funciones Inversas
2. La función como relación
Objetivo de aprendizaje
Comprender que una función es una relación especial entre dos conjuntos, identificándola mediante pares ordenados, tablas y diagramas sagitales.
- Reconocer cuándo una relación corresponde a una función.
- Distinguir dominio, codominio e imagen en una función.
- Leer funciones representadas por extensión y mediante diagramas sagitales.
- Identificar relaciones que no son funciones y justificar por qué.
- Representar funciones simples a partir de información dada.
Una función puede pensarse como una regla que asigna a cada elemento de un conjunto de partida un único elemento de un conjunto de llegada. Por ejemplo, a cada estudiante de un curso se le puede asociar su número de lista, o a cada mes del año su cantidad de días en un año no bisiesto.
La idea central es que cada elemento del conjunto inicial debe quedar asociado de manera clara y única.
Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos. Una función de \(A\) en \(B\) es una relación que cumple estas dos condiciones:
- Cada elemento de \(A\) debe tener imagen.
- Cada elemento de \(A\) debe tener una sola imagen en \(B\).
Si \(f\) es una función de \(A\) en \(B\), se escribe:
\[ f:A\to B \]
En una función \(f:A\to B\):
- Dominio: es el conjunto de partida \(A\).
- Codominio: es el conjunto de llegada \(B\).
- Imagen de un elemento: es el valor de \(B\) que le corresponde.
- Imagen de la función: es el conjunto de valores de \(B\) que realmente reciben al menos una flecha.
En una función, todo elemento del dominio debe tener exactamente una imagen, pero no todo elemento del codominio tiene que ser usado.
Ejemplo 1: una relación que sí es función
Sean \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{a,b,c,d\}\). Consideremos la relación:
\[ f=\{(1,a),(2,c),(3,d)\} \]
Cada elemento de \(A\) aparece una vez y con una sola imagen. Por eso, esta relación sí es una función.
En este caso:
\[ \mathrm{Dom}(f)=\{1,2,3\} \]
\[ \mathrm{Cod}(f)=\{a,b,c,d\} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=\{a,c,d\} \]
Ejemplo 2: una relación que no es función porque una entrada tiene dos imágenes
Sean \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{a,b,c\}\). Consideremos la relación:
\[ R=\{(1,a),(1,c),(2,b),(3,c)\} \]
El elemento \(1\) del conjunto \(A\) queda relacionado con dos elementos distintos: \(a\) y \(c\).
Por eso, esta relación no es función.
Ejemplo 3: una relación que no es función porque falta una imagen
Sean \(A=\{x,y,z\}\) y \(B=\{2,4,6\}\). Consideremos la relación:
\[ S=\{(x,2),(y,4)\} \]
El elemento \(z\) del dominio no tiene imagen. Por eso, la relación no es función.
- Mira cada elemento del conjunto de partida.
- Verifica que todos tengan flecha.
- Comprueba que cada uno tenga solo una flecha de salida.
Lo importante está en lo que ocurre con los elementos del dominio.
No hay que mirar primero si en el conjunto de llegada se repiten valores.
Dos elementos distintos del dominio pueden llegar al mismo valor y seguir formando una función.
Lo que no puede ocurrir es que un mismo elemento del dominio tenga dos imágenes distintas, o que no tenga ninguna.
Ejemplo 4: dos elementos distintos pueden tener la misma imagen
Sean \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{a,b\}\). Consideremos:
\[ g=\{(1,a),(2,b),(3,b)\} \]
Aunque \(2\) y \(3\) tienen la misma imagen \(b\), la relación sí es función, porque cada elemento del dominio tiene exactamente una imagen.
Ejemplo 5: leer una función desde un diagrama sagital
Observa el siguiente diagrama:
La función escrita por extensión es:
\[ h=\{(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)\} \]
Entonces:
\[ \mathrm{Dom}(h)=\{-1,0,1,2\} \]
\[ \mathrm{Cod}(h)=\{0,1,4,5\} \]
\[ \mathrm{Im}(h)=\{0,1,4\} \]
Además, la imagen de \(-1\) es \(1\), y la imagen de \(2\) es \(4\).
Ejercicio 1: reconocer una función por extensión
Decide si la relación
\[ R=\{(1,a),(2,b),(3,c)\} \]
es una función de \(A=\{1,2,3\}\) en \(B=\{a,b,c,d\}\).
Sí es función.
Cada elemento de \(A\) aparece exactamente una vez y con una sola imagen:
\(1\to a\), \(2\to b\), \(3\to c\).
El hecho de que \(d\) no reciba flecha no impide que sea función.
