Medidas de posición
2. Cuartiles [Q1, Q2, Q3, interpretación]
Objetivo de la página
Comprender qué son los cuartiles, calcular \(Q_1\), \(Q_2\) y \(Q_3\) en datos ordenados e interpretar su significado en contexto, usando una convención consistente con la lectura porcentual de los percentiles.
Conexión con lo ya trabajado
En la página anterior vimos que el rango entrega una primera idea de variabilidad usando solo el dato menor y el dato mayor.
Ahora avanzaremos hacia otra pregunta importante: ¿cómo se ubican los datos dentro del conjunto?
Los cuartiles permiten responder esa pregunta, porque dividen los datos ordenados en cuatro partes y ayudan a describir la posición relativa de los valores.
Qué son los cuartiles
Los cuartiles son medidas de posición que dividen un conjunto de datos ordenados en cuatro partes.
Los principales son:
- \(Q_1\): primer cuartil
- \(Q_2\): segundo cuartil o mediana
- \(Q_3\): tercer cuartil
Su interpretación básica es:
- aproximadamente el 25\% de los datos queda en o bajo \(Q_1\),
- aproximadamente el 50\% de los datos queda en o bajo \(Q_2\),
- aproximadamente el 75\% de los datos queda en o bajo \(Q_3\).
Convención que usaremos en esta página
Para mantener una sola lógica de trabajo, tomaremos los cuartiles como percentiles especiales:
\[ Q_1=P_{25},\qquad Q_2=P_{50},\qquad Q_3=P_{75} \]
Por eso calcularemos sus posiciones con:
\[ \text{Posición}=\frac{k}{100}(n+1) \]
Si la posición es entera, el cuartil coincide con ese dato ordenado.
Si la posición no es entera, en esta página usaremos el criterio escolar de promediar los dos datos vecinos.
Procedimiento que usaremos
- Ordena los datos de menor a mayor.
- Calcula la posición de \(Q_1\), \(Q_2\) y \(Q_3\) usando: \[ \frac{25}{100}(n+1),\qquad \frac{50}{100}(n+1),\qquad \frac{75}{100}(n+1) \]
- Si una posición es entera, toma ese dato.
- Si una posición es decimal, promedia los dos datos ordenados más cercanos.
- Interpreta el resultado en contexto.
Error frecuente
Los cuartiles no se calculan sobre datos desordenados.
Antes de buscar \(Q_1\), \(Q_2\) y \(Q_3\), siempre hay que ordenar el conjunto de menor a mayor.
Ejemplo 1: cálculo de cuartiles con cantidad impar de datos
Considera el conjunto:
\[ 8,\ 3,\ 10,\ 7,\ 4,\ 12,\ 2,\ 6,\ 9 \]
Paso 1: ordenar los datos
\[ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 12 \]
Hay \(n=9\) datos, por lo tanto:
\[ n+1=10 \]
Cálculo de \(Q_1=P_{25}\)
\[ \frac{25}{100}(10)=2{,}5 \]
La posición no es entera, así que promediamos el segundo y el tercer dato:
\[ Q_1=\frac{3+4}{2}=3{,}5 \]
Cálculo de \(Q_2=P_{50}\)
\[ \frac{50}{100}(10)=5 \]
La posición es entera, así que tomamos el quinto dato:
\[ Q_2=7 \]
Cálculo de \(Q_3=P_{75}\)
\[ \frac{75}{100}(10)=7{,}5 \]
La posición no es entera, así que promediamos el séptimo y el octavo dato:
\[ Q_3=\frac{9+10}{2}=9{,}5 \]
Resultado final:
\[ Q_1=3{,}5,\qquad Q_2=7,\qquad Q_3=9{,}5 \]
Ejemplo 2: cálculo de cuartiles con cantidad par de datos
Considera ahora:
\[ 11,\ 6,\ 4,\ 8,\ 10,\ 7,\ 13,\ 5,\ 9,\ 6 \]
Paso 1: ordenar
\[ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 13 \]
Hay \(n=10\) datos, por lo tanto:
\[ n+1=11 \]
Cálculo de \(Q_1=P_{25}\)
\[ \frac{25}{100}(11)=2{,}75 \]
La posición no es entera, así que promediamos el segundo y el tercer dato:
\[ Q_1=\frac{5+6}{2}=5{,}5 \]
Cálculo de \(Q_2=P_{50}\)
\[ \frac{50}{100}(11)=5{,}5 \]
La posición no es entera, así que promediamos el quinto y el sexto dato:
\[ Q_2=\frac{7+8}{2}=7{,}5 \]
Cálculo de \(Q_3=P_{75}\)
\[ \frac{75}{100}(11)=8{,}25 \]
La posición no es entera, así que promediamos el octavo y el noveno dato:
\[ Q_3=\frac{10+11}{2}=10{,}5 \]
Resultado final:
\[ Q_1=5{,}5,\qquad Q_2=7{,}5,\qquad Q_3=10{,}5 \]
Ejemplo 3: apoyo visual con ojiva simplificada
Como ya trabajamos la frecuencia acumulada, también podemos interpretar cuartiles con una ojiva.
