funciones Inversas
6. La función inversa como proceso inverso
Objetivo de aprendizaje
Comprender la función inversa como el proceso que deshace una función, interpretándola mediante diagramas sagitales, pares ordenados y gráficos en el plano cartesiano.
- Entender la idea de “hacer” y “deshacer” un proceso.
- Reconocer cuándo una función puede tener inversa.
- Relacionar una función y su inversa en diagramas sagitales.
- Identificar la simetría entre una función y su inversa respecto de la recta \(y=x\).
- Construir la relación inversa en ejemplos simples.
Muchas acciones cotidianas pueden invertirse. Si una receta dice “agregar 3”, el proceso inverso sería “restar 3”. Si una máquina duplica una cantidad, el proceso inverso consiste en dividir por 2.
La idea de función inversa aparece cuando una función puede deshacerse sin producir ambigüedades.
Sea \(f:A\to B\). Si existe una función que permite volver desde las imágenes hasta los elementos originales, esa función se llama función inversa y se denota por \(f^{-1}\).
Su acción principal es:
\[ f^{-1}(f(x))=x \]
En palabras simples, primero se aplica \(f\) y luego se aplica \(f^{-1}\), recuperando el valor inicial.
Para que una función tenga inversa, debe ser posible identificar sin dudas cuál fue el valor de partida a partir de la imagen.
Por eso, una función tiene inversa cuando es biyectiva: no repite imágenes y además usa todo el codominio.
Si dos elementos distintos del dominio llegan al mismo valor, entonces no se puede “deshacer” de manera única.
Ejemplo 1: una función y su proceso inverso en un diagrama sagital
Sea la función \(f:A\to B\) dada por:
\[ f=\{(1,a),(2,b),(3,c)\} \]
La función inversa se obtiene invirtiendo las flechas:
\[ f^{-1}=\{(a,1),(b,2),(c,3)\} \]
Como la función original es biyectiva, el proceso inverso también queda bien definido.
Ejemplo 2: una función que no puede tener inversa
Consideremos la función
\[ g=\{(1,a),(2,b),(3,b)\} \]
de \(A=\{1,2,3\}\) en \(B=\{a,b\}\).
Si tratamos de invertir la relación, obtenemos:
\[ \{(a,1),(b,2),(b,3)\} \]
Pero ahora el elemento \(b\) quedaría asociado a dos valores distintos, \(2\) y \(3\). Por eso, la inversa no queda definida como función.
Para saber si una función puede tener inversa, conviene revisar dos cosas:
- que no repita imágenes,
- que todos los elementos del codominio reciban flecha.
Si ambas condiciones se cumplen, la función es biyectiva y puede tener inversa.
Si una función está escrita por extensión, su inversa se obtiene intercambiando las posiciones en cada par ordenado.
Por ejemplo, si
\[ f=\{(1,a),(2,b),(3,c)\} \]
entonces
\[ f^{-1}=\{(a,1),(b,2),(c,3)\} \]
Es importante recordar que esto solo da una función inversa cuando la función original es biyectiva.
Ejemplo 3: pares ordenados en una función y su inversa
Sea
\[ h=\{(-1,2),(0,3),(1,4) \}
Entonces su inversa es:
\[ h^{-1}=\{(2,-1),(3,0),(4,1)\} \]
Observa que en cada par se intercambiaron la primera y la segunda componente.
Ejemplo 4: relación gráfica entre una función y su inversa
Consideremos la función \(f(x)=x+2\) y su inversa \(f^{-1}(x)=x-2\).
Los gráficos de una función y su inversa son simétricos respecto de la recta \(y=x\).
Ejemplo 5: verificar una composición sencilla
Si \(f(x)=x+2\) y \(f^{-1}(x)=x-2\), entonces:
\[ f^{-1}(f(5))=f^{-1}(7)=5 \]
También:
\[ f(f^{-1}(3))=f(1)=3 \]
Esto muestra que ambas funciones se deshacen mutuamente.
No toda función tiene inversa.
