funciones Inversas
7. Función lineal y cuadrática: estudio de la inversa
Objetivo de aprendizaje
Aplicar la idea de función inversa al caso lineal y analizar el caso cuadrático, comprendiendo cuándo la inversa existe como función y cuándo es necesario restringir el dominio.
- Hallar la inversa de funciones lineales sencillas.
- Verificar una inversa mediante composición.
- Interpretar gráficamente la simetría entre una función y su inversa.
- Reconocer por qué \(y=x^2\) no tiene inversa como función en todo \(\mathbb{R}\).
- Entender la restricción de dominio en el caso cuadrático.
Si una máquina transforma un número sumándole 5, el proceso inverso consiste en restar 5. Si lo multiplica por 3, el proceso inverso consiste en dividir por 3. En una función lineal, estas acciones se pueden deshacer con claridad cuando el coeficiente de \(x\) es distinto de cero.
En cambio, con una regla como \(x^2\), la situación cambia: el mismo resultado puede venir de dos números distintos. Por eso el caso cuadrático exige más cuidado.
Sea la función lineal:
\[ f(x)=mx+n \qquad \text{con } m\neq 0 \]
Para hallar su inversa, seguimos este procedimiento:
- Escribir \(y=mx+n\).
- Intercambiar \(x\) e \(y\).
- Despejar \(y\).
Así:
\[ y=mx+n \]
\[ x=my+n \]
\[ x-n=my \]
\[ y=\frac{x-n}{m} \]
Por lo tanto:
\[ f^{-1}(x)=\frac{x-n}{m} \]
Ejemplo 1: hallar la inversa de \(f(x)=2x+1\)
Partimos con:
\[ y=2x+1 \]
Intercambiamos \(x\) e \(y\):
\[ x=2y+1 \]
Despejamos \(y\):
\[ x-1=2y \]
\[ y=\frac{x-1}{2} \]
Entonces:
\[ f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2} \]
Ejemplo 2: verificar la inversa por composición
Sea \(f(x)=2x+1\) y \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}\).
Verificamos:
\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x+1)=\frac{(2x+1)-1}{2}=\frac{2x}{2}=x \]
También:
\[ f(f^{-1}(x))=f\left(\frac{x-1}{2}\right)=2\left(\frac{x-1}{2}\right)+1=x-1+1=x \]
Como ambas composiciones devuelven \(x\), la inversa es correcta.
Ejemplo 3: gráfico de una función lineal y su inversa
Observa el gráfico de \(f(x)=2x+1\), su inversa \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}\) y la recta \(y=x\).
Los gráficos son simétricos respecto de la recta \(y=x\).
Si \(m\neq 0\), la función lineal no repite imágenes y puede deshacerse. Por eso tiene inversa.
Si \(m=0\), la función sería constante y ya no podría tener inversa como función, porque todos los valores del dominio tendrían la misma imagen.
Consideremos la función:
\[ f(x)=x^2 \]
Si trabajamos en todo \(\mathbb{R}\), esta función no es inyectiva porque:
\[ f(2)=4 \qquad \text{y} \qquad f(-2)=4 \]
Como dos valores distintos tienen la misma imagen, no puede tener inversa como función en todo \(\mathbb{R}\).
Ejemplo 4: por qué \(y=x^2\) no tiene inversa en todo \(\mathbb{R}\)
Observa el gráfico de \(y=x^2\):
La recta horizontal \(y=4\) corta al gráfico en dos puntos: \((-2,4)\) y \((2,4)\).
Eso muestra que la función no es inyectiva y, por lo tanto, no puede tener inversa como función en todo \(\mathbb{R}\).
Si restringimos el dominio de \(f(x)=x^2\) a \(x\ge 0\), entonces cada imagen positiva proviene de un único valor del dominio.
En ese caso, la función sí puede tener inversa.
Partimos con:
\[ y=x^2 \qquad \text{con } x\ge 0 \]
Intercambiamos \(x\) e \(y\):
\[ x=y^2 \]
Despejamos usando la raíz principal:
\[ y=\sqrt{x} \]
Entonces, para \(x\ge 0\):
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x} \]
Ejemplo 5: la rama derecha de la parábola y su inversa
Observa la parte de la parábola correspondiente a \(x\ge 0\), junto con \(y=\sqrt{x}\) y la recta \(y=x\).
La curva \(y=\sqrt{x}\) es la inversa de \(y=x^2\) cuando se trabaja con la restricción \(x\ge 0\).
No se puede decir que la inversa de \(x^2\) es simplemente \(\pm\sqrt{x}\).
La inversa de una función debe volver a ser una función. Por eso, al restringir el dominio a \(x\ge 0\), la inversa correcta es \(\sqrt{x}\).
