Rectas y circunferencias en el plano
8. Problemas integrados con rectas y circunferencias
Problemas integrados con rectas y circunferencias
En las clases anteriores estudiamos por separado las rectas y las circunferencias en el plano. Ahora daremos un paso más: resolveremos problemas integrados en los que ambas figuras aparecen al mismo tiempo.
La idea es combinar lo aprendido sobre:
- pendiente y ecuación de la recta,
- paralelismo e intersección,
- centro y radio de la circunferencia,
- traslaciones y lectura geométrica en el plano.
En esta página trabajaremos problemas donde una recta y una circunferencia se relacionan en un mismo sistema de ejes, interpretando puntos, posiciones y ecuaciones.
Objetivo de la página
- Integrar el estudio de rectas y circunferencias en el plano cartesiano.
- Interpretar situaciones geométricas que involucren ambas figuras.
- Resolver problemas sencillos de pertenencia, intersección y lectura gráfica.
- Relacionar ecuaciones con configuraciones geométricas.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Decidir si un punto pertenece a una recta, a una circunferencia o a ambas.
- Interpretar si una recta corta, toca o no alcanza una circunferencia.
- Usar la ecuación de una recta y de una circunferencia en un mismo problema.
- Resolver problemas geométricos integrando varias ideas de la unidad.
En esta clase conviene tener presentes dos formas fundamentales:
Recta:
\[ y=mx+n \]
Circunferencia:
\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]
La primera nos permite leer inclinación y posición de la recta. La segunda nos permite leer centro y radio de la circunferencia.
Un problema integrado no exige aprender una figura nueva, sino coordinar varias ideas ya conocidas dentro de una misma situación.
Cuando trabajes con rectas y circunferencias a la vez, conviene revisar siempre:
- qué información entrega cada ecuación,
- qué representa cada punto,
- si la pregunta es algebraica, geométrica o ambas.
Resumen conceptual
| Elemento | Qué conviene observar |
|---|---|
| Recta | Pendiente, intersección con el eje \(y\), puntos por los que pasa |
| Circunferencia | Centro, radio, posición en el plano |
| Punto | Si satisface una ecuación, ambas o ninguna |
| Relación entre ambas figuras | Si la recta corta, toca o queda fuera de la circunferencia |
Ejemplo guiado 1: un punto que pertenece a una recta y a una circunferencia
Consideremos:
\[ \text{Recta: } y=x \qquad\qquad \text{Circunferencia: } x^2+y^2=2 \]
Estudiemos el punto \(P(1,1)\).
Primero revisamos si pertenece a la recta:
\[ y=x \Rightarrow 1=1 \]
Sí pertenece a la recta.
Ahora revisamos si pertenece a la circunferencia:
\[ x^2+y^2=2 \Rightarrow 1^2+1^2=2 \Rightarrow 2=2 \]
También pertenece a la circunferencia.
Entonces, el punto \(P(1,1)\) pertenece a ambas figuras.
Esquema geométrico
Ejemplo guiado 2: una recta secante a una circunferencia
Consideremos la circunferencia:
\[ x^2+y^2=9 \]
y la recta:
\[ y=1 \]
La circunferencia tiene centro \((0,0)\) y radio 3.
La recta \(y=1\) es horizontal y se ubica a una altura menor que el radio.
Geométricamente, eso sugiere que la recta corta a la circunferencia en dos puntos.
En este caso se dice que la recta es secante a la circunferencia.
Esquema geométrico
Ejemplo guiado 3: una recta tangente a una circunferencia
Consideremos nuevamente la circunferencia:
\[ x^2+y^2=9 \]
y ahora la recta:
\[ y=3 \]
La circunferencia tiene radio 3 y centro en el origen.
La recta \(y=3\) está exactamente a la altura del radio máximo.
Geométricamente, toca a la circunferencia en un solo punto: \((0,3)\).
En este caso la recta es tangente a la circunferencia.
Esquema geométrico
Ejemplo guiado 4: una recta exterior a una circunferencia
Tomemos otra vez:
\[ x^2+y^2=9 \qquad\text{y}\qquad y=5 \]
La recta \(y=5\) se encuentra por encima de la altura máxima de la circunferencia.
Por eso no la corta ni la toca.
En este caso decimos que la recta es exterior a la circunferencia.
Ejemplo guiado 5: problema integrado con centro, radio y una recta
Sea la circunferencia:
\[ (x-2)^2+(y-1)^2=4 \]
y la recta:
\[ x=2 \]
La circunferencia tiene:
- centro \((2,1)\),
- radio \(2\).
La recta \(x=2\) es una recta vertical que pasa justamente por la coordenada horizontal del centro.
