Libro de las Raices
13. Ejercicios variados
Ejercicios de radicación y potencias
Presentación
En esta guía se integran técnicas de simplificación, reducción, racionalización y cálculo con raíces y potencias, desarrollando procedimientos correctos y justificando cada paso.
Objetivo de la clase
- Aplicar técnicas de simplificación, reducción, racionalización y cálculo con raíces y potencias, desarrollando procedimientos correctos y justificando cada paso.
Estrategia general
- Busca factores cuadrados o cúbicos perfectos dentro de las raíces.
- Separa raíces cuando sea posible.
- Reduce términos semejantes.
- Racionaliza denominadores cuando haya raíces.
1. Simplificación de raíces
Ejemplo
\[ \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6} \]
Se extrae el factor \(4\) porque es un cuadrado perfecto.
Ejercicio 1
Simplifica:
\[ \sqrt{24} \]
Buscamos un cuadrado perfecto dentro de \(24\):
\[ 24=4\cdot 6. \]
Entonces:
\[ \sqrt{24} = \sqrt{4\cdot 6} = \sqrt{4}\sqrt{6} = 2\sqrt{6}. \]
Ejercicio 2
Simplifica:
\[ \sqrt{44} \]
Buscamos un cuadrado perfecto dentro de \(44\):
\[ 44=4\cdot 11. \]
Entonces:
\[ \sqrt{44} = \sqrt{4\cdot 11} = \sqrt{4}\sqrt{11} = 2\sqrt{11}. \]
Ejercicio 3
Simplifica:
\[ \sqrt{52} \]
Buscamos un cuadrado perfecto dentro de \(52\):
\[ 52=4\cdot 13. \]
Entonces:
\[ \sqrt{52} = \sqrt{4\cdot 13} = \sqrt{4}\sqrt{13} = 2\sqrt{13}. \]
2. Reducción de radicales
Ejercicio 4
Reduce:
\[ \sqrt{12}+3\sqrt{3} \]
Primero simplificamos \(\sqrt{12}\):
\[ \sqrt{12} = \sqrt{4\cdot 3} = 2\sqrt{3}. \]
Reemplazamos en la expresión:
\[ \sqrt{12}+3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}+3\sqrt{3}. \]
Como son radicales semejantes, sumamos los coeficientes:
\[ 2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}. \]
Ejercicio 5
Reduce:
\[ \sqrt{50}-\sqrt{18} \]
Simplificamos cada raíz:
\[ \sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = 5\sqrt{2}. \]
\[ \sqrt{18} = \sqrt{9\cdot 2} = 3\sqrt{2}. \]
Ahora restamos radicales semejantes:
\[ \sqrt{50}-\sqrt{18} = 5\sqrt{2}-3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}. \]
Ejercicio 6
Reduce:
\[ \sqrt{20}+\sqrt{27}-\sqrt{45}-\sqrt{75} \]
Simplificamos cada radical:
\[ \sqrt{20} = \sqrt{4\cdot 5} = 2\sqrt{5}. \]
\[ \sqrt{27} = \sqrt{9\cdot 3} = 3\sqrt{3}. \]
\[ \sqrt{45} = \sqrt{9\cdot 5} = 3\sqrt{5}. \]
\[ \sqrt{75} = \sqrt{25\cdot 3} = 5\sqrt{3}. \]
Reemplazamos:
\[ \sqrt{20}+\sqrt{27}-\sqrt{45}-\sqrt{75} = 2\sqrt{5}+3\sqrt{3}-3\sqrt{5}-5\sqrt{3}. \]
Agrupamos radicales semejantes:
\[ (2\sqrt{5}-3\sqrt{5})+(3\sqrt{3}-5\sqrt{3}). \]
Reducimos:
\[ -\sqrt{5}-2\sqrt{3}. \]
3. Racionalización
Ejercicio 7
Racionaliza:
\[ \frac{1}{\sqrt{5}} \]
Multiplicamos numerador y denominador por \(\sqrt{5}\):
\[ \frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}. \]
El denominador ya no tiene raíz.
Ejercicio 8
Racionaliza:
\[ \frac{3}{\sqrt{2}} \]
Multiplicamos numerador y denominador por \(\sqrt{2}\):
\[ \frac{3}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}. \]
Ejercicio 9
Racionaliza:
\[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \]
Multiplicamos numerador y denominador por \(\sqrt{7}\):
\[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\cdot\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}. \]
4. Potencias fraccionarias
Recordatorio
Una potencia fraccionaria puede escribirse como raíz:
\[ a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}. \]
También puede calcularse como:
\[ a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m. \]
Ejercicio 10
Calcula:
\[ 25^{\frac{1}{2}} \]
El exponente \(\frac{1}{2}\) representa raíz cuadrada:
\[ 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5. \]
Ejercicio 11
Calcula:
\[ 27^{\frac{1}{3}} \]
El exponente \(\frac{1}{3}\) representa raíz cúbica:
\[ 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3. \]
Ejercicio 12
Calcula:
\[ 4^{\frac{3}{2}} \]
Usamos la raíz cuadrada y luego elevamos al cubo:
\[ 4^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{4}\right)^3. \]
Como \(\sqrt{4}=2\), entonces:
\[ \left(\sqrt{4}\right)^3 = 2^3 = 8. \]
Ejercicio 13
Calcula:
\[ 8^{\frac{2}{3}} \]
Usamos la raíz cúbica y luego elevamos al cuadrado:
\[ 8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2. \]
Como \(\sqrt[3]{8}=2\), entonces:
\[ \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4. \]
5. Resolución de expresiones
Ejercicio 14
Resuelve:
\[ 3^2\cdot \sqrt{3} \]
Primero calculamos la potencia:
\[ 3^2=9. \]
Luego reemplazamos:
\[ 3^2\cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}. \]
Ejercicio 15
Resuelve:
\[ \frac{5^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{5}} \]
Primero escribimos \(5^{\frac{3}{2}}\) usando raíz cuadrada:
\[ 5^{\frac{3}{2}} = 5^1\cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5\sqrt{5}. \]
Entonces:
\[ \frac{5^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}}. \]
Como \(\sqrt{5}\neq 0\), simplificamos:
\[ \frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 5. \]
Ejercicio 16
Resuelve:
\[ \frac{2\cdot 2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{2}} \]
Usamos que \(2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\):
\[ \frac{2\cdot 2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}. \]
Como \(\sqrt{2}\neq 0\), simplificamos:
\[ \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2. \]
Error común
No olvides que solo se pueden sumar o restar raíces cuando son semejantes, es decir, cuando tienen el mismo índice y el mismo radicando.
Cierre
Estos ejercicios integran distintas habilidades: simplificar, reducir, racionalizar y trabajar con potencias. Dominar estas técnicas es clave para avanzar en álgebra.