Medidas de posición
5. Relación entre cuartiles, deciles y percentiles [comparación conceptual]
Objetivo de la página
Comparar cuartiles, deciles y percentiles, reconociendo qué tienen en común, en qué se diferencian y cómo se interpretan como medidas de posición dentro de un conjunto de datos ordenados.
Ya estudiamos cuartiles, deciles y percentiles por separado.
Ahora conviene mirarlos en conjunto, porque los tres pertenecen a la misma familia: son medidas de posición.
La diferencia principal está en cuántas partes divide cada una al conjunto de datos ordenados.
| Medida | ¿En cuántas partes divide? | Ejemplos de notación | Interpretación |
|---|---|---|---|
| Cuartiles | 4 partes | \(Q_1,\ Q_2,\ Q_3\) | Ubican posiciones del 25%, 50% y 75% |
| Deciles | 10 partes | \(D_1,\ D_2,\dots,D_9\) | Ubican posiciones del 10%, 20%, ..., 90% |
| Percentiles | 100 partes | \(P_1,\ P_2,\dots,P_{99}\) | Ubican posiciones del 1%, 2%, ..., 99% |
Algunas medidas coinciden exactamente:
\[ Q_1=P_{25} \]
\[ Q_2=D_5=P_{50}=\text{mediana} \]
\[ Q_3=P_{75} \]
También se cumple, por ejemplo:
\[ D_1=P_{10},\quad D_2=P_{20},\quad D_3=P_{30},\quad \dots,\quad D_9=P_{90} \]
No todas las medidas se pueden emparejar de manera directa.
Por ejemplo:
\[ Q_1\neq D_2 \]
porque \(Q_1\) representa el 25\% y \(D_2\) representa el 20\%.
Del mismo modo:
\[ Q_3\neq D_7 \]
porque \(Q_3\) representa el 75\% y \(D_7\) representa el 70\%.
Ejemplo 1: comparación sobre un mismo conjunto ordenado
Considera el conjunto ordenado:
\[ 8,\ 10,\ 12,\ 14,\ 16,\ 18,\ 20,\ 22,\ 24,\ 26,\ 28,\ 30,\ 32,\ 34,\ 36,\ 38,\ 40,\ 42,\ 44 \]
Hay \(19\) datos, por lo tanto:
\[ n+1=20 \]
Relación entre \(Q_2\), \(D_5\) y \(P_{50}\)
\[ \text{Pos}(Q_2)=\text{mediana} \]
Como hay \(19\) datos, el dato central es el décimo:
\[ Q_2=26 \]
Ahora calculemos \(D_5\):
\[ \text{Pos}(D_5)=\frac{5(20)}{10}=10 \]
\[ D_5=26 \]
Y calculemos \(P_{50}\):
\[ \text{Pos}(P_{50})=\frac{50(20)}{100}=10 \]
\[ P_{50}=26 \]
Entonces:
\[ Q_2=D_5=P_{50}=26 \]
Conclusión: distintas notaciones pueden apuntar a la misma posición cuando representan el mismo porcentaje acumulado.
Ejemplo 2: comparación de equivalencias
Observemos ahora algunas equivalencias correctas y otras que no lo son:
| Expresión | ¿Es correcta? | Razón |
|---|---|---|
| \(Q_1=P_{25}\) | Sí | Ambos representan el 25% acumulado |
| \(Q_2=D_5\) | Sí | Ambos representan el 50% acumulado |
| \(D_8=P_{80}\) | Sí | Ambos representan el 80% acumulado |
| \(Q_1=D_2\) | No | \(25\%\neq 20\%\) |
| \(Q_3=D_7\) | No | \(75\%\neq 70\%\) |
Ejemplo 3: apoyo visual con ojiva acumulada 200
Una ojiva también permite comparar cuartiles, deciles y percentiles en una misma representación.
Esta vez usaremos una frecuencia acumulada total de 200. Eso significa que:
- el \(25\%\) corresponde a \(50\),
- el \(50\%\) corresponde a \(100\),
- el \(75\%\) corresponde a \(150\),
- el \(30\%\) corresponde a \(60\),
- el \(80\%\) corresponde a \(160\).
| Intervalo | Frecuencia | Frecuencia acumulada |
|---|---|---|
| \([300,400)\) | 20 | 20 |
| \([400,500)\) | 40 | 60 |
| \([500,600)\) | 40 | 100 |
| \([600,700)\) | 50 | 150 |
| \([700,800]\) | 50 | 200 |
Lectura de \(Q_1\) y \(P_{25}\)
Como el total es \(200\), el \(25\%\) corresponde a:
\[ 0{,}25\cdot 200=50 \]
En la ojiva, el acumulado \(50\) se ubica entre \(20\) y \(60\), por lo que cae en el intervalo \([400,500)\).
