funciones Inversas
5. Sobreyectividad y biyectividad
Objetivo de aprendizaje
Comprender qué significa que una función sea sobreyectiva o biyectiva, identificándolo mediante diagramas sagitales, pares ordenados, tablas y gráficos sencillos.
- Distinguir entre codominio e imagen.
- Reconocer cuándo una función es sobreyectiva.
- Reconocer cuándo una función es biyectiva.
- Comparar funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
- Interpretar estas propiedades en representaciones sagitales y cartesianas simples.
Imagina que un grupo de estudiantes ocupa casilleros. Si todos los casilleros disponibles quedan ocupados, entonces no sobra ninguno. Esa idea ayuda a entender la sobreyectividad: todos los elementos del codominio reciben al menos una flecha.
Si además cada estudiante ocupa un casillero distinto, entonces la asignación es perfecta: no sobra ningún casillero y no se repite ninguno. Esa es la idea de biyectividad.
Sea \(f:A\to B\).
- Codominio: es el conjunto de llegada \(B\).
- Imagen de la función: es el conjunto de valores de \(B\) que realmente reciben al menos una flecha.
Siempre se cumple:
\[ \mathrm{Im}(f)\subseteq B \]
La función es sobreyectiva cuando la imagen coincide con el codominio:
\[ \mathrm{Im}(f)=B \]
Una función \(f:A\to B\) es sobreyectiva si todo elemento del codominio tiene al menos una preimagen.
Una función \(f:A\to B\) es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.
En un diagrama sagital:
- sobreyectiva: ningún elemento del codominio queda sin flecha,
- biyectiva: ningún elemento del codominio queda sin flecha y, además, ninguna imagen se repite.
Ejemplo 1: función sobreyectiva, pero no inyectiva
Sea \(f:A\to B\) dada por:
\[ f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,c)\} \]
con \(A=\{1,2,3,4\}\) y \(B=\{a,b,c\}\).
Todos los elementos del codominio reciben al menos una flecha, por lo tanto la función es sobreyectiva.
Sin embargo, \(3\) y \(4\) tienen la misma imagen \(c\), así que no es inyectiva.
Ejemplo 2: función que no es sobreyectiva
Sea \(g:A\to B\) dada por:
\[ g=\{(1,a),(2,c),(3,d)\} \]
con \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{a,b,c,d\}\).
El elemento \(b\) del codominio no recibe ninguna flecha.
Por eso, la función no es sobreyectiva.
Ejemplo 3: función biyectiva
Sea \(h:A\to B\) dada por:
\[ h=\{(-1,p),(0,q),(1,r)\} \]
con \(A=\{-1,0,1\}\) y \(B=\{p,q,r\}\).
Cada elemento del codominio recibe una flecha y ninguna imagen se repite.
Por eso, la función es biyectiva.
- Mira el codominio completo.
- Verifica si todos sus elementos reciben al menos una flecha.
- Si alguno queda libre, la función no es sobreyectiva.
- Si todos reciben flecha y además no hay imágenes repetidas, la función es biyectiva.
Ejemplo 4: sobreyectividad en una tabla
Sea una función de \(A=\{1,2,3,4\}\) en \(B=\{m,n,p\}\) dada por la tabla:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| 1 | m |
| 2 | n |
| 3 | p |
| 4 | p |
La imagen de la función es:
\[ \mathrm{Im}(f)=\{m,n,p\} \]
Como coincide con el codominio, la función es sobreyectiva.
No es biyectiva porque la imagen \(p\) se repite.
Ejemplo 5: lectura gráfica sencilla
Consideremos la función \(f(x)=x+1\) con dominio \(A=\{-1,0,1,2\}\) y codominio \(B=\{0,1,2,3\}\).
La imagen es \(\{0,1,2,3\}\), que coincide con el codominio, y además no hay imágenes repetidas.
Por eso, en este contexto, la función es biyectiva.
No confundir codominio con imagen.
El codominio es el conjunto de llegada que se declara desde el principio. La imagen está formada solo por los valores que realmente aparecen como salida.
Una función es sobreyectiva solo cuando ambos conjuntos coinciden.
Ejercicio 1: decidir si una función es sobreyectiva
Sea \(f:A\to B\) con \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{a,b,c\}\) y
\[ f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,c)\} \]
Determina si la función es sobreyectiva.