Para simplificar la lectura, usaremos una ojiva cuya frecuencia acumulada total es 100. Así, los cuartiles se leen directamente en los niveles acumulados:
\[ 25,\qquad 50,\qquad 75 \]
| Intervalo | Frecuencia | Frecuencia acumulada |
|---|---|---|
| \([350,400)\) | 15 | 15 |
| \([400,450)\) | 20 | 35 |
| \([450,500)\) | 15 | 50 |
| \([500,550)\) | 25 | 75 |
| \([550,600]\) | 25 | 100 |
Lectura de \(Q_1\)
\(Q_1\) corresponde al 25\% acumulado. En la ojiva, ese valor queda entre \(15\) y \(35\), por lo que \(Q_1\) se ubica dentro del intervalo \([400,450)\).
Una lectura aproximada lo sitúa cerca de:
\[ Q_1\approx 425 \]
Lectura de \(Q_2\)
\(Q_2\) corresponde al 50\% acumulado. En este caso, la ojiva pasa exactamente por:
\[ Q_2=500 \]
Lectura de \(Q_3\)
\(Q_3\) corresponde al 75\% acumulado. En la ojiva, ese valor se alcanza en:
\[ Q_3=550 \]
Desde esta ojiva sí podemos afirmar, por ejemplo, que aproximadamente el 50\% de los puntajes está en o bajo \(500\).
Pero no podemos afirmar, solo mirando la ojiva, cuáles son todos los puntajes exactos ni cuántas veces se repite cada valor individual.
Ejemplo 4: interpretación en contexto
En una evaluación, los puntajes ordenados de un grupo de estudiantes fueron:
\[ 420,\ 450,\ 470,\ 500,\ 520,\ 540,\ 580,\ 610,\ 650 \]
Como hay \(9\) datos, entonces:
\[ n+1=10 \]
Cálculo de \(Q_1=P_{25}\)
\[ \frac{25}{100}(10)=2{,}5 \]
\[ Q_1=\frac{450+470}{2}=460 \]
Cálculo de \(Q_2=P_{50}\)
\[ \frac{50}{100}(10)=5 \]
\[ Q_2=520 \]
Cálculo de \(Q_3=P_{75}\)
\[ \frac{75}{100}(10)=7{,}5 \]
\[ Q_3=\frac{580+610}{2}=595 \]
Interpretación:
- Aproximadamente el \(25\%\) de los puntajes está en o bajo \(460\).
- Aproximadamente el \(50\%\) de los puntajes está en o bajo \(520\).
- Aproximadamente el \(75\%\) de los puntajes está en o bajo \(595\).
Lectura más cuidadosa: decir que un estudiante obtuvo un puntaje mayor que \(Q_3\) significa que se ubica en el tramo superior del grupo, pero no permite concluir por sí solo cuánto mejor fue su rendimiento respecto del resto.
El segundo cuartil \(Q_2\) coincide con la mediana.
Por eso, estudiar cuartiles amplía una idea que ya conocíamos: no solo interesa el centro, sino también cómo se distribuyen las posiciones a ambos lados del centro.
| Medida | Nombre | Interpretación básica |
|---|---|---|
| \(Q_1\) | Primer cuartil | Aproximadamente el 25% de los datos queda en o bajo ese valor |
| \(Q_2\) | Segundo cuartil | Corresponde a la mediana; aproximadamente el 50% de los datos queda en o bajo ese valor |
| \(Q_3\) | Tercer cuartil | Aproximadamente el 75% de los datos queda en o bajo ese valor |
Ejercicio 1
Calcula \(Q_1\), \(Q_2\) y \(Q_3\) del conjunto:
\[ 5,\ 7,\ 9,\ 3,\ 8,\ 10,\ 6 \]
Primero ordenamos:
\[ 3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10 \]
Hay \(n=7\) datos, entonces:
\[ n+1=8 \]
\(Q_1=P_{25}\)
\[ \frac{25}{100}(8)=2 \]
\[ Q_1=5 \]
\(Q_2=P_{50}\)
\[ \frac{50}{100}(8)=4 \]
\[ Q_2=7 \]
\(Q_3=P_{75}\)
\[ \frac{75}{100}(8)=6 \]
\[ Q_3=9 \]
Respuesta:
\[ Q_1=5,\qquad Q_2=7,\qquad Q_3=9 \]
Ejercicio 2
Calcula los cuartiles del conjunto ordenado:
\[ 2,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8,\ 9,\ 11,\ 13 \]
Hay \(n=8\) datos, entonces:
\[ n+1=9 \]
\(Q_1=P_{25}\)
\[ \frac{25}{100}(9)=2{,}25 \]
Promediamos el segundo y el tercer dato:
\[ Q_1=\frac{4+5}{2}=4{,}5 \]
\(Q_2=P_{50}\)
\[ \frac{50}{100}(9)=4{,}5 \]
Promediamos el cuarto y el quinto dato:
\[ Q_2=\frac{7+8}{2}=7{,}5 \]
\(Q_3=P_{75}\)
\[ \frac{75}{100}(9)=6{,}75 \]
Promediamos el sexto y el séptimo dato:
\[ Q_3=\frac{9+11}{2}=10 \]
Respuesta:
\[ Q_1=4{,}5,\qquad Q_2=7{,}5,\qquad Q_3=10 \]
Ejercicio 3
Los tiempos, en minutos, que tardó un grupo en resolver una actividad fueron:
\[ 12,\ 14,\ 15,\ 16,\ 18,\ 20,\ 22,\ 24,\ 27 \]
a) Calcula \(Q_1\), \(Q_2\) y \(Q_3\).
