Libro de geometria analitica rectas y circunsferencia
13. Problemas integrados con rectas y circunferencias
Problemas integrados con rectas y circunferencias
Inicio
En las clases anteriores estudiamos por separado las rectas y las circunferencias en el plano. Ahora daremos un paso más: resolveremos problemas integrados en los que ambas figuras aparecen al mismo tiempo.
La idea es combinar lo aprendido sobre:
- pendiente y ecuación de la recta,
- paralelismo e intersección,
- centro y radio de la circunferencia,
- traslaciones y lectura geométrica en el plano.
En esta página trabajaremos problemas donde una recta y una circunferencia se relacionan en un mismo sistema de ejes, interpretando puntos, posiciones y ecuaciones.
Objetivo de la página
- Integrar el estudio de rectas y circunferencias en el plano cartesiano.
- Interpretar situaciones geométricas que involucren ambas figuras.
- Resolver problemas sencillos de pertenencia, intersección y lectura gráfica.
- Relacionar ecuaciones con configuraciones geométricas.
Al finalizar esta página deberías poder
- Decidir si un punto pertenece a una recta, a una circunferencia o a ambas.
- Interpretar si una recta corta, toca o no alcanza una circunferencia.
- Usar la ecuación de una recta y de una circunferencia en un mismo problema.
- Resolver problemas geométricos integrando varias ideas de la unidad.
Ideas que se integran
En esta clase conviene tener presentes dos formas fundamentales:
Recta:
\[ y=mx+n \]
Circunferencia:
\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]
La primera nos permite leer inclinación y posición de la recta. La segunda nos permite leer centro y radio de la circunferencia.
Idea clave
Un problema integrado no exige aprender una figura nueva, sino coordinar varias ideas ya conocidas dentro de una misma situación.
Atención
Cuando trabajes con rectas y circunferencias a la vez, conviene revisar siempre:
- qué información entrega cada ecuación,
- qué representa cada punto,
- si la pregunta es algebraica, geométrica o ambas.
Resumen conceptual
Elementos a observar
| Elemento | Qué conviene observar |
|---|---|
| Recta | Pendiente, intersección con el eje \(y\), puntos por los que pasa |
| Circunferencia | Centro, radio, posición en el plano |
| Punto | Si satisface una ecuación, ambas o ninguna |
| Relación entre ambas figuras | Si la recta corta, toca o queda fuera de la circunferencia |
Ejemplo guiado 1: un punto que pertenece a una recta y a una circunferencia
Consideremos:
\[ \text{Recta: } y=x \qquad\qquad \text{Circunferencia: } x^2+y^2=2 \]
Estudiemos el punto \(P(1,1)\).
Primero revisamos si pertenece a la recta:
\[ y=x \Rightarrow 1=1 \]
Sí pertenece a la recta.
Ahora revisamos si pertenece a la circunferencia:
\[ x^2+y^2=2 \]
\[ 1^2+1^2=2 \]
\[ 2=2 \]
También pertenece a la circunferencia.
El punto \(P(1,1)\) pertenece a ambas figuras.
Ejemplo guiado 2: una recta secante a una circunferencia
Consideremos la circunferencia:
\[ x^2+y^2=9 \]
y la recta:
\[ y=1 \]
La circunferencia tiene centro \((0,0)\) y radio \(3\).
La recta \(y=1\) es horizontal y se ubica a una distancia \(1\) del centro, menor que el radio.
También podemos sustituir \(y=1\):
\[ x^2+1^2=9 \]
\[ x^2=8 \]
Como hay dos soluciones reales, la recta corta a la circunferencia en dos puntos.
La recta es secante a la circunferencia.
Ejemplo guiado 3: una recta tangente a una circunferencia
Consideremos nuevamente la circunferencia:
\[ x^2+y^2=9 \]
y ahora la recta:
\[ y=3 \]
La circunferencia tiene radio \(3\) y centro en el origen.
La recta \(y=3\) está exactamente a una distancia \(3\) del centro.