Geométricamente, esa recta atraviesa la circunferencia pasando por su zona central, por lo que la corta en dos puntos.
Este ejemplo muestra cómo una recta y una circunferencia pueden relacionarse directamente a partir de la lectura de sus ecuaciones.
Cuando aparezcan una recta y una circunferencia en el mismo ejercicio, conviene:
- leer primero la recta: pendiente, tipo y posición,
- leer luego la circunferencia: centro y radio,
- interpretar cómo están ubicadas una respecto de la otra,
- revisar si la pregunta pide justificar con ecuaciones, con gráfica o con ambas.
Problemas de este tipo aparecen al estudiar trayectorias circulares cortadas por caminos rectos, ruedas respecto de superficies, zonas de alcance respecto de trayectorias lineales y muchas configuraciones geométricas en diseño, física y tecnología.
Ejercicios
Ejercicio 1
Determina si el punto \(A(3,4)\) pertenece a la circunferencia:
\[ x^2+y^2=25 \]
\[ 3^2+4^2=9+16=25 \]
Sí, el punto pertenece a la circunferencia.
Ejercicio 2
Determina si el punto \(B(2,2)\) pertenece a la recta \(y=x\), a la circunferencia \(x^2+y^2=8\), o a ambas.
Para la recta:
\[ y=x \Rightarrow 2=2 \]
Sí pertenece.
Para la circunferencia:
\[ 2^2+2^2=4+4=8 \]
También pertenece.
Entonces pertenece a ambas.
Ejercicio 3
Describe la relación entre la recta \(y=4\) y la circunferencia \(x^2+y^2=9\).
La circunferencia tiene radio 3, y la recta está a una altura mayor que 3.
Por lo tanto, la recta es exterior a la circunferencia.
Ejercicio 4
Describe la relación entre la recta \(y=3\) y la circunferencia \(x^2+y^2=9\).
La recta toca a la circunferencia en un solo punto, \((0,3)\).
Es tangente.
Ejercicio 5
Describe la relación entre la recta \(y=1\) y la circunferencia \(x^2+y^2=9\).
La recta corta a la circunferencia en dos puntos.
Es secante.
Ejercicio 6
La circunferencia \((x-1)^2+(y+2)^2=16\) tiene centro \((1,-2)\) y radio 4. Explica por qué la recta \(x=1\) la atraviesa.
Porque la recta \(x=1\) pasa por la misma coordenada horizontal que el centro.
Al atravesar la zona central de la circunferencia, la corta en dos puntos.
Ejercicio 7
Escribe la ecuación de una recta horizontal que sea tangente a la circunferencia \(x^2+y^2=16\) por arriba.
La circunferencia tiene radio 4 y centro en el origen.
La tangente horizontal superior es:
\[ y=4 \]
Ejercicio 8
Un estudiante afirma: “Si una recta pasa por el centro de una circunferencia, entonces es tangente”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No.
Si una recta pasa por el centro de la circunferencia, normalmente la corta en dos puntos.
Eso corresponde a una recta secante, no tangente.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
El punto \((3,4)\) pertenece a la circunferencia:
- \(x^2+y^2=20\)
- \(x^2+y^2=25\)
- \(x^2+y^2=30\)
- \(x^2+y^2=35\)
\[ 3^2+4^2=25 \]
Alternativa correcta: b
PAES 2
La recta \(y=3\) respecto de la circunferencia \(x^2+y^2=9\) es:
- secante
- tangente
- exterior
- vertical
Alternativa correcta: b
PAES 3
La recta \(y=5\) respecto de la circunferencia \(x^2+y^2=9\) es:
- tangente
- secante
- exterior
- coincidente
Alternativa correcta: c
PAES 4
Si una circunferencia tiene centro \((2,1)\), ¿cuál de las siguientes rectas verticales pasa por el centro?
- \(x=1\)
- \(x=2\)
- \(y=1\)
- \(y=2\)
Alternativa correcta: b
Cierre
En esta página resolvimos problemas integrados con rectas y circunferencias, combinando varias ideas trabajadas en las clases anteriores.
Vimos cómo analizar puntos, relaciones geométricas e interpretaciones entre ambas figuras dentro del mismo plano cartesiano.
En la siguiente clase realizaremos la evaluación final integradora y cierre previo a la etapa PAES.
- Un punto puede pertenecer a una recta, a una circunferencia, a ambas o a ninguna.
- Una recta puede ser secante, tangente o exterior respecto de una circunferencia.
- Leer bien centro, radio y posición de la recta facilita mucho el análisis.
- Los problemas integrados exigen conectar ideas, no aprender una figura nueva.