Raices
9. consolidando hasta aqui
Radicales: ejercicios resueltos y propuestos
En esta página se recopilan y ordenan algunos ejercicios recopilatorios agrupados por tema y corregidos cuando fue necesario para mantener el desarrollo matemáticamente correcto.
- \(\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\) y \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\), siempre que las expresiones existan en los números reales.
- \(\sqrt[n]{a^n}=|a|\) si \(n\) es par, y \(\sqrt[n]{a^n}=a\) si \(n\) es impar.
- \(\sqrt{\sqrt{a}}=\sqrt[4]{a}\).
- Área del cuadrado: \(A=l^2\). Área del rectángulo: \(A=\text{base}\cdot\text{altura}\). Volumen del cubo: \(V=a^3\).
No se puede trabajar en \(\mathbb{R}\) como si \(\sqrt{-3}\) fuera un número real. Por eso expresiones como \(\sqrt{-3}\cdot\sqrt{3}\) no existen en los reales. Tampoco sería válido forzar pasos como \(\sqrt{(-3)(-3)}=\sqrt{9}\), porque ya partimos de una raíz cuadrada de número negativo.
Cuando aparece una raíz de índice par, por ejemplo \(\sqrt{x^2}\), el resultado correcto es \(|x|\), no simplemente \(x\). En cambio, si por el contexto ya se sabe que \(x>0\), entonces \(|x|=x\).
Resumen rápido
| Tipo de ejercicio | Idea principal | Ejemplo rápido |
|---|---|---|
| Producto de radicales | Se multiplican los radicandos si el índice es el mismo. | \(\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) |
| Cociente de radicales | Se divide dentro de una sola raíz si el índice es el mismo. | \(\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{25}=5\) |
| Raíces anidadas | Dos raíces cuadradas seguidas equivalen a una raíz cuarta. | \(\sqrt{\sqrt{256}}=\sqrt[4]{256}=4\) |
| Raíz par de negativo | No existe en \(\mathbb{R}\). | \(\sqrt[100]{-2}\) no existe en los reales. |
| Raíz impar de negativo | Sí existe y conserva el signo negativo. | \(\sqrt[99]{-2}\) es negativa. |
| Geometría con radicales | Se usan las fórmulas de área o volumen y luego se simplifica. | \((5\sqrt{2})^2=50\) |
✨ Ejemplo guiado: producto de radicales
Veamos cómo simplificar \(\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}\).
\[ \sqrt{6}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2} \]
La idea es buscar dentro del radicando un cuadrado perfecto para poder extraerlo.
1. Operaciones con radicales numéricos
Ejercicios
- \(\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}\)
- \(\sqrt[3]{10}\cdot\sqrt[3]{15}\cdot\sqrt[3]{5}\)
- \(\sqrt[3]{-6}\cdot\sqrt[3]{9}\)
- \(\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}\)
- Respuesta: \(\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}\).
- Respuesta: \(\sqrt[3]{10}\cdot\sqrt[3]{15}\cdot\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{750}=\sqrt[3]{125\cdot 6}=5\sqrt[3]{6}\).
- Respuesta: \(\sqrt[3]{-6}\cdot\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{-54}=\sqrt[3]{-27\cdot 2}=-3\sqrt[3]{2}\).
- Respuesta: \(\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{75}{3}}=\sqrt{25}=5\).
Ejercicios
- \(\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{125}}{\sqrt{5}}\)
- \(\dfrac{2\sqrt{27}\cdot 3\sqrt{125}}{\sqrt{100}}\)
- Respuesta: \[ \dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{125}}{\sqrt{5}} =\sqrt{\dfrac{2\cdot 125}{5}} =\sqrt{50} =\sqrt{25\cdot 2} =5\sqrt{2} \]
- Respuesta: \[ \dfrac{2\sqrt{27}\cdot 3\sqrt{125}}{\sqrt{100}} =\dfrac{6\sqrt{27\cdot 125}}{10} =\dfrac{6\sqrt{3375}}{10} =\dfrac{6\cdot 15\sqrt{15}}{10} =9\sqrt{15} \]
2. Raíces anidadas
Ejercicios
- \(\sqrt{\sqrt{256}}\)
- \(\sqrt{\sqrt{162}}\)
- Respuesta: \(\sqrt{\sqrt{256}}=\sqrt[4]{256}=\sqrt[4]{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4}=4\).
- Respuesta: \(\sqrt{\sqrt{162}}=\sqrt[4]{162}=\sqrt[4]{3^4\cdot 2}=3\sqrt[4]{2}\).
3. Existencia y signo de radicales
Ejercicios
- Determina si la expresión existe en \(\mathbb{R}\): \(\sqrt{-3}\cdot\sqrt{3}\).
- Indica si cada expresión es positiva, negativa o no existe en \(\mathbb{R}\):
- \(\sqrt[100]{2}\)
- \(\sqrt[100]{-2}\)
- \(\sqrt[99]{-2}\)
- Calcula \(\sqrt[1003]{-1}\).