Ejercicio 2: una entrada con dos imágenes
Decide si la relación
\[ R=\{(1,a),(1,b),(2,c)\} \]
es una función de \(A=\{1,2\}\) en \(B=\{a,b,c\}\).
No es función.
El elemento \(1\) del dominio tiene dos imágenes distintas: \(a\) y \(b\).
Eso contradice la condición de unicidad.
Ejercicio 3: falta una imagen
Sea \(A=\{x,y,z\}\), \(B=\{2,4,6\}\) y la relación
\[ S=\{(x,2),(z,6)\} \]
¿Es una función de \(A\) en \(B\)?
No es función.
El elemento \(y\) del dominio no tiene imagen.
En una función, cada elemento del dominio debe tener una imagen.
Ejercicio 4: dominio, codominio e imagen
Sea la función
\[ f=\{(1,m),(2,n),(3,n),(4,p)\} \]
de \(A=\{1,2,3,4\}\) en \(B=\{m,n,p,q\}\).
Determina:
a) el dominio,
b) el codominio,
c) la imagen de la función,
d) la imagen de \(3\).
a) El dominio es \(A\), por lo tanto:
\[ \mathrm{Dom}(f)=\{1,2,3,4\} \]
b) El codominio es \(B\):
\[ \mathrm{Cod}(f)=\{m,n,p,q\} \]
c) La imagen de la función está formada por los valores que realmente aparecen como salida:
\[ \mathrm{Im}(f)=\{m,n,p\} \]
d) La imagen de \(3\) es:
\[ f(3)=n \]
Ejercicio 5: construir una función por extensión
Sean \(A=\{1,2,3,4\}\) y \(B=\{2,4,6,8,10\}\). Escribe por extensión la función \(f\) dada por \(f(x)=2x\).
Calculamos el doble de cada elemento del dominio:
\(f(1)=2\), \(f(2)=4\), \(f(3)=6\), \(f(4)=8\).
Entonces:
\[ f=\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)\} \]
Ejercicio 6: leer una función desde un diagrama
Observa el siguiente diagrama sagital y responde:
a) escribe la función por extensión,
b) indica si es función,
c) determina su imagen.
a) La función por extensión es:
\[ f=\{(1,b),(2,d),(3,b)\} \]
b) Sí es función, porque cada elemento del dominio tiene exactamente una imagen.
c) La imagen de la función es:
\[ \mathrm{Im}(f)=\{b,d\} \]
Ejercicio 7: decidir desde un diagrama si hay función
Observa el siguiente diagrama sagital y decide si representa una función.
No representa una función.
El elemento \(x\) tiene dos imágenes distintas: \(1\) y \(2\).
Eso basta para que la relación no sea función.
Ejercicio 8: representar una función en diagrama sagital
Representa en un diagrama sagital la función
\[ g=\{(p,2),(q,2),(r,5)\} \]
de \(A=\{p,q,r\}\) en \(B=\{2,3,5\}\).
Se dibuja una flecha por cada par ordenado:
- de \(p\) a \(2\),
- de \(q\) a \(2\),
- de \(r\) a \(5\).
Ejercicio 9: contexto cotidiano
Sea el conjunto de estudiantes \(A=\{\text{Ana},\text{Bruno},\text{Carla}\}\) y el conjunto de casilleros \(B=\{1,2,3,4\}\).
La relación
\[ R=\{(\text{Ana},1),(\text{Bruno},3),(\text{Carla},4)\} \]
indica qué casillero usa cada estudiante. ¿Representa una función de \(A\) en \(B\)? Justifica.
Sí representa una función.
Cada estudiante del conjunto \(A\) tiene asignado exactamente un casillero.
El casillero \(2\) queda libre, pero eso no impide que la relación sea función.
Ejercicio 10: síntesis final
Sean \(A=\{-1,0,1,2\}\) y \(B=\{0,1,4,5\}\). Considera la relación
\[ h=\{(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)\} \]
Determina:
a) si es función,
b) su dominio,
c) su codominio,
d) su imagen,
e) la imagen de \(2\).
a) Sí es función, porque cada elemento de \(A\) tiene exactamente una imagen.
b) El dominio es:
\[ \mathrm{Dom}(h)=\{-1,0,1,2\} \]
c) El codominio es:
\[ \mathrm{Cod}(h)=\{0,1,4,5\} \]
d) La imagen es:
\[ \mathrm{Im}(h)=\{0,1,4\} \]
e) La imagen de \(2\) es:
\[ h(2)=4 \]
En esta página vimos que una función es una relación especial en la que cada elemento del dominio tiene exactamente una imagen.
También distinguimos dominio, codominio e imagen, y analizamos funciones a partir de pares ordenados y diagramas sagitales.