Sí es sobreyectiva.
La imagen es \(\{a,b,c\}\), que coincide con el codominio \(B\).
Ejercicio 2: detectar que no es sobreyectiva
Sea \(g:A\to B\) con \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{m,n,p,q\}\) y
\[ g=\{(1,m),(2,p),(3,q)\} \]
¿Es sobreyectiva?
No es sobreyectiva.
La imagen es \(\{m,p,q\}\), pero el codominio es \(\{m,n,p,q\}\).
El elemento \(n\) no recibe ninguna flecha.
Ejercicio 3: clasificación desde un diagrama sagital
Observa el diagrama y decide si la función es sobreyectiva, biyectiva o ninguna de las dos.
Es biyectiva.
Todos los elementos del codominio reciben una flecha y ninguna imagen se repite.
Ejercicio 4: sobreyectiva pero no biyectiva
Observa el diagrama y clasifica la función.
Es sobreyectiva, pero no biyectiva.
Es sobreyectiva porque \(1\), \(2\) y \(3\) reciben al menos una flecha.
No es biyectiva porque la imagen \(3\) se repite.
Ejercicio 5: comparar codominio e imagen
Sea \(f:A\to B\) con \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c,d\}\) y
\[ f=\{(1,a),(2,c),(3,c)\} \]
Determina:
a) el codominio,
b) la imagen,
c) si la función es sobreyectiva.
a) El codominio es:
\[ B=\{a,b,c,d\} \]
b) La imagen es:
\[ \mathrm{Im}(f)=\{a,c\} \]
c) No es sobreyectiva, porque \(\{a,c\}\neq\{a,b,c,d\}\).
Ejercicio 6: tabla sobreyectiva
La función de \(A=\{1,2,3,4\}\) en \(B=\{m,n,p\}\) está dada por la tabla:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| 1 | m |
| 2 | n |
| 3 | p |
| 4 | p |
Determina si es sobreyectiva y si es biyectiva.
La imagen es \(\{m,n,p\}\).
Como coincide con el codominio, la función es sobreyectiva.
No es biyectiva porque la imagen \(p\) se repite.
Ejercicio 7: tabla biyectiva
La función de \(A=\{-1,0,1\}\) en \(B=\{2,3,4\}\) está dada por la tabla:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -1 | 2 |
| 0 | 3 |
| 1 | 4 |
Clasifica la función.
Es biyectiva.
Es inyectiva porque las imágenes \(2\), \(3\) y \(4\) son distintas.
Es sobreyectiva porque la imagen coincide con el codominio.
Ejercicio 8: clasificación desde un gráfico discreto
Observa los puntos del gráfico correspondiente a una función con dominio \(A=\{-1,0,1,2\}\) y codominio \(B=\{0,1,2,3\}\).
Determina si la función es sobreyectiva y si es biyectiva.
La imagen es \(\{0,1,2,3\}\), que coincide con el codominio.
Además, las imágenes no se repiten.
Por lo tanto, la función es biyectiva.
Ejercicio 9: decidir si es sobreyectiva
Sea \(f:A\to B\) con \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{2,4,6,8,10\}\) y regla \(f(x)=2x\).
Determina la imagen de la función y decide si es sobreyectiva.
Calculamos:
\[ f(1)=2,\quad f(2)=4,\quad f(3)=6,\quad f(4)=8 \]
Entonces:
\[ \mathrm{Im}(f)=\{2,4,6,8\} \]
No es sobreyectiva, porque el codominio es \(\{2,4,6,8,10\}\) y el valor \(10\) no aparece como imagen.
Ejercicio 10: síntesis final
Sea \(h:A\to B\) con \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\) y
\[ h=\{(1,b),(2,a),(3,c)\} \]
Determina:
a) la imagen de la función,
b) si es inyectiva,
c) si es sobreyectiva,
d) si es biyectiva.
a) La imagen es:
\[ \mathrm{Im}(h)=\{a,b,c\} \]
b) Es inyectiva porque ninguna imagen se repite.
c) Es sobreyectiva porque la imagen coincide con el codominio.
d) Entonces es biyectiva.
En esta página vimos que una función es sobreyectiva cuando todos los elementos del codominio reciben al menos una flecha.
También aprendimos que una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.