Libro de geometria analitica rectas y circunsferencia
9. Traslaciones y movimientos de circunferencias en el plano
Traslaciones y movimientos de circunferencias en el plano
Inicio
En la clase anterior estudiamos la ecuación de la circunferencia y aprendimos a leer su centro y su radio. Ahora daremos un paso más: analizaremos cómo cambia una circunferencia cuando se traslada en el plano y qué movimientos pueden describirse a partir de su ecuación.
La idea central es observar cómo cambia la posición del centro sin perder de vista el radio, y cómo esos cambios se reflejan en la expresión algebraica.
Objetivo de la página
- Comprender la traslación de circunferencias en el plano cartesiano.
- Relacionar cambios en la ecuación con desplazamientos del centro.
- Distinguir entre mover una circunferencia y cambiar su radio.
- Interpretar movimientos horizontales y verticales de circunferencias.
Al finalizar esta página deberías poder
- Describir cómo se traslada una circunferencia a partir de su ecuación.
- Reconocer cuándo una circunferencia mantiene su radio y solo cambia de posición.
- Construir la nueva ecuación de una circunferencia después de una traslación.
- Comparar geométricamente dos circunferencias a partir de sus ecuaciones.
Recordatorio
La ecuación de una circunferencia con centro \((h,k)\) y radio \(r\) es:
\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]
Por lo tanto, si cambia el centro, la circunferencia se mueve en el plano.
Traslación
Una traslación es un movimiento que desplaza todos los puntos de una figura la misma cantidad y en la misma dirección.
En una circunferencia, una traslación mueve el centro, pero no cambia el radio.
Idea clave
Si una circunferencia cambia de posición pero conserva su radio, entonces se trata de una traslación.
Si cambia el radio, ya no estamos frente al mismo movimiento, sino ante una modificación del tamaño.
Error frecuente
No hay que confundir mover la circunferencia con agrandarla o achicarla.
Por ejemplo, pasar de \(x^2+y^2=9\) a \((x-2)^2+y^2=9\) es una traslación, pero pasar de \(x^2+y^2=9\) a \(x^2+y^2=16\) cambia el radio.
Resumen conceptual
Cambios en la ecuación
| Cambio en la ecuación | Interpretación geométrica |
|---|---|
| \((x-h)^2+y^2=r^2\) | Traslación horizontal del centro a \((h,0)\) |
| \(x^2+(y-k)^2=r^2\) | Traslación vertical del centro a \((0,k)\) |
| \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) | Traslación horizontal y vertical del centro a \((h,k)\) |
| \((x-h)^2+(y-k)^2=R^2\), con \(R\neq r\) | Cambio de radio |
Ejemplo guiado 1: traslación horizontal
Comparemos las circunferencias:
\[ x^2+y^2=4 \qquad\text{y}\qquad (x-3)^2+y^2=4 \]
En la primera circunferencia:
- centro \((0,0)\),
- radio \(2\).
En la segunda:
- centro \((3,0)\),
- radio \(2\).
La segunda es la misma circunferencia trasladada \(3\) unidades hacia la derecha.
Ejemplo guiado 2: traslación vertical
Comparemos ahora:
\[ x^2+y^2=9 \qquad\text{y}\qquad x^2+(y-2)^2=9 \]
La primera tiene centro \((0,0)\) y radio \(3\).
La segunda tiene centro \((0,2)\) y radio \(3\).
La segunda se obtuvo trasladando la primera \(2\) unidades hacia arriba. El radio no cambió, así que se trata de una traslación.
Ejemplo guiado 3: traslación horizontal y vertical
Consideremos la circunferencia:
\[ (x-2)^2+(y+1)^2=16 \]
Su centro es \((2,-1)\) y su radio es \(4\).
Esto significa que, respecto de la circunferencia \(x^2+y^2=16\), hubo una traslación:
- \(2\) unidades hacia la derecha,
- \(1\) unidad hacia abajo.
La circunferencia se trasladó desde el centro \((0,0)\) hasta el centro \((2,-1)\), manteniendo radio \(4\).