1. \(\sqrt{-3}\cdot\sqrt{3}\) no existe en \(\mathbb{R}\), porque \(\sqrt{-3}\) no es un número real.
| Expresión | Clasificación | Razón |
|---|---|---|
| \(\sqrt[100]{2}\) | Positiva | Una raíz par de un número positivo es positiva. |
| \(\sqrt[100]{-2}\) | No existe en \(\mathbb{R}\) | Una raíz de índice par de un negativo no es real. |
| \(\sqrt[99]{-2}\) | Negativa | Una raíz de índice impar de un negativo sí existe y es negativa. |
3. \(\sqrt[1003]{-1}=-1\), porque 1003 es impar y \((-1)^{1003}=-1\).
Antes de simplificar, fíjate primero en el índice de la raíz: si es par, revisa si el radicando es no negativo; si es impar, puedes trabajar también con radicandos negativos.
4. Geometría con radicales
✨ Ejemplo guiado: área de una figura con radicales
Si un cuadrado tiene lado \(5\sqrt{2}\), entonces su área se calcula elevando el lado al cuadrado.
\[ A=l^2=(5\sqrt{2})^2=25\cdot 2=50 \]
Siempre conviene separar la parte numérica y la parte radical.
Ejercicios
- Un cuadrado tiene lado \(5\sqrt{2}\). ¿Cuál es su área?
- Un rectángulo tiene base \(2\sqrt[3]{2}\) y altura \(5\sqrt[3]{4}\). ¿Cuál es su área?
- Un cubo tiene arista \(3\sqrt[3]{x}\). ¿Cuál es su volumen?
- Respuesta: \[ A=(5\sqrt{2})^2=25\cdot 2=50\ \text{u}^2 \]
- Respuesta: \[ A=(2\sqrt[3]{2})(5\sqrt[3]{4}) =10\sqrt[3]{8} =10\cdot 2 =20\ \text{u}^2 \]
- Respuesta: \[ V=(3\sqrt[3]{x})^3 =3^3\cdot \left(\sqrt[3]{x}\right)^3 =27x \]
5. Simplificación de radicales algebraicos
Ejercicios
- \(\sqrt{5x^2}\)
- \(\sqrt[3]{2y^3}\)
- \(\sqrt{4x^2y^3}\)
- \(\sqrt[3]{-16x^3}\)
- Respuesta: \[ \sqrt{5x^2}=\sqrt{5}\sqrt{x^2}=|x|\sqrt{5} \]
- Respuesta: \[ \sqrt[3]{2y^3}=\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{y^3}=y\sqrt[3]{2} \]
- Respuesta: \[ \sqrt{4x^2y^3} =\sqrt{4}\sqrt{x^2}\sqrt{y^2}\sqrt{y} =2|x|\,y\sqrt{y} \]
En números reales, esta expresión exige \(y\ge 0\).
- Respuesta: \[ \sqrt[3]{-16x^3} =\sqrt[3]{-8\cdot 2\cdot x^3} =-2x\sqrt[3]{2} \]
✨ Ejemplo guiado: combinar radicales algebraicos
Veamos cómo resolver \(\sqrt[3]{5x^2}\cdot\sqrt[3]{-25x}\).
\[ \sqrt[3]{5x^2}\cdot\sqrt[3]{-25x} =\sqrt[3]{(5x^2)(-25x)} =\sqrt[3]{-125x^3} =-5x \]
Con raíces cúbicas no aparece valor absoluto, porque el índice es impar.
6. Resolver usando propiedades de radicales
Ejercicios
- \(\sqrt[3]{5x^2}\cdot\sqrt[3]{-25x}\)
- \(\dfrac{\sqrt{6x^3}}{\sqrt{2x}}\)
- Respuesta: \[ \sqrt[3]{5x^2}\cdot\sqrt[3]{-25x} =\sqrt[3]{-125x^3} =-5x \]
- Respuesta: \[ \dfrac{\sqrt{6x^3}}{\sqrt{2x}} =\sqrt{\dfrac{6x^3}{2x}} =\sqrt{3x^2} \]
Como la expresión original exige \(x>0\), entonces \(\sqrt{x^2}=x\). Por eso:
\[ \sqrt{3x^2}=x\sqrt{3} \]
Las raíces no solo se usan en ejercicios simbólicos. Aparecen al calcular longitudes, áreas y volúmenes, al simplificar fórmulas físicas y al trabajar con escalas geométricas. Por eso en esta guía se mezclan operaciones algebraicas con problemas de área y volumen.
Checklist final de estudio
- Distinguir cuándo una raíz existe o no en \(\mathbb{R}\).
- Simplificar productos y cocientes de radicales con el mismo índice.
- Extraer potencias perfectas del radicando.
- Usar valor absoluto cuando corresponde en raíces de índice par.
- Aplicar radicales en área y volumen.