b) Interpreta \(Q_2\) en el contexto del problema.
c) Explica qué información adicional entrega \(Q_1\) respecto de la sola mediana.
Los datos ya están ordenados.
Hay \(n=9\) datos, entonces:
\[ n+1=10 \]
\(Q_1=P_{25}\)
\[ \frac{25}{100}(10)=2{,}5 \]
\[ Q_1=\frac{14+15}{2}=14{,}5 \]
\(Q_2=P_{50}\)
\[ \frac{50}{100}(10)=5 \]
\[ Q_2=18 \]
\(Q_3=P_{75}\)
\[ \frac{75}{100}(10)=7{,}5 \]
\[ Q_3=\frac{22+24}{2}=23 \]
Interpretación de \(Q_2\): aproximadamente la mitad del grupo tardó 18 minutos o menos, y la otra mitad tardó 18 minutos o más.
Información adicional de \(Q_1\): permite ubicar el tramo inferior del conjunto, indicando que aproximadamente el 25\% del grupo tardó 14,5 minutos o menos. Es decir, entrega información sobre una parte del grupo que la mediana por sí sola no describe.
Ejercicio 4
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica.
- \(Q_2\) coincide con la mediana.
- Para calcular cuartiles, no importa si los datos están ordenados o no.
- \(Q_3\) deja aproximadamente al \(75\%\) de los datos en o bajo ese valor.
- Si un estudiante quedó sobre \(Q_3\), entonces necesariamente obtuvo el puntaje máximo del grupo.
1. Verdadera.
El segundo cuartil \(Q_2\) corresponde a la mediana del conjunto.
2. Falsa.
Los cuartiles son medidas de posición, por lo tanto deben calcularse sobre los datos ordenados.
3. Verdadera.
El tercer cuartil \(Q_3\) indica un valor bajo el cual se encuentra aproximadamente el \(75\%\) de los datos.
4. Falsa.
Estar sobre \(Q_3\) significa ubicarse en el tramo superior del grupo, pero no implica necesariamente tener el puntaje máximo.
Ejercicio 5
En una ojiva con frecuencia acumulada total \(100\), se observa que el nivel acumulado \(25\) se alcanza cerca de \(430\), el nivel \(50\) en \(500\) y el nivel \(75\) en \(560\).
a) Estima \(Q_1\), \(Q_2\) y \(Q_3\).
b) Explica qué significa que un resultado quede sobre \(Q_3\).
c) Indica una afirmación que sí puede concluirse desde esa ojiva y una que no puede concluirse directamente.
a) Estimación de cuartiles:
\[ Q_1\approx 430,\qquad Q_2\approx 500,\qquad Q_3\approx 560 \]
b) Significado de quedar sobre \(Q_3\): significa ubicarse por encima del valor que deja aproximadamente al 75\% de los datos en o bajo él. Es decir, el resultado queda en el tramo superior del grupo.
c) Una afirmación que sí puede concluirse: aproximadamente el 50\% de los datos queda en o bajo \(500\).
Una afirmación que no puede concluirse directamente: no puede afirmarse cuál es la media exacta del grupo ni cuáles son todos los valores individuales.
Ticket de salida
- ¿Qué representa \(Q_2\)?
- ¿Qué porcentaje aproximado de datos queda en o bajo \(Q_1\)?
- Escribe una conclusión breve y bien justificada usando \(Q_3\).
- \(Q_2\) representa la mediana del conjunto.
- En o bajo \(Q_1\) queda aproximadamente el 25\% de los datos.
- Una posible respuesta es: “Si un estudiante obtuvo un puntaje mayor que \(Q_3\), entonces se ubica en el tramo superior del grupo, por encima del valor que deja aproximadamente al 75\% de los datos en o bajo él”.
- Los cuartiles se calculan sobre datos ordenados.
- \(Q_2\) coincide con la mediana.
- \(Q_1\), \(Q_2\) y \(Q_3\) ayudan a describir la posición relativa de los datos.
- \(Q_1\), \(Q_2\) y \(Q_3\) se interpretan aproximadamente con los porcentajes \(25\%\