Ejercicio 1: hallar una inversa lineal
Halla la inversa de \(f(x)=3x+2\).
Escribimos:
\[ y=3x+2 \]
Intercambiamos \(x\) e \(y\):
\[ x=3y+2 \]
Despejamos \(y\):
\[ x-2=3y \]
\[ y=\frac{x-2}{3} \]
Entonces:
\[ f^{-1}(x)=\frac{x-2}{3} \]
Ejercicio 2: hallar otra inversa lineal
Halla la inversa de \(g(x)=5x-4\).
Partimos con:
\[ y=5x-4 \]
Intercambiamos \(x\) e \(y\):
\[ x=5y-4 \]
Despejamos:
\[ x+4=5y \]
\[ y=\frac{x+4}{5} \]
Entonces:
\[ g^{-1}(x)=\frac{x+4}{5} \]
Ejercicio 3: verificar por composición
Sea \(f(x)=2x-3\) y \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{2}\). Verifica que una composición devuelve \(x\).
Calculamos:
\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x-3)=\frac{(2x-3)+3}{2}=\frac{2x}{2}=x \]
Por lo tanto, la composición devuelve \(x\).
Ejercicio 4: interpretar una recta y su inversa
La función es \(f(x)=x+4\). Escribe su inversa y señala respecto de qué recta son simétricos sus gráficos.
Partimos con:
\[ y=x+4 \]
Intercambiamos \(x\) e \(y\):
\[ x=y+4 \]
Despejamos:
\[ y=x-4 \]
Entonces:
\[ f^{-1}(x)=x-4 \]
Los gráficos son simétricos respecto de:
\[ y=x \]
Ejercicio 5: decidir si una función lineal tiene inversa
Explica por qué la función \(f(x)=7x+1\) tiene inversa.
Tiene inversa porque es una función lineal con coeficiente de \(x\) distinto de cero.
Eso hace que no repita imágenes y que pueda deshacerse mediante una regla inversa.
Ejercicio 6: justificar el caso cuadrático
Explica por qué \(f(x)=x^2\) no tiene inversa como función en todo \(\mathbb{R}\).
No tiene inversa como función en todo \(\mathbb{R}\) porque no es inyectiva.
Por ejemplo:
\[ f(2)=4 \qquad \text{y} \qquad f(-2)=4 \]
Dos valores distintos del dominio tienen la misma imagen.
Ejercicio 7: restricción de dominio
¿Qué restricción de dominio se usa habitualmente para que \(f(x)=x^2\) tenga inversa?
Se restringe el dominio a:
\[ x\ge 0 \]
Así se considera solo la rama derecha de la parábola y la función pasa a ser inyectiva.
Ejercicio 8: inversa del cuadrado restringido
Si \(f(x)=x^2\) con \(x\ge 0\), escribe su inversa.
Partimos con:
\[ y=x^2 \qquad \text{con } x\ge 0 \]
Intercambiamos \(x\) e \(y\):
\[ x=y^2 \]
Despejamos usando la raíz principal:
\[ y=\sqrt{x} \]
Entonces:
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x} \]
Ejercicio 9: composición en un caso lineal
Sea \(g(x)=x-5\) y \(g^{-1}(x)=x+5\). Calcula:
a) \(g^{-1}(g(8))\)
b) \(g(g^{-1}(2))\)
a)
\[ g(8)=8-5=3 \]
Luego:
\[ g^{-1}(3)=3+5=8 \]
Entonces:
\[ g^{-1}(g(8))=8 \]
b)
\[ g^{-1}(2)=2+5=7 \]
Luego:
\[ g(7)=7-5=2 \]
Por lo tanto:
\[ g(g^{-1}(2))=2 \]
Ejercicio 10: síntesis final
Considera la función \(f(x)=4x-1\).
Determina:
a) su inversa,
b) la imagen de \(3\),
c) el valor de \(f^{-1}(11)\).
a) Hallamos la inversa:
\[ y=4x-1 \]
Intercambiamos:
\[ x=4y-1 \]
Despejamos:
\[ x+1=4y \]
\[ y=\frac{x+1}{4} \]
Entonces:
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+1}{4} \]
b) La imagen de \(3\) es:
\[ f(3)=4(3)-1=11 \]
c) Ahora evaluamos la inversa:
\[ f^{-1}(11)=\frac{11+1}{4}=\frac{12}{4}=3 \]
En esta página aplicamos la idea de función inversa al caso lineal y analizamos el caso cuadrático.
Vimos que las funciones lineales con \(m\neq 0\) tienen inversa, mientras que \(x^2\) solo puede tener inversa como función cuando se restringe su dominio.