funciones Inversas
3. Funciones en tablas y en el plano cartesiano
Objetivo de aprendizaje
Relacionar la definición de función con sus representaciones en tablas, pares ordenados y gráficos en el plano cartesiano, identificando cuándo un gráfico representa una función.
- Construir pares ordenados a partir de una tabla de valores.
- Representar una función en el plano cartesiano.
- Interpretar información desde el gráfico de una función.
- Reconocer cuándo un gráfico no representa una función.
- Aplicar el criterio de la recta vertical en casos simples.
Cuando una situación depende de otra, podemos organizar la información en una tabla, escribir pares ordenados o dibujar un gráfico en el plano cartesiano. Por ejemplo, si a cada número se le asocia su doble, esa relación puede verse en una lista de valores, en pares ordenados como \((1,2)\), \((2,4)\), \((3,6)\), y también como puntos sobre una recta.
Aprender a pasar de una representación a otra ayuda a entender mejor cómo se comporta una función.
Si una función asigna a cada valor \(x\) un valor \(y\), podemos escribir esa información como pares ordenados:
\[ (x,y) \]
Cada par ordenado se representa como un punto en el plano cartesiano.
Si la regla es \(y=f(x)\), entonces el gráfico está formado por todos los puntos \((x,f(x))\).
Un gráfico representa una función si para cada valor de \(x\) aparece un solo valor de \(y\).
Una forma rápida de revisarlo es usar el criterio de la recta vertical:
si una recta vertical corta al gráfico en más de un punto, entonces ese gráfico no representa una función.
Ejemplo 1: desde una tabla a pares ordenados
Consideremos la siguiente tabla:
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| 3 | 7 |
Los pares ordenados correspondientes son:
\[ (0,1),\ (1,3),\ (2,5),\ (3,7) \]
Cada fila de la tabla entrega un valor de \(x\) y su imagen correspondiente.
Ejemplo 2: representar esos pares en el plano cartesiano
Si ubicamos los pares ordenados \((0,1)\), \((1,3)\), \((2,5)\) y \((3,7)\), obtenemos puntos que pertenecen a la recta \(y=2x+1\).
Observamos que para cada valor de \(x\) aparece un único valor de \(y\). Por eso, el gráfico representa una función.
Ejemplo 3: un gráfico que sí representa una función
Consideremos el gráfico de \(y=x^2\).
Aunque algunos valores de \(y\) se repiten, cada valor de \(x\) tiene una sola imagen. Por eso, este gráfico sí representa una función.
Ejemplo 4: un gráfico que no representa una función
Ahora observemos la relación dada por la circunferencia \(x^2+y^2=4\).
Si tomamos, por ejemplo, \(x=1\), aparecen dos valores de \(y\):
\[ y=\sqrt{3}\quad \text{y} \quad y=-\sqrt{3} \]
Por eso, este gráfico no representa una función de \(x\).
- Imagina una recta vertical \(x=k\).
- Revisa cuántas veces corta al gráfico.
- Si lo corta una sola vez, no hay problema en ese valor de \(x\).
- Si alguna recta vertical lo corta dos o más veces, el gráfico no representa una función.
No hay que confundir “dos valores de \(x\) distintos con la misma imagen” con “un mismo valor de \(x\) con dos imágenes”.
Lo primero puede ocurrir en una función. Lo segundo no puede ocurrir.
Ejemplo 5: leer información desde un gráfico
Observa el gráfico de la función \(y=-x+3\).
Desde el gráfico podemos leer, por ejemplo:
\[ f(0)=3,\qquad f(1)=2,\qquad f(3)=0 \]
Eso significa que las imágenes de \(0\), \(1\) y \(3\) son \(3\), \(2\) y \(0\), respectivamente.
Ejercicio 1: de tabla a pares ordenados
Escribe los pares ordenados que corresponden a la siguiente tabla:
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| -1 | 0 |
| 0 | 2 |
| 1 | 4 |
| 2 | 6 |
Cada fila entrega un par ordenado:
\[ (-1,0),\ (0,2),\ (1,4),\ (2,6) \]
Ejercicio 2: reconocer la regla desde una tabla
Observa la tabla:
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| 0 | 2 |
| 1 | 4 |
| 2 | 6 |
| 3 | 8 |
Escribe una regla simple que relacione \(x\) con \(y\).