Ejemplo guiado 4: mover no es cambiar el radio
Comparemos estas dos circunferencias:
\[ (x-1)^2+(y-2)^2=9 \qquad\text{y}\qquad (x-1)^2+(y-2)^2=25 \]
Ambas tienen el mismo centro:
\[ (1,2) \]
Pero sus radios son distintos:
- en la primera, \(r=3\),
- en la segunda, \(r=5\).
Aquí no hubo traslación, porque el centro no cambió. Lo que cambió fue el tamaño de la circunferencia.
Ejemplo guiado 5: construir la ecuación después de una traslación
Supongamos una circunferencia con centro \((1,-2)\) y radio \(3\).
Su ecuación es:
\[ (x-1)^2+(y+2)^2=9 \]
Ahora se traslada \(4\) unidades hacia la derecha y \(2\) unidades hacia arriba.
El nuevo centro será:
\[ (1+4,\,-2+2)=(5,0) \]
Como el radio no cambia, la nueva ecuación es:
\[ (x-5)^2+y^2=9 \]
La circunferencia trasladada tiene centro \((5,0)\), radio \(3\) y ecuación \((x-5)^2+y^2=9\).
Cómo leer movimientos en la ecuación
Para interpretar el movimiento de una circunferencia, conviene comparar:
- el centro inicial,
- el centro final,
- el radio inicial y final.
Si el radio se mantiene y el centro cambia, hubo traslación.
Si el centro se mantiene y el radio cambia, no hubo traslación, sino cambio de tamaño.
Aplicación en el mundo real
Los movimientos de circunferencias aparecen al modelar ruedas, trayectorias circulares, zonas de cobertura móviles y desplazamientos de objetos cuyo borde mantiene una distancia fija respecto de un centro.
Ejercicios
Ejercicio 1
Describe el movimiento entre estas circunferencias:
\[ x^2+y^2=16 \qquad\text{y}\qquad (x-3)^2+y^2=16 \]
La primera circunferencia tiene centro \((0,0)\) y radio \(4\).
La segunda tiene centro \((3,0)\) y radio \(4\).
Como el radio se mantiene y el centro cambia de \((0,0)\) a \((3,0)\), hubo una traslación.
La segunda se obtiene trasladando la primera \(3\) unidades hacia la derecha.
Ejercicio 2
Describe el movimiento entre:
\[ x^2+y^2=25 \qquad\text{y}\qquad x^2+(y+4)^2=25 \]
La primera circunferencia tiene centro \((0,0)\) y radio \(5\).
En la segunda, \(y+4=y-(-4)\), por lo tanto el centro es \((0,-4)\).
El radio sigue siendo \(5\).
La segunda se obtiene trasladando la primera \(4\) unidades hacia abajo.
Ejercicio 3
Indica el centro y el radio de la circunferencia:
\[ (x-4)^2+(y-1)^2=36 \]
Comparamos con:
\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]
Se obtiene:
- \(h=4\),
- \(k=1\),
- \(r^2=36\), por lo tanto \(r=6\).
Centro: \((4,1)\). Radio: \(6\).
Ejercicio 4
Una circunferencia de centro \((0,0)\) y radio \(2\) se traslada \(5\) unidades hacia la izquierda y \(3\) unidades hacia arriba. Escribe su nueva ecuación.
El centro inicial es \((0,0)\).
Al trasladar \(5\) unidades hacia la izquierda, la coordenada \(x\) queda en \(-5\).
Al trasladar \(3\) unidades hacia arriba, la coordenada \(y\) queda en \(3\).
El nuevo centro es:
\[ (-5,3) \]
El radio sigue siendo \(2\), entonces \(r^2=4\).
La nueva ecuación es \((x+5)^2+(y-3)^2=4\).
Ejercicio 5
Una circunferencia tiene ecuación \((x-2)^2+(y+1)^2=9\). Se traslada \(1\) unidad hacia la izquierda y \(4\) unidades hacia abajo. Escribe la nueva ecuación.
Centro inicial:
\[ (2,-1) \]
Al trasladar \(1\) unidad hacia la izquierda:
\[ x=2-1=1 \]
Al trasladar \(4\) unidades hacia abajo:
\[ y=-1-4=-5 \]
Nuevo centro:
\[ (1,-5) \]
El radio no cambia, por lo tanto \(r^2=9\).
La nueva ecuación es \((x-1)^2+(y+5)^2=9\).
