funciones Inversas
4. Función inyectiva
Objetivo de aprendizaje
Comprender qué significa que una función sea inyectiva, reconociéndola mediante pares ordenados, diagramas sagitales y gráficos en el plano cartesiano.
- Definir inyectividad en lenguaje claro y formal.
- Identificar funciones inyectivas en diagramas sagitales.
- Distinguir funciones inyectivas de funciones que no lo son.
- Relacionar la inyectividad con la idea de imágenes no repetidas.
- Interpretar la inyectividad en gráficos sencillos.
Imagina que en un colegio cada estudiante recibe un casillero distinto. Si dos estudiantes diferentes no comparten el mismo casillero, entonces mirando el casillero se puede saber exactamente a qué estudiante corresponde.
Esa idea de “salidas no repetidas” ayuda a entender qué significa que una función sea inyectiva.
Sea \(f:A\to B\). Decimos que \(f\) es inyectiva cuando elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas.
En lenguaje simbólico:
\[ x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2) \]
De manera equivalente, si dos elementos tienen la misma imagen, entonces deben ser el mismo elemento:
\[ f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2 \]
En una función inyectiva no se repiten imágenes. Eso significa que en el diagrama sagital no puede haber dos flechas distintas que lleguen al mismo elemento del codominio.
En el plano cartesiano, una función no es inyectiva cuando una recta horizontal corta su gráfico en más de un punto. Por eso, para funciones sencillas, la inyectividad puede revisarse con la idea de la recta horizontal.
Ejemplo 1: una función inyectiva en diagrama sagital
Sea \(f:A\to B\) con:
\[ f=\{(1,a),(2,b),(3,d)\} \]
donde \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{a,b,c,d\}\).
Las imágenes son \(a\), \(b\) y \(d\), y ninguna se repite.
Por eso, la función es inyectiva.
Ejemplo 2: una función que no es inyectiva
Sea \(g:A\to B\) con:
\[ g=\{(1,a),(2,c),(3,c)\} \]
donde \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{a,b,c\}\).
Los elementos \(2\) y \(3\) tienen la misma imagen: \(c\).
Como hay una imagen repetida, la función no es inyectiva.
Para revisar si una función es inyectiva en un diagrama sagital, conviene mirar el conjunto de llegada y preguntar:
¿Hay algún elemento que reciba dos flechas?
Si la respuesta es sí, entonces la función no es inyectiva.
Ejemplo 3: inyectividad en una tabla de valores
Consideremos la función dada por la tabla:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -1 | 0 |
| 0 | 2 |
| 1 | 4 |
| 2 | 6 |
Las imágenes son \(0\), \(2\), \(4\) y \(6\).
Ninguna se repite, por lo tanto la función es inyectiva.
Ejemplo 4: una tabla que no corresponde a una función inyectiva
Ahora observemos:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
Aquí la imagen \(1\) se repite y la imagen \(4\) también se repite.
Por lo tanto, la función no es inyectiva.
Ejemplo 5: lectura gráfica de una función inyectiva
Observa el gráfico de la función \(y=2x+1\).
Cualquier recta horizontal corta al gráfico a lo más en un punto.
Por eso, esta función es inyectiva.
Ejemplo 6: lectura gráfica de una función que no es inyectiva
Observa ahora el gráfico de \(y=x^2\).
La recta horizontal \(y=4\), por ejemplo, corta al gráfico en dos puntos: uno cuando \(x=2\) y otro cuando \(x=-2\).
Por eso, esta función no es inyectiva.
No basta con que todos los elementos del dominio tengan imagen. Para que una función sea inyectiva, además esas imágenes no deben repetirse.
Ejercicio 1: decidir si una función es inyectiva
Determina si la función
\[ f=\{(1,a),(2,b),(3,c)\} \]
es inyectiva.
Sí es inyectiva.
Las imágenes son \(a\), \(b\) y \(c\), y ninguna se repite.
Ejercicio 2: detectar imagen repetida
Determina si la función
\[ g=\{(1,m),(2,n),(3,n),(4,p)\} \]
es inyectiva.
No es inyectiva.
Los elementos \(2\) y \(3\) tienen la misma imagen \(n\).
Ejercicio 3: inyectividad en un diagrama sagital
Observa el diagrama y decide si representa una función inyectiva.
Sí representa una función inyectiva.
Cada elemento del dominio tiene una sola imagen y ninguna imagen se repite.
Ejercicio 4: una función que no es inyectiva en sagital
Observa el diagrama y decide si la función es inyectiva.
No es inyectiva.
Los elementos \(2\) y \(3\) llegan al mismo valor \(c\).
Ejercicio 5: revisar una tabla
Determina si la función dada por la tabla es inyectiva.
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| 0 | 2 |
| 1 | 5 |
| 2 | 8 |
| 3 | 11 |
Sí es inyectiva.
Las imágenes son \(2\), \(5\), \(8\) y \(11\), y todas son distintas.
Ejercicio 6: tabla con imágenes repetidas
Determina si la función dada por la tabla es inyectiva.
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
No es inyectiva.
La imagen \(1\) se repite y la imagen \(4\) también se repite.
Ejercicio 7: lectura gráfica de una recta
Observa el gráfico de \(y=-x+2\) y decide si la función es inyectiva.
Sí es inyectiva.
Cualquier recta horizontal corta al gráfico a lo más una vez.
Ejercicio 8: lectura gráfica de una parábola
Observa el gráfico de \(y=x^2\) y decide si la función es inyectiva.
No es inyectiva.
La recta horizontal \(y=4\) corta al gráfico en dos puntos, correspondientes a \(x=-2\) y \(x=2\).
Ejercicio 9: justificar con imágenes
La función \(f\) cumple:
\[ f(1)=3,\quad f(2)=5,\quad f(3)=7,\quad f(4)=9 \]
Explica si es inyectiva.
Sí es inyectiva.
Las imágenes son \(3\), \(5\), \(7\) y \(9\), y todas son distintas.
Por lo tanto, elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas.
Ejercicio 10: síntesis final
Sean \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) y la función \(f(x)=x^2\).
Determina:
a) las imágenes de los elementos de \(A\),
b) si la función es inyectiva en ese dominio.
a) Calculamos:
\[ f(-2)=4,\quad f(-1)=1,\quad f(0)=0,\quad f(1)=1,\quad f(2)=4 \]
b) No es inyectiva, porque hay imágenes repetidas.
Por ejemplo, \(f(-1)=1\) y \(f(1)=1\), además \(f(-2)=4\) y \(f(2)=4\).
En esta página aprendimos que una función es inyectiva cuando no repite imágenes.
También vimos cómo reconocer esa propiedad en diagramas sagitales, tablas y gráficos en el plano cartesiano.