Una lectura aproximada entrega:
\[ Q_1=P_{25}\approx 475 \]
Lectura de \(D_3\) y \(P_{30}\)
El \(30\%\) de \(200\) es:
\[ 0{,}30\cdot 200=60 \]
En la ojiva, el acumulado \(60\) se alcanza en:
\[ D_3=P_{30}=500 \]
Lectura de \(Q_2\), \(D_5\) y \(P_{50}\)
El \(50\%\) de \(200\) es:
\[ 0{,}50\cdot 200=100 \]
En la ojiva, el acumulado \(100\) se alcanza en:
\[ Q_2=D_5=P_{50}=600 \]
Lectura de \(Q_3\) y \(P_{75}\)
El \(75\%\) de \(200\) es:
\[ 0{,}75\cdot 200=150 \]
En la ojiva, el acumulado \(150\) se alcanza en:
\[ Q_3=P_{75}=700 \]
Lectura de \(D_8\) y \(P_{80}\)
El \(80\%\) de \(200\) es:
\[ 0{,}80\cdot 200=160 \]
Ese valor cae entre \(150\) y \(200\), dentro del tramo \([700,800]\).
Una lectura aproximada da:
\[ D_8=P_{80}\approx 720 \]
Conclusión: la misma ojiva permite comparar medidas de posición distintas siempre que sepamos a qué porcentaje corresponde cada una.
Ejemplo 4: lectura contextual
Supongamos que en un informe aparecen estas tres afirmaciones:
- “El puntaje de Camila quedó sobre \(Q_3\)”
- “El puntaje de Diego quedó sobre \(D_8\)”
- “El puntaje de Sofía quedó sobre \(P_{80}\)”
Entonces:
- Camila quedó sobre el valor que deja aproximadamente al 75\% de los datos en o bajo él.
- Diego quedó sobre el valor que deja aproximadamente al 80\% de los datos en o bajo él.
- Sofía quedó sobre el valor que deja aproximadamente al 80\% de los datos en o bajo él.
Por lo tanto, en este caso:
\[ D_8=P_{80} \]
pero
\[ Q_3\neq D_8 \]
porque \(Q_3\) representa el 75\%, no el 80\%.
La idea matemática de base es la misma en los tres casos: ubicar una posición dentro del conjunto ordenado.
Lo que cambia es el nivel de precisión que se quiere describir:
- los cuartiles dan una descripción más global,
- los deciles permiten una división más fina,
- los percentiles entregan el mayor detalle.
Ejercicio 1
Completa la tabla:
| Medida | Porcentaje asociado |
|---|---|
| \(Q_1\) | __________ |
| \(D_4\) | __________ |
| \(P_{80}\) | __________ |
| \(Q_3\) | __________ |
Las correspondencias son:
\[ Q_1\rightarrow 25\% \]
\[ D_4\rightarrow 40\% \]
\[ P_{80}\rightarrow 80\% \]
\[ Q_3\rightarrow 75\% \]
Ejercicio 2
Indica cuáles equivalencias son correctas.
- \(Q_1=P_{25}\)
- \(Q_2=D_5\)
- \(Q_3=D_7\)
- \(D_8=P_{80}\)
1. Correcta. Ambos representan el 25%.
2. Correcta. Ambos representan el 50%.
3. Incorrecta. \(Q_3\) representa el 75% y \(D_7\) representa el 70%.
4. Correcta. Ambos representan el 80%.
Ejercicio 3
En una ojiva con frecuencia acumulada total \(200\), ¿a qué acumulado corresponde cada una de estas medidas?
- \(Q_1\)
- \(D_6\)
- \(P_{80}\)
- \(Q_3\)
1. \(Q_1\):
\[ 25\%\text{ de }200=50 \]
2. \(D_6\):
\[ 60\%\text{ de }200=120 \]
3. \(P_{80}\):
\[ 80\%\text{ de }200=160 \]
4. \(Q_3\):
\[ 75\%\text{ de }200=150 \]
Ejercicio 4
Explica por qué \(Q_2\), \(D_5\) y \(P_{50}\) representan la misma idea.
Representan la misma idea porque los tres apuntan al 50\% acumulado del conjunto.
Por eso se relacionan con la mediana, que divide el conjunto en dos partes de tamaño similar.
Ejercicio 5
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica.
- Todo cuartil coincide con un decil entero.
- \(D_3\) y \(P_{30}\) representan la misma posición porcentual.
- Los percentiles entregan una división más fina que los deciles.
1. Falsa.
No todo cuartil coincide con un decil entero. Por ejemplo, \(Q_1\) corresponde al 25%, y no existe un decil entero que represente exactamente el 25%.
2. Verdadera.
\(D_3\) representa el 30% y \(P_{30}\) también representa el 30%.
3. Verdadera.
Los percentiles dividen en 100 partes, mientras que los deciles dividen en 10 partes.
Ticket de salida
- ¿En qué se parecen cuartiles, deciles y percentiles?
- ¿Cuál de estas medidas entrega una división más fina: deciles o percentiles?
- En una ojiva con acumulado total \(200\), ¿qué nivel acumulado corresponde a \(Q_3\)?
- Se parecen en que las tres son medidas de posición y se calculan sobre datos ordenados.
- Los percentiles, porque dividen el conjunto en 100 partes.
- \(Q_3\) representa el 75%, por lo tanto corresponde a: \[ 0{,}75\cdot 200=150 \]
- Cuartiles, deciles y percentiles son medidas de posición.
- Los cuartiles dividen en 4 partes, los deciles en 10 y los percentiles en 100.
- \(Q_1=P_{25}\), \(\;Q_2=D_5=P_{50}\), \(\;Q_3=P_{75}\).
- \(D_k\) equivale a \(P_{10k}\).
- Una ojiva permite comparar todas estas medidas si se traduce cada una a su porcentaje acumulado correspondiente.