Libro de las Raices
12. otros ejercicios
Desarrollo detallado de ejercicios con radicales
Consideración inicial
En los ejercicios que incluyen \(\sqrt{x^2}\), matemáticamente se cumple que \(\sqrt{x^2}=|x|\). Si además se asume \(x\ge 0\), entonces \(|x|=x\).
En esta página se muestra primero la forma exacta y, cuando corresponde, también el caso usual \(x\ge 0\).
Ejercicio 1
Simplifica:
\[ \sqrt{75}+\sqrt{27}+\sqrt{12} \]
Buscamos extraer cuadrados perfectos de cada radical:
\[ \sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3} \]
\[ \sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3} \]
\[ \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3} \]
Entonces:
\[ \sqrt{75}+\sqrt{27}+\sqrt{12} = 5\sqrt{3}+3\sqrt{3}+2\sqrt{3}. \]
Reducimos términos semejantes:
\[ 5\sqrt{3}+3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=10\sqrt{3}. \]
Por lo tanto:
\[ \boxed{10\sqrt{3}} \]
Ejercicio 2
Simplifica:
\[ \sqrt{20}+\sqrt{45}+\sqrt{80} \]
Simplificamos cada radical:
\[ \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5} \]
\[ \sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5} \]
\[ \sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5} \]
Sumamos:
\[ \sqrt{20}+\sqrt{45}+\sqrt{80} = 2\sqrt{5}+3\sqrt{5}+4\sqrt{5}. \]
\[ 2\sqrt{5}+3\sqrt{5}+4\sqrt{5}=9\sqrt{5}. \]
Por lo tanto:
\[ \boxed{9\sqrt{5}} \]
Ejercicio 3
Simplifica:
\[ \sqrt{9x^2}+\sqrt{4x^2} \]
Separamos el número y la variable:
\[ \sqrt{9x^2} = \sqrt{9}\sqrt{x^2} = 3|x|. \]
\[ \sqrt{4x^2} = \sqrt{4}\sqrt{x^2} = 2|x|. \]
Entonces:
\[ \sqrt{9x^2}+\sqrt{4x^2} = 3|x|+2|x|. \]
Reducimos términos semejantes:
\[ 3|x|+2|x|=5|x|. \]
Resultado exacto:
\[ \boxed{5|x|} \]
Si se asume \(x\ge 0\), entonces \(|x|=x\), por lo que:
\[ \boxed{5x} \]
Ejercicio 4
Simplifica:
\[ \sqrt[3]{8x^3}+\sqrt[3]{27x^3}+\sqrt[3]{64x^3} \]
En raíces cúbicas, la simplificación de \(\sqrt[3]{x^3}\) da directamente \(x\).
\[ \sqrt[3]{8x^3} = \sqrt[3]{8}\sqrt[3]{x^3} = 2x. \]
\[ \sqrt[3]{27x^3} = \sqrt[3]{27}\sqrt[3]{x^3} = 3x. \]
\[ \sqrt[3]{64x^3} = \sqrt[3]{64}\sqrt[3]{x^3} = 4x. \]
Sumamos los términos semejantes:
\[ 2x+3x+4x=9x. \]
Por lo tanto:
\[ \boxed{9x} \]
Ejercicio 5
Simplifica:
\[ \sqrt{8x^2}+\sqrt{64x^2}+\sqrt{9}+\sqrt{100} \]
Simplificamos cada término por separado.
Para el primero:
\[ \sqrt{8x^2} = \sqrt{4\cdot 2\cdot x^2} = 2\sqrt{2}|x|. \]
Para el segundo:
\[ \sqrt{64x^2} = \sqrt{64}\sqrt{x^2} = 8|x|. \]
Además:
\[ \sqrt{9}=3 \qquad \sqrt{100}=10. \]
Reemplazamos en la expresión original:
\[ \sqrt{8x^2}+\sqrt{64x^2}+\sqrt{9}+\sqrt{100} = 2\sqrt{2}|x|+8|x|+3+10. \]
Sumamos las constantes:
\[ 2\sqrt{2}|x|+8|x|+13. \]
Resultado exacto:
\[ \boxed{2\sqrt{2}|x|+8|x|+13} \]
Si se asume \(x\ge 0\), queda:
\[ \boxed{2\sqrt{2}x+8x+13} \]
Ejercicio 6
Calcula:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2} \]
Primero racionalizamos el término \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\):
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]
Entonces la suma queda:
\[ \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}. \]
Como tienen el mismo denominador, sumamos numeradores:
\[ \frac{\sqrt{2}+1}{2}. \]
Por lo tanto:
\[ \boxed{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} \]
Ejercicio 7
Calcula:
\[ \frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{2\sqrt{3}}{3} \]
Racionalizamos el primer término:
\[ \frac{4}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}. \]
Entonces:
\[ \frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}. \]
Restamos términos semejantes:
\[ \frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}. \]
Por lo tanto:
\[ \boxed{\frac{2\sqrt{3}}{3}} \]
Ejercicio 8
Calcula:
\[ \frac{5}{\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{2}}{2} \]
Racionalizamos el primer término:
\[ \frac{5}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}. \]
Entonces:
\[ \frac{5}{\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}. \]
Restamos:
\[ \frac{5\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}. \]
Por lo tanto:
\[ \boxed{\sqrt{2}} \]
Ejercicio 9
Calcula:
\[ \sqrt{5}-\frac{1}{\sqrt{5}} \]
Racionalizamos el segundo término:
\[ \frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}. \]
Entonces:
\[ \sqrt{5}-\frac{1}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{5}. \]
Escribimos \(\sqrt{5}\) con denominador \(5\):
\[ \sqrt{5} = \frac{5\sqrt{5}}{5}. \]
Luego:
\[ \frac{5\sqrt{5}}{5}-\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{4\sqrt{5}}{5}. \]
Por lo tanto:
\[ \boxed{\frac{4\sqrt{5}}{5}} \]
Ejercicio 10
Calcula:
\[ \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{2}{3} \]
Primero racionalizamos \(\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}\). Para ello multiplicamos por el conjugado:
\[ \frac{1}{1+\sqrt{2}}\cdot\frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{1-\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}. \]
Aplicamos diferencia de cuadrados en el denominador:
\[ (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1-(\sqrt{2})^2 = 1-2 = -1. \]
Entonces:
\[ \frac{1-\sqrt{2}}{-1} = \sqrt{2}-1. \]
La expresión original queda:
\[ \sqrt{2}-1+\frac{2}{3}. \]
Sumamos las partes racionales:
\[ -1+\frac{2}{3} = -\frac{3}{3}+\frac{2}{3} = -\frac{1}{3}. \]
Por lo tanto:
\[ \sqrt{2}-\frac{1}{3}. \]
También puede escribirse como una sola fracción:
\[ \frac{3\sqrt{2}-1}{3}. \]
Resultado:
\[ \boxed{\sqrt{2}-\frac{1}{3}} \qquad \text{o equivalentemente} \qquad \boxed{\frac{3\sqrt{2}-1}{3}}. \]