Sustituyendo:
\[ x^2+3^2=9 \]
\[ x^2=0 \]
\[ x=0 \]
La recta toca a la circunferencia en un solo punto: \((0,3)\). Por eso es tangente.
Ejemplo guiado 4: una recta exterior a una circunferencia
Tomemos otra vez:
\[ x^2+y^2=9 \qquad\text{y}\qquad y=5 \]
La circunferencia tiene centro \((0,0)\) y radio \(3\).
La recta \(y=5\) se encuentra a distancia \(5\) del centro.
Como \(5>3\), no la corta ni la toca.
La recta es exterior a la circunferencia.
Ejemplo guiado 5: problema integrado con centro, radio y una recta
Sea la circunferencia:
\[ (x-2)^2+(y-1)^2=4 \]
y la recta:
\[ x=2 \]
La circunferencia tiene:
- centro \((2,1)\),
- radio \(2\).
La recta \(x=2\) es una recta vertical que pasa justamente por la coordenada horizontal del centro.
Para encontrar sus puntos de intersección, sustituimos \(x=2\):
\[ (2-2)^2+(y-1)^2=4 \]
\[ (y-1)^2=4 \]
\[ y-1=-2 \quad \text{o} \quad y-1=2 \]
\[ y=-1 \quad \text{o} \quad y=3 \]
La recta corta a la circunferencia en dos puntos: \((2,-1)\) y \((2,3)\). Por lo tanto, es secante.
Cómo abordar un problema integrado
Cuando aparezcan una recta y una circunferencia en el mismo ejercicio, conviene:
- leer primero la recta: pendiente, tipo y posición;
- leer luego la circunferencia: centro y radio;
- interpretar cómo están ubicadas una respecto de la otra;
- revisar si la pregunta pide justificar con ecuaciones, con gráfica o con ambas.
Aplicación en el mundo real
Problemas de este tipo aparecen al estudiar trayectorias circulares cortadas por caminos rectos, ruedas respecto de superficies, zonas de alcance respecto de trayectorias lineales y muchas configuraciones geométricas en diseño, física y tecnología.
Ejercicios
Ejercicio 1
Determina si el punto \(A(3,4)\) pertenece a la circunferencia:
\[ x^2+y^2=25 \]
Sustituimos \(x=3\) e \(y=4\) en la ecuación:
\[ 3^2+4^2=9+16=25 \]
Como se cumple la igualdad, el punto satisface la ecuación.
Sí, el punto pertenece a la circunferencia.
Ejercicio 2
Determina si el punto \(B(2,2)\) pertenece a la recta \(y=x\), a la circunferencia \(x^2+y^2=8\), o a ambas.
Para la recta:
\[ y=x \Rightarrow 2=2 \]
Entonces el punto sí pertenece a la recta.
Para la circunferencia:
\[ x^2+y^2=8 \]
\[ 2^2+2^2=4+4=8 \]
Entonces el punto también pertenece a la circunferencia.
El punto \(B(2,2)\) pertenece a ambas figuras.
Ejercicio 3
Describe la relación entre la recta \(y=4\) y la circunferencia \(x^2+y^2=9\).
La circunferencia \(x^2+y^2=9\) tiene centro \((0,0)\) y radio \(3\).
La recta \(y=4\) está a distancia \(4\) del centro.
Como:
\[ 4>3 \]
La recta es exterior a la circunferencia.
Ejercicio 4
Describe la relación entre la recta \(y=3\) y la circunferencia \(x^2+y^2=9\).
La circunferencia tiene centro \((0,0)\) y radio \(3\).
La recta \(y=3\) está a distancia \(3\) del centro.
Como la distancia coincide con el radio, la recta toca la circunferencia en un solo punto.
La recta es tangente y el punto de tangencia es \((0,3)\).
Ejercicio 5
Describe la relación entre la recta \(y=1\) y la circunferencia \(x^2+y^2=9\).
La circunferencia tiene centro \((0,0)\) y radio \(3\).