Ejercicio 6
Explica la diferencia geométrica entre:
\[ (x-3)^2+(y-2)^2=9 \qquad\text{y}\qquad (x-3)^2+(y-2)^2=16 \]
Ambas circunferencias tienen el mismo centro:
\[ (3,2) \]
Pero sus radios son distintos:
- en la primera, \(r^2=9\), entonces \(r=3\),
- en la segunda, \(r^2=16\), entonces \(r=4\).
No hay traslación, sino cambio de tamaño.
Ejercicio 7
Indica si hubo traslación, cambio de radio o ambas cosas entre:
\[ (x-1)^2+y^2=4 \qquad\text{y}\qquad (x-4)^2+(y-2)^2=9 \]
Primera circunferencia:
- centro \((1,0)\),
- radio \(2\), porque \(r^2=4\).
Segunda circunferencia:
- centro \((4,2)\),
- radio \(3\), porque \(r^2=9\).
Hubo ambas cosas: el centro cambió de \((1,0)\) a \((4,2)\) y el radio cambió de \(2\) a \(3\).
Ejercicio 8
Un estudiante afirma: “Si cambia la ecuación de una circunferencia, entonces siempre cambia el radio”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
La afirmación no es correcta.
La ecuación puede cambiar porque cambia el centro, es decir, por una traslación, aunque el radio se mantenga igual.
Por ejemplo:
\[ x^2+y^2=9 \qquad\text{y}\qquad (x-2)^2+y^2=9 \]
tienen el mismo radio \(3\), pero distinto centro.
Cambió la ecuación, pero no cambió el radio.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
La circunferencia \((x-2)^2+y^2=9\), respecto de \(x^2+y^2=9\), se ha trasladado:
- 2 unidades hacia la izquierda
- 2 unidades hacia la derecha
- 3 unidades hacia arriba
- 3 unidades hacia la derecha
La circunferencia \(x^2+y^2=9\) tiene centro \((0,0)\).
La circunferencia \((x-2)^2+y^2=9\) tiene centro \((2,0)\).
El centro pasó de \((0,0)\) a \((2,0)\).
Alternativa correcta: b.
PAES 2
¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia con centro \((0,-3)\) y radio \(4\)?
- \(x^2+(y+3)^2=16\)
- \((x-3)^2+y^2=16\)
- \(x^2+(y-3)^2=16\)
- \((x+3)^2+y^2=16\)
Usamos la forma:
\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]
Con centro \((0,-3)\), se tiene \(h=0\) y \(k=-3\).
Además, si \(r=4\), entonces \(r^2=16\).
\[ (x-0)^2+(y-(-3))^2=16 \]
\[ x^2+(y+3)^2=16 \]
Alternativa correcta: a.
PAES 3
Entre las circunferencias \(x^2+y^2=25\) y \((x-1)^2+(y-2)^2=25\), se mantiene:
- el centro
- el radio
- la posición en el plano
- la ecuación completa
La primera tiene centro \((0,0)\) y la segunda tiene centro \((1,2)\).
El centro cambió, pero en ambas ecuaciones se cumple:
\[ r^2=25 \Rightarrow r=5 \]
Alternativa correcta: b.
PAES 4
Si una circunferencia tiene ecuación \((x+2)^2+(y-1)^2=9\), entonces su centro es:
- \((2,1)\)
- \((-2,1)\)
- \((2,-1)\)
- \((-2,-1)\)
Comparamos con:
\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]
En \(x+2\), se tiene:
\[ x+2=x-(-2) \]
Por lo tanto, \(h=-2\). En \(y-1\), se tiene \(k=1\).
Alternativa correcta: b.
Cierre
Síntesis
En esta página estudiamos traslaciones y movimientos de circunferencias en el plano, observando cómo cambian sus ecuaciones cuando el centro se desplaza.
Vimos que una traslación modifica la posición de la circunferencia, pero no su radio. También distinguimos ese caso de los cambios de tamaño.
En la siguiente clase resolveremos problemas integrados con rectas y circunferencias.
Para recordar
- Trasladar una circunferencia significa mover su centro.
- En una traslación, el radio se mantiene constante.
- Si cambia el radio, no se trata solo de una traslación.
- La ecuación permite leer con claridad el movimiento realizado.