Raices
14. Ejercicios variados
Ejercicios de Radicación y Potencias
Objetivo de la clase
Aplicar técnicas de simplificación, reducción, racionalización y cálculo con raíces y potencias, desarrollando procedimientos correctos y justificando cada paso.
- Busca factores cuadrados o cúbicos perfectos dentro de las raíces.
- Separa raíces cuando sea posible.
- Reduce términos semejantes.
- Racionaliza denominadores cuando haya raíces.
1. Simplificación de raíces
Ejemplo
\[ \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} \]
Ejercicio 1
Simplifica: \( \sqrt{24} \)
\[ \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} \]
Ejercicio 2
Simplifica: \( \sqrt{44} \)
\[ \sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11} \]
Ejercicio 3
Simplifica: \( \sqrt{52} \)
\[ \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13} \]
2. Reducción de radicales
Ejercicio 4
Reduce: \( \sqrt{12} + 3\sqrt{3} \)
\[ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \]
\[ 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \]
Ejercicio 5
Reduce: \( \sqrt{50} - \sqrt{18} \)
\[ \sqrt{50} = 5\sqrt{2}, \quad \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]
\[ 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]
Ejercicio 6
Reduce: \( \sqrt{20} + \sqrt{27} - \sqrt{45} - \sqrt{75} \)
\[ \sqrt{20} = 2\sqrt{5}, \quad \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]
\[ \sqrt{45} = 3\sqrt{5}, \quad \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \]
\[ (2\sqrt{5} - 3\sqrt{5}) + (3\sqrt{3} - 5\sqrt{3}) \]
\[ = -\sqrt{5} - 2\sqrt{3} \]
3. Racionalización
Ejercicio 7
Racionaliza: \( \frac{1}{\sqrt{5}} \)
\[ \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \]
Ejercicio 8
Racionaliza: \( \frac{3}{\sqrt{2}} \)
\[ \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]
Ejercicio 9
Racionaliza: \( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \)
\[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7} \]
4. Potencias fraccionarias
\[ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \]
Ejercicio 10
Calcula: \( 25^{\frac{1}{2}} \)
\[ 25^{1/2} = \sqrt{25} = 5 \]
Ejercicio 11
Calcula: \( 27^{\frac{1}{3}} \)
\[ 27^{1/3} = \sqrt[3]{27} = 3 \]
Ejercicio 12
Calcula: \( 4^{\frac{3}{2}} \)
\[ 4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8 \]
Ejercicio 13
Calcula: \( 8^{\frac{2}{3}} \)
\[ 8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \]
5. Resolución de expresiones
Ejercicio 14
Resuelve: \( 3^2 \cdot \sqrt{3} \)
\[ 3^2 = 9 \]
\[ 9\sqrt{3} \]
Ejercicio 15
Resuelve: \( \frac{5^{3/2}}{\sqrt{5}} \)
\[ 5^{3/2} = 5 \cdot \sqrt{5} \]
\[ \frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 5 \]
Ejercicio 16
Resuelve: \( \frac{2 \cdot 2^{1/2}}{\sqrt{2}} \)
\[ 2^{1/2} = \sqrt{2} \]
\[ \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 \]
No olvides que solo se pueden sumar o restar raíces cuando son semejantes (mismo radicando).
Estos ejercicios integran distintas habilidades: simplificar, reducir, racionalizar y trabajar con potencias. Dominar estas técnicas es clave para avanzar en álgebra.