Antes de invertir pares ordenados o de pensar en “deshacer” una regla, hay que revisar si la función original es biyectiva.
Ejercicio 1: construir la relación inversa
Sea \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\). Escribe \(f^{-1}\).
Se intercambian las posiciones en cada par ordenado:
\[ f^{-1}=\{(a,1),(b,2),(c,3)\} \]
Ejercicio 2: decidir si puede tener inversa
Sea \(g=\{(1,m),(2,n),(3,n)\}\). ¿Puede tener función inversa? Justifica.
No puede tener función inversa.
Los elementos \(2\) y \(3\) tienen la misma imagen \(n\), por lo que la función no es inyectiva.
Al invertir los pares, \(n\) quedaría asociado a dos valores distintos.
Ejercicio 3: revisar biyectividad
Sea \(h:A\to B\) con \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\) y
\[ h=\{(1,b),(2,a),(3,c)\} \]
Determina si puede tener función inversa.
Sí puede tener función inversa.
La función es biyectiva: no repite imágenes y todos los elementos del codominio aparecen.
Ejercicio 4: invertir pares ordenados
Sea \(r=\{(-2,1),(-1,2),(0,3) \}\). Escribe \(r^{-1}\).
Intercambiamos cada par ordenado:
\[ r^{-1}=\{(1,-2),(2,-1),(3,0)\} \]
Ejercicio 5: leer una inversa desde un diagrama
Observa la función del diagrama y escribe su inversa.
La inversa se obtiene invirtiendo las flechas:
\[ f^{-1}=\{(2,p),(4,q),(6,r)\} \]
Ejercicio 6: función con imágenes repetidas
Sea la función \(s=\{(1,a),(2,b),(3,b),(4,c)\}\). Explica por qué no tiene función inversa.
No tiene función inversa porque no es inyectiva.
Los elementos \(2\) y \(3\) tienen la misma imagen \(b\).
Al invertir la relación, \(b\) quedaría asociado a dos valores distintos.
Ejercicio 7: interpretar una composición
Sea \(f(x)=x+3\) y \(f^{-1}(x)=x-3\). Calcula:
a) \(f^{-1}(f(2))\)
b) \(f(f^{-1}(10))\)
a)
\[ f(2)=2+3=5 \]
Luego:
\[ f^{-1}(5)=5-3=2 \]
Por lo tanto:
\[ f^{-1}(f(2))=2 \]
b)
\[ f^{-1}(10)=10-3=7 \]
Luego:
\[ f(7)=7+3=10 \]
Entonces:
\[ f(f^{-1}(10))=10 \]
Ejercicio 8: identificar la recta de simetría
En los gráficos de una función y su inversa, ¿respecto de qué recta aparece la simetría?
La simetría aparece respecto de la recta:
\[ y=x \]
Ejercicio 9: decidir si la inversa queda bien definida
Sea \(t=\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)\}\). Escribe la inversa y explica si queda definida como función.
La inversa es:
\[ t^{-1}=\{(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)\} \]
Sí queda definida como función, porque la función original no repite imágenes y cada valor de llegada aparece una sola vez.
Ejercicio 10: síntesis final
Sea \(u:A\to B\) con \(A=\{-1,0,1\}\), \(B=\{2,3,4\}\) y
\[ u=\{(-1,2),(0,3),(1,4)\} \]
Determina:
a) si puede tener inversa,
b) su inversa por extensión,
c) el dominio de \(u^{-1}\),
d) el codominio de \(u^{-1}\).
a) Sí puede tener inversa, porque la función es biyectiva.
b) La inversa es:
\[ u^{-1}=\{(2,-1),(3,0),(4,1)\} \]
c) El dominio de \(u^{-1}\) es el conjunto \(B\):
\[ \{2,3,4\} \]
d) El codominio de \(u^{-1}\) es el conjunto \(A\):
\[ \{-1,0,1\} \]
En esta página entendimos la función inversa como el proceso que deshace una función.
También vimos que una función puede tener inversa solo cuando es biyectiva, y que sus gráficos son simétricos respecto de la recta \(y=x\).