Desarrollo detallado de ejercicios con radicales

En los ejercicios que incluyen \(\sqrt{x^2}\), matemáticamente se cumple que \(\sqrt{x^2}=|x|\). Si además se asume \(x\ge 0\), entonces \(|x|=x\). En esta página mostraré primero la forma exacta y, cuando corresponda, señalaré también el caso usual \(x\ge 0\).

1) \(\sqrt{75}+\sqrt{27}+\sqrt{12}\)

Buscamos extraer cuadrados perfectos de cada radical:

\[ \sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3} \]

\[ \sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3} \]

\[ \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3} \]

Entonces:

\[ \sqrt{75}+\sqrt{27}+\sqrt{12}=5\sqrt{3}+3\sqrt{3}+2\sqrt{3} \]

Reducimos términos semejantes:

\[ 5\sqrt{3}+3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=10\sqrt{3} \]

Resultado: \[ \boxed{10\sqrt{3}} \]

2) \(\sqrt{20}+\sqrt{45}+\sqrt{80}\)

Simplificamos cada radical:

\[ \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5} \]

\[ \sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5} \]

\[ \sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5} \]

Sumamos:

\[ \sqrt{20}+\sqrt{45}+\sqrt{80}=2\sqrt{5}+3\sqrt{5}+4\sqrt{5} \]

\[ 2\sqrt{5}+3\sqrt{5}+4\sqrt{5}=9\sqrt{5} \]

Resultado: \[ \boxed{9\sqrt{5}} \]

3) \(\sqrt{9x^2}+\sqrt{4x^2}\)

Separamos el número y la variable:

\[ \sqrt{9x^2}=\sqrt{9}\,\sqrt{x^2}=3|x| \]

\[ \sqrt{4x^2}=\sqrt{4}\,\sqrt{x^2}=2|x| \]

Entonces:

\[ \sqrt{9x^2}+\sqrt{4x^2}=3|x|+2|x| \]

\[ 3|x|+2|x|=5|x| \]

Resultado exacto: \[ \boxed{5|x|} \]

Si se asume \(x\ge 0\), entonces:

\[ \boxed{5x} \]

4) \(\sqrt[3]{8x^3}+\sqrt[3]{27x^3}+\sqrt[3]{64x^3}\)

En raíces cúbicas, la simplificación de \(\sqrt[3]{x^3}\) da directamente \(x\).

\[ \sqrt[3]{8x^3}=\sqrt[3]{8}\,\sqrt[3]{x^3}=2x \]

\[ \sqrt[3]{27x^3}=\sqrt[3]{27}\,\sqrt[3]{x^3}=3x \]

\[ \sqrt[3]{64x^3}=\sqrt[3]{64}\,\sqrt[3]{x^3}=4x \]

Sumamos los términos semejantes:

\[ 2x+3x+4x=9x \]

Resultado: \[ \boxed{9x} \]

5) \(\sqrt{8x^2}+\sqrt{64x^2}+\sqrt{9}+\sqrt{100}\)

Simplificamos cada término por separado.

Para el primero:

\[ \sqrt{8x^2}=\sqrt{4\cdot 2\cdot x^2}=2\sqrt{2}\,|x| \]

Para el segundo:

\[ \sqrt{64x^2}=\sqrt{64}\,\sqrt{x^2}=8|x| \]

Además:

\[ \sqrt{9}=3, \qquad \sqrt{100}=10 \]

Reemplazamos en la expresión original:

\[ \sqrt{8x^2}+\sqrt{64x^2}+\sqrt{9}+\sqrt{100}=2\sqrt{2}|x|+8|x|+3+10 \]

Sumamos las constantes:

\[ 2\sqrt{2}|x|+8|x|+13 \]

Resultado exacto: \[ \boxed{2\sqrt{2}|x|+8|x|+13} \]

Si se asume \(x\ge 0\), queda:

\[ \boxed{2\sqrt{2}x+8x+13} \]

6) \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2}\)

Primero racionalizamos el término \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\):

\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Entonces la suma queda:

\[ \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2} \]

Como tienen el mismo denominador, sumamos numeradores:

\[ \frac{\sqrt{2}+1}{2} \]

Resultado: \[ \boxed{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} \]

7) \(\dfrac{4}{\sqrt{3}}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)

Racionalizamos el primer término:

\[ \frac{4}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3} \]

Entonces:

\[ \frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3} \]

Restamos términos semejantes:

\[ \frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3} \]

Resultado: \[ \boxed{\frac{2\sqrt{3}}{3}} \]

8) \(\dfrac{5}{\sqrt{2}}-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)

Racionalizamos el primer término:

\[ \frac{5}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2} \]

Entonces:

\[ \frac{5}{\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2} \]

Restamos:

\[ \frac{5\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2} \]

Resultado: \[ \boxed{\sqrt{2}} \]

9) \(\sqrt{5}-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

Racionalizamos el segundo término:

\[ \frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5} \]

Entonces:

\[ \sqrt{5}-\frac{1}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{5} \]

Escribimos \(\sqrt{5}\) con denominador 5:

\[ \sqrt{5}=\frac{5\sqrt{5}}{5} \]

Luego:

\[ \frac{5\sqrt{5}}{5}-\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{4\sqrt{5}}{5} \]

Resultado: \[ \boxed{\frac{4\sqrt{5}}{5}} \]

10) \(\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{2}{3}\)

Primero racionalizamos \(\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}\). Para ello multiplicamos por el conjugado:

\[ \frac{1}{1+\sqrt{2}}\cdot\frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}= \frac{1-\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})} \]

Aplicamos diferencia de cuadrados en el denominador:

\[ (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1-(\sqrt{2})^2=1-2=-1 \]

Entonces:

\[ \frac{1-\sqrt{2}}{-1}=\sqrt{2}-1 \]

La expresión original queda:

\[ \sqrt{2}-1+\frac{2}{3} \]

Sumamos las partes racionales:

\[ -1+\frac{2}{3}=-\frac{3}{3}+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3} \]

Por lo tanto:

\[ \sqrt{2}-\frac{1}{3} \]

También puede escribirse como una sola fracción:

\[ \frac{3\sqrt{2}-1}{3} \]

Resultado: \[ \boxed{\sqrt{2}-\frac{1}{3}} \qquad \text{o equivalentemente} \qquad \boxed{\frac{3\sqrt{2}-1}{3}} \]