En cada caso, el valor de \(y\) es dos unidades mayor que el doble de \(x\) o, de forma más simple, se cumple:
\[ y=2x+2 \]
Se verifica porque:
\(2(0)+2=2\), \(2(1)+2=4\), \(2(2)+2=6\), \(2(3)+2=8\).
Ejercicio 3: ubicar puntos en el plano
Indica cuáles son los puntos que se deben ubicar para representar la tabla:
\[ x: 0,1,2,3 \qquad y: 1,3,5,7 \]
Los puntos son:
\[ (0,1),\ (1,3),\ (2,5),\ (3,7) \]
Ejercicio 4: leer imágenes desde un gráfico
Observa el gráfico de \(y=x+2\) y determina \(f(0)\), \(f(2)\) y \(f(4)\).
Se reemplaza cada valor de \(x\) o se lee directamente desde el gráfico:
\[ f(0)=2,\qquad f(2)=4,\qquad f(4)=6 \]
Ejercicio 5: decidir si un gráfico representa una función
Observa el gráfico y responde si representa una función de \(x\).
Sí representa una función.
Cada valor de \(x\) tiene una sola imagen \(y\).
Aunque algunos valores de \(y\) se repiten, eso no impide que sea función.
Ejercicio 6: reconocer un gráfico que no es función
Observa el siguiente gráfico y decide si representa una función.
No representa una función de \(x\).
Por ejemplo, para \(x=0\) aparecen dos valores:
\[ y=2 \quad \text{y} \quad y=-2 \]
Una recta vertical corta al gráfico en dos puntos.
Ejercicio 7: completar una tabla desde una regla
Completa los valores de \(y\) si \(y=3x-1\) y \(x=0,1,2,3\).
Reemplazamos cada valor de \(x\):
\[ y(0)=3(0)-1=-1 \]
\[ y(1)=3(1)-1=2 \]
\[ y(2)=3(2)-1=5 \]
\[ y(3)=3(3)-1=8 \]
La tabla queda:
\[ (0,-1),\ (1,2),\ (2,5),\ (3,8) \]
Ejercicio 8: de tabla a gráfico
La tabla siguiente corresponde a una función:
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
Escribe los puntos que se deben ubicar y menciona qué forma general sugiere el gráfico.
Los puntos son:
\[ (-2,4),\ (-1,1),\ (0,0),\ (1,1),\ (2,4) \]
Estos puntos sugieren la forma de una parábola, correspondiente a la regla \(y=x^2\).
Ejercicio 9: aplicar el criterio de la recta vertical
Explica por qué la circunferencia \(x^2+y^2=9\) no representa una función de \(x\).
Para algunos valores de \(x\), aparecen dos valores de \(y\).
Por ejemplo, si \(x=0\), entonces:
\[ y=3 \quad \text{y} \quad y=-3 \]
Una recta vertical corta a la circunferencia en dos puntos, por eso no representa una función de \(x\).
Ejercicio 10: síntesis final
Considera la regla \(y=2x-1\).
Determina:
a) los pares ordenados correspondientes a \(x=0,1,2,3\),
b) la imagen de \(0\) y de \(3\),
c) si el gráfico representa una función.
a) Reemplazamos:
\[ y(0)=2(0)-1=-1, \]
\[ y(1)=2(1)-1=1, \]
\[ y(2)=2(2)-1=3, \]
\[ y(3)=2(3)-1=5 \]
Entonces los pares son:
\[ (0,-1),\ (1,1),\ (2,3),\ (3,5) \]
b) Las imágenes pedidas son:
\[ f(0)=-1,\qquad f(3)=5 \]
c) Sí, su gráfico representa una función, porque cada valor de \(x\) determina un único valor de \(y\).
En esta página vinculamos tablas, pares ordenados y gráficos en el plano cartesiano.
También aprendimos a reconocer cuándo un gráfico representa una función y cuándo no, usando la idea de que a cada valor de \(x\) le debe corresponder una sola imagen.