se obtuvo trasladando la primera 2 unidades hacia arriba.
El radio no cambió, así que se trata de un movimiento de traslación.
Ejemplo guiado 3: traslación horizontal y vertical
Consideremos la circunferencia:
\[ (x-2)^2+(y+1)^2=16 \]
Su centro es \((2,-1)\) y su radio es 4.
Esto significa que, respecto de la circunferencia \(x^2+y^2=16\), hubo una traslación:
- 2 unidades hacia la derecha,
- 1 unidad hacia abajo.
Esquema geométrico
Ejemplo guiado 4: mover no es cambiar el radio
Comparemos estas dos circunferencias:
\[ (x-1)^2+(y-2)^2=9 \qquad\text{y}\qquad (x-1)^2+(y-2)^2=25 \]
Ambas tienen el mismo centro: \((1,2)\).
Pero sus radios son distintos:
- en la primera, \(r=3\),
- en la segunda, \(r=5\).
Entonces aquí no hubo traslación, porque el centro no cambió. Lo que cambió fue el tamaño de la circunferencia.
Ejemplo guiado 5: construir la ecuación después de una traslación
Supongamos una circunferencia con centro \((1,-2)\) y radio 3.
Su ecuación es:
\[ (x-1)^2+(y+2)^2=9 \]
Ahora se traslada 4 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.
El nuevo centro será:
\[ (1+4,\,-2+2)=(5,0) \]
Como el radio no cambia, la nueva ecuación es:
\[ (x-5)^2+y^2=9 \]
Para interpretar el movimiento de una circunferencia, conviene comparar:
- el centro inicial,
- el centro final,
- el radio inicial y final.
Si el radio se mantiene y el centro cambia, hubo traslación.
Si el centro se mantiene y el radio cambia, no hubo traslación, sino cambio de tamaño.
Los movimientos de circunferencias aparecen al modelar ruedas, trayectorias circulares, zonas de cobertura móviles y desplazamientos de objetos cuyo borde mantiene una distancia fija respecto de un centro.
Ejercicios
Ejercicio 1
Describe el movimiento entre estas circunferencias:
\[ x^2+y^2=16 \qquad\text{y}\qquad (x-3)^2+y^2=16 \]
La segunda se obtiene trasladando la primera 3 unidades hacia la derecha. El radio se mantiene en 4.
Ejercicio 2
Describe el movimiento entre:
\[ x^2+y^2=25 \qquad\text{y}\qquad x^2+(y+4)^2=25 \]
La segunda se obtiene trasladando la primera 4 unidades hacia abajo. El radio sigue siendo 5.
Ejercicio 3
Indica el centro y el radio de la circunferencia:
\[ (x-4)^2+(y-1)^2=36 \]
Centro: \((4,1)\)
Radio: \(6\)
Ejercicio 4
Una circunferencia de centro \((0,0)\) y radio 2 se traslada 5 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba. Escribe su nueva ecuación.
El nuevo centro es \((-5,3)\).
\[ (x+5)^2+(y-3)^2=4 \]
Ejercicio 5
Una circunferencia tiene ecuación \((x-2)^2+(y+1)^2=9\). Se traslada 1 unidad hacia la izquierda y 4 unidades hacia abajo. Escribe la nueva ecuación.
Centro inicial: \((2,-1)\).
Nuevo centro: \((1,-5)\).
\[ (x-1)^2+(y+5)^2=9 \]
Ejercicio 6
Explica la diferencia geométrica entre:
\[ (x-3)^2+(y-2)^2=9 \qquad\text{y}\qquad (x-3)^2+(y-2)^2=16 \]
Tienen el mismo centro \((3,2)\), pero distinto radio.
La primera tiene radio 3 y la segunda radio 4. No hay traslación, sino cambio de tamaño.
Ejercicio 7
Indica si hubo traslación, cambio de radio o ambas cosas entre:
\[ (x-1)^2+y^2=4 \qquad\text{y}\qquad (x-4)^2+(y-2)^2=9 \]
Hubo ambas cosas.
El centro cambió de \((1,0)\) a \((4,2)\) y el radio cambió de 2 a 3.
Ejercicio 8
Un estudiante afirma: “Si cambia la ecuación de una circunferencia, entonces siempre cambia el radio”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No.
La ecuación puede cambiar porque cambia el centro, es decir, por una traslación, aunque el radio se mantenga igual.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
La circunferencia \((x-2)^2+y^2=9\), respecto de \(x^2+y^2=9\), se ha trasladado:
- 2 unidades hacia la izquierda
- 2 unidades hacia la derecha
- 3 unidades hacia arriba
- 3 unidades hacia la derecha
Alternativa correcta: b
PAES 2
¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia con centro \((0,-3)\) y radio 4?
- \(x^2+(y+3)^2=16\)
- \((x-3)^2+y^2=16\)
- \(x^2+(y-3)^2=16\)
- \((x+3)^2+y^2=16\)
Alternativa correcta: a
PAES 3
Entre las circunferencias \(x^2+y^2=25\) y \((x-1)^2+(y-2)^2=25\), se mantiene:
- el centro
- el radio
- la posición en el plano
- la ecuación completa
Ambas tienen radio 5.
Alternativa correcta: b
PAES 4
Si una circunferencia tiene ecuación \((x+2)^2+(y-1)^2=9\), entonces su centro es:
- \((2,1)\)
- \((-2,1)\)
- \((2,-1)\)
- \((-2,-1)\)
Alternativa correcta: b
Cierre
En esta página estudiamos traslaciones y movimientos de circunferencias en el plano, observando cómo cambian sus ecuaciones cuando el centro se desplaza.
Vimos que una traslación modifica la posición de la circunferencia, pero no su radio. También distinguimos ese caso de los cambios de tamaño.
En la siguiente clase resolveremos problemas integrados con rectas y circunferencias.
- Trasladar una circunferencia significa mover su centro.
- En una traslación, el radio se mantiene constante.
- Si cambia el radio, no se trata solo de una traslación.
- La ecuación permite leer con claridad el movimiento realizado.