La recta \(y=1\) está a distancia \(1\) del centro.
Como:
\[ 1<3 \]
La recta corta a la circunferencia en dos puntos; es secante.
Ejercicio 6
La circunferencia \((x-1)^2+(y+2)^2=16\) tiene centro \((1,-2)\) y radio \(4\). Explica por qué la recta \(x=1\) la atraviesa.
La recta \(x=1\) es vertical.
Como el centro de la circunferencia es \((1,-2)\), esa recta pasa por la misma coordenada horizontal del centro.
Al sustituir \(x=1\):
\[ (1-1)^2+(y+2)^2=16 \]
\[ (y+2)^2=16 \]
Esta ecuación tiene dos soluciones reales:
\[ y+2=-4 \quad \text{o} \quad y+2=4 \]
La recta atraviesa la circunferencia y la corta en dos puntos.
Ejercicio 7
Escribe la ecuación de una recta horizontal que sea tangente a la circunferencia \(x^2+y^2=16\) por arriba.
La circunferencia tiene centro \((0,0)\).
Además:
\[ r^2=16 \Rightarrow r=4 \]
Una recta horizontal tangente por arriba debe estar a distancia \(4\) del centro y sobre el eje \(x\).
La tangente horizontal superior es \(y=4\).
Ejercicio 8
Un estudiante afirma: “Si una recta pasa por el centro de una circunferencia, entonces es tangente”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
La afirmación no es correcta.
Una recta tangente toca la circunferencia en un solo punto y no pasa por el centro.
Si una recta pasa por el centro de una circunferencia, normalmente la corta en dos puntos.
Eso corresponde a una recta secante, no tangente.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
El punto \((3,4)\) pertenece a la circunferencia:
- \(x^2+y^2=20\)
- \(x^2+y^2=25\)
- \(x^2+y^2=30\)
- \(x^2+y^2=35\)
Sustituimos \(x=3\) e \(y=4\):
\[ 3^2+4^2=9+16=25 \]
Por lo tanto, el punto pertenece a la circunferencia \(x^2+y^2=25\).
Alternativa correcta: b.
PAES 2
La recta \(y=3\) respecto de la circunferencia \(x^2+y^2=9\) es:
- secante
- tangente
- exterior
- vertical
La circunferencia \(x^2+y^2=9\) tiene radio \(3\).
La recta \(y=3\) está a distancia \(3\) del centro.
Como esa distancia coincide con el radio, la recta toca la circunferencia en un solo punto.
Alternativa correcta: b.
PAES 3
La recta \(y=5\) respecto de la circunferencia \(x^2+y^2=9\) es:
- tangente
- secante
- exterior
- coincidente
La circunferencia tiene centro \((0,0)\) y radio \(3\).
La recta \(y=5\) está a distancia \(5\) del centro.
Como \(5>3\), no tiene puntos comunes con la circunferencia.
Alternativa correcta: c.
PAES 4
Si una circunferencia tiene centro \((2,1)\), ¿cuál de las siguientes rectas verticales pasa por el centro?
- \(x=1\)
- \(x=2\)
- \(y=1\)
- \(y=2\)
Una recta vertical tiene la forma \(x=a\). Para que pase por el punto \((2,1)\), debe cumplirse \(x=2\).
Alternativa correcta: b.
Cierre
Síntesis
En esta página resolvimos problemas integrados con rectas y circunferencias, combinando varias ideas trabajadas en las clases anteriores.
Vimos cómo analizar puntos, relaciones geométricas e interpretaciones entre ambas figuras dentro del mismo plano cartesiano.
En la siguiente clase realizaremos la evaluación final integradora y cierre previo a la etapa PAES.
Para recordar
- Un punto puede pertenecer a una recta, a una circunferencia, a ambas o a ninguna.
- Una recta puede ser secante, tangente o exterior respecto de una circunferencia.
- Leer bien centro, radio y posición de la recta facilita mucho el análisis.
- Los problemas integrados exigen conectar ideas, no aprender una figura nueva.