9. Evaluación final integradora: rectas y circunferencias en el plano

Evaluación final integradora: rectas y circunferencias en el plano

En esta evaluación integrarás los aprendizajes desarrollados en la unidad sobre rectas y circunferencias en el plano cartesiano.

Se evaluará tu capacidad para:

  • ubicar e interpretar puntos en el plano,
  • leer geométricamente rectas,
  • calcular e interpretar pendientes,
  • trabajar con ecuaciones de la recta,
  • analizar paralelismo e intersección,
  • pasar entre ecuación cartesiana y general,
  • leer centro y radio de una circunferencia,
  • resolver problemas integrados con rectas y circunferencias.

Objetivo de la evaluación

Integrar los contenidos del mes mediante ejercicios de desarrollo y preguntas tipo PAES, usando interpretación geométrica, algebraica y analítica.

Indicadores de evaluación

  • Reconoce puntos, cuadrantes y lectura geométrica de rectas.
  • Calcula e interpreta pendientes.
  • Identifica y construye ecuaciones de rectas.
  • Determina paralelismo, intersección y coincidencia entre rectas.
  • Transforma ecuaciones de rectas entre forma cartesiana y general.
  • Lee y construye ecuaciones de circunferencias.
  • Describe traslaciones de circunferencias.
  • Resuelve situaciones integradas con rectas y circunferencias.
⚠️ Instrucciones
  • Responde primero los ejercicios de desarrollo, mostrando tus procedimientos.
  • Luego responde las preguntas tipo PAES, marcando la alternativa correcta.
  • En las preguntas de desarrollo, justifica cuando se solicite explicación.

Parte I: Ejercicios de desarrollo

Desarrollo 1

Considera los puntos:

\[ A(3,2),\qquad B(-4,1),\qquad C(-2,-5),\qquad D(4,-3) \]

  1. Indica en qué cuadrante se encuentra cada punto.
  2. Describe con palabras la ubicación del punto \(B\).

Desarrollo 2

Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos \(P(1,2)\) y \(Q(5,10)\).

  1. Calcula la pendiente.
  2. Indica si la recta es creciente o decreciente.

Desarrollo 3

Una recta tiene pendiente \(-3\) y corta al eje \(y\) en 4.

  1. Escribe su ecuación en forma cartesiana.
  2. Indica si corresponde a una función lineal o afín.

Desarrollo 4

Considera las rectas:

\[ y=2x+1 \qquad\text{y}\qquad y=2x-5 \]

  1. Determina si son paralelas, secantes o coincidentes.
  2. Justifica tu respuesta usando pendiente e intersección con el eje \(y\).

Desarrollo 5

Encuentra el punto de intersección entre las rectas:

\[ y=x+3 \qquad\text{y}\qquad y=-x+5 \]

Desarrollo 6

Pasa la ecuación de la recta

\[ 2x+3y-6=0 \]

a forma cartesiana, e identifica su pendiente y su intersección con el eje \(y\).

Desarrollo 7

Considera la circunferencia:

\[ (x-2)^2+(y+3)^2=16 \]

  1. Determina su centro y su radio.
  2. Escribe la ecuación de la circunferencia que se obtiene al trasladarla 1 unidad hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba.

Desarrollo 8

Analiza la relación entre la recta \(y=4\) y la circunferencia \(x^2+y^2=16\).

  1. Indica si la recta es secante, tangente o exterior.
  2. Justifica geométricamente.

Parte II: Preguntas tipo PAES

PAES 1

¿En qué cuadrante se encuentra el punto \((-3,-2)\)?

  1. I
  2. II
  3. III
  4. IV

PAES 2

La recta \(y=5\) es:

  1. vertical
  2. horizontal
  3. decreciente
  4. secante

PAES 3

La pendiente de la recta que pasa por \((2,1)\) y \((4,5)\) es:

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

PAES 4

Si una recta tiene pendiente negativa, entonces:

  1. sube al avanzar hacia la derecha
  2. baja al avanzar hacia la derecha
  3. es horizontal
  4. es vertical

PAES 5

En la ecuación \(y=3x-4\), la intersección con el eje \(y\) es:

  1. 3
  2. \(-4\)
  3. 4
  4. \(-3\)

PAES 6

¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a una función lineal?

  1. \(y=2x+1\)
  2. \(y=-x+3\)
  3. \(y=4x\)
  4. \(y=5\)

PAES 7

Las rectas \(y=-x+2\) e \(y=-x-3\) son:

  1. paralelas
  2. secantes
  3. coincidentes
  4. verticales

PAES 8

El punto de intersección entre \(y=x+1\) e \(y=-x+3\) es:

  1. \((1,2)\)
  2. \((2,1)\)
  3. \((1,1)\)
  4. \((2,2)\)

PAES 9

La forma general de la recta \(y=2x-5\) es:

  1. \(2x+y-5=0\)
  2. \(2x-y-5=0\)
  3. \(2x-y+5=0\)
  4. \(y-2x-5=0\)

PAES 10

La forma cartesiana de \(x+2y-6=0\) es:

  1. \(y=-2x+3\)
  2. \(y=-\frac{1}{2}x+3\)
  3. \(y=\frac{1}{2}x-3\)
  4. \(y=x-3\)

PAES 11

La circunferencia \((x-1)^2+(y+2)^2=9\) tiene centro en:

  1. \((1,2)\)
  2. \((-1,-2)\)
  3. \((1,-2)\)
  4. \((-1,2)\)

PAES 12

La circunferencia \(x^2+y^2=49\) tiene radio:

  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 14

PAES 13

La ecuación de la circunferencia con centro \((0,0)\) y radio 3 es:

  1. \(x^2+y^2=3\)
  2. \(x^2+y^2=6\)
  3. \(x^2+y^2=9\)
  4. \(x^2+y^2=12\)

PAES 14

Si la circunferencia \(x^2+y^2=16\) se traslada 2 unidades hacia la derecha, su nueva ecuación es:

  1. \((x+2)^2+y^2=16\)
  2. \((x-2)^2+y^2=16\)
  3. \(x^2+(y-2)^2=16\)
  4. \(x^2+(y+2)^2=16\)

PAES 15

La recta \(y=4\) respecto de la circunferencia \(x^2+y^2=16\) es:

  1. secante
  2. tangente
  3. exterior
  4. coincidente

PAES 16

El punto \((2,2)\) pertenece simultáneamente a la recta \(y=x\) y a la circunferencia:

  1. \(x^2+y^2=4\)
  2. \(x^2+y^2=6\)
  3. \(x^2+y^2=8\)
  4. \(x^2+y^2=10\)

Cierre

Esta evaluación integró los contenidos centrales del mes: plano cartesiano, rectas, pendiente, ecuaciones, paralelismo, intersección, circunferencias, traslaciones y problemas combinados.

Con esto se cierra la unidad previa al trabajo más intensivo de preparación PAES, reforzando habilidades geométricas, algebraicas y de interpretación en el plano.

💡 Para recordar
  • Las rectas se pueden estudiar desde su pendiente, su ecuación y su posición en el plano.
  • Las circunferencias se interpretan desde su centro y su radio.
  • Las traslaciones cambian la posición, pero no el tamaño.
  • Los problemas integrados exigen conectar representaciones geométricas y algebraicas.