funciones Inversas
8. Consolidación y ejercitación de la unidad
Objetivo de aprendizaje
Integrar los contenidos de la unidad sobre relaciones, funciones y función inversa, aplicándolos en ejercicios de análisis, clasificación, representación y resolución.
- Relacionar par ordenado, producto cartesiano y relación.
- Identificar dominio, recorrido, imagen y preimagen.
- Reconocer funciones, funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
- Decidir cuándo una función tiene inversa.
- Aplicar la inversa en casos lineales y analizar el caso cuadrático.
Durante esta unidad hemos visto que una misma idea puede aparecer de varias formas: como pares ordenados, como diagrama sagital, como tabla, como gráfico o como regla algebraica.
Consolidar significa poder pasar de una representación a otra y decidir con fundamento qué propiedades cumple una relación o una función.
- Una relación es un subconjunto del producto cartesiano.
- Una función asigna a cada elemento del dominio una única imagen.
- Una función es inyectiva si no repite imágenes.
- Una función es sobreyectiva si su imagen coincide con el codominio.
- Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
- Una función tiene inversa cuando es biyectiva.
- Los gráficos de una función y su inversa son simétricos respecto de \(y=x\).
- Primero identifica qué tipo de objeto estás estudiando: relación o función.
- Luego revisa si aparecen dominio, codominio, imagen o recorrido.
- Después clasifica: inyectiva, sobreyectiva, biyectiva o ninguna.
- Solo al final preguntes por inversa, verifica antes si la función es biyectiva.
Ejercicio 1: producto cartesiano y relación
Sean \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{a,b\}\).
a) Escribe \(A\times B\).
b) Escribe una relación \(R\) entre \(A\) y \(B\) que tenga exactamente 3 pares ordenados.
a) El producto cartesiano es:
\[ A\times B=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\} \]
b) Una relación posible es:
\[ R=\{(1,a),(2,b),(3,a)\} \]
Hay muchas respuestas correctas, siempre que los pares pertenezcan a \(A\times B\) y sean exactamente tres.
Ejercicio 2: dominio, recorrido, imagen y preimagen
Sea la relación
\[ R=\{(1,c),(2,a),(2,b),(4,c)\} \]
Determina:
a) \(\mathrm{Dom}(R)\)
b) \(\mathrm{Rec}(R)\)
c) \(\mathrm{Im}(2)\)
d) \(\mathrm{Preim}(c)\)
a) El dominio es:
\[ \mathrm{Dom}(R)=\{1,2,4\} \]
b) El recorrido es:
\[ \mathrm{Rec}(R)=\{a,b,c\} \]
c) La imagen de \(2\) es:
\[ \mathrm{Im}(2)=\{a,b\} \]
d) La preimagen de \(c\) es:
\[ \mathrm{Preim}(c)=\{1,4\} \]
Ejercicio 3: decidir si una relación es función
Determina si la relación
\[ S=\{(x,2),(x,4),(y,4),(z,6)\} \]
es una función. Justifica.
No es función.
El elemento \(x\) aparece con dos imágenes distintas: \(2\) y \(4\).
Eso contradice la condición de unicidad que debe cumplir una función.
Ejercicio 4: clasificación en un diagrama sagital
Observa el siguiente diagrama y clasifica la función como inyectiva, sobreyectiva, biyectiva o ninguna de ellas.
La función es sobreyectiva, pero no inyectiva.
Es sobreyectiva porque todos los elementos del codominio \(\{a,b,c\}\) reciben al menos una flecha.
No es inyectiva porque \(3\) y \(4\) tienen la misma imagen \(c\).
Por lo tanto, no es biyectiva.
Ejercicio 5: codominio e imagen
Sea \(f:A\to B\) con \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{m,n,p,q\}\) y
\[ f=\{(1,m),(2,p),(3,p)\} \]
Determina:
a) el codominio,
b) la imagen,
c) si la función es sobreyectiva.
a) El codominio es:
\[ \{m,n,p,q\} \]
b) La imagen es:
\[ \mathrm{Im}(f)=\{m,p\} \]
c) No es sobreyectiva, porque la imagen no coincide con el codominio.
Los elementos \(n\) y \(q\) no reciben flecha.
Ejercicio 6: lectura desde una tabla
La función está dada por la tabla:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
Determina si la función es inyectiva.
No es inyectiva.
La imagen \(1\) se repite, ya que:
\[ f(-1)=1 \qquad \text{y} \qquad f(1)=1 \]
Por lo tanto, dos elementos distintos del dominio tienen la misma imagen.
Ejercicio 7: gráfico y criterio de la recta horizontal
Observa el gráfico de \(y=x^2\) y decide si la función es inyectiva.
No es inyectiva.
La recta horizontal \(y=4\) corta al gráfico en dos puntos, uno con \(x=-2\) y otro con \(x=2\).
Eso muestra que la función repite imágenes.
Ejercicio 8: decidir si puede tener inversa
Sea \(g:A\to B\) con \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\) y
\[ g=\{(1,b),(2,a),(3,c)\} \]
Determina si puede tener función inversa y justifica.
Sí puede tener función inversa.
La función es biyectiva:
- es inyectiva porque no repite imágenes,
- es sobreyectiva porque la imagen coincide con el codominio.
Por eso puede tener inversa.
Ejercicio 9: construir una inversa por extensión
Sea \(h=\{(-1,2),(0,3),(1,4)\}\). Escribe \(h^{-1}\).
Se intercambian las posiciones en cada par ordenado:
\[ h^{-1}=\{(2,-1),(3,0),(4,1)\} \]
Ejercicio 10: inversa de una función lineal
Halla la inversa de \(f(x)=2x-5\).
Partimos con:
\[ y=2x-5 \]
Intercambiamos \(x\) e \(y\):
\[ x=2y-5 \]
Despejamos:
\[ x+5=2y \]
\[ y=\frac{x+5}{2} \]
Entonces:
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{2} \]
Ejercicio 11: composición para verificar una inversa
Sea \(f(x)=3x+1\) y \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{3}\). Verifica que \(f^{-1}(f(x))=x\).
Calculamos:
\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(3x+1)=\frac{(3x+1)-1}{3}=\frac{3x}{3}=x \]
Por lo tanto, la composición devuelve \(x\).
Ejercicio 12: caso cuadrático
Explica por qué \(f(x)=x^2\) no tiene inversa como función en todo \(\mathbb{R}\).
No tiene inversa como función en todo \(\mathbb{R}\) porque no es inyectiva.
Por ejemplo:
\[ f(2)=4 \qquad \text{y} \qquad f(-2)=4 \]
Dos valores distintos del dominio tienen la misma imagen, así que no se puede deshacer de manera única.
Ejercicio 13: restricción de dominio
Si \(f(x)=x^2\) con restricción \(x\ge 0\), escribe su inversa.
Partimos con:
\[ y=x^2 \qquad \text{con } x\ge 0 \]
Intercambiamos \(x\) e \(y\):
\[ x=y^2 \]
Despejamos con la raíz principal:
\[ y=\sqrt{x} \]
Entonces:
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x} \]
Ejercicio 14: síntesis final de la unidad
Sea \(f:A\to B\) con \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{2,4,6,8\}\) y regla \(f(x)=2x\).
Determina:
a) la función por extensión,
b) si es inyectiva,
c) si es sobreyectiva,
d) si es biyectiva,
e) su inversa por extensión.
a) La función por extensión es:
\[ f=\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)\} \]
b) Es inyectiva porque no repite imágenes.
c) Es sobreyectiva porque su imagen es:
\[ \mathrm{Im}(f)=\{2,4,6,8\} \]
y coincide con el codominio \(B\).
d) Entonces es biyectiva.
e) Su inversa por extensión es:
\[ f^{-1}=\{(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)\} \]
En esta página de consolidación reunimos las ideas centrales de la unidad: relaciones, funciones, clasificación de funciones e inversa.
El objetivo final es que puedas reconocer estas ideas en diferentes representaciones y justificar cada respuesta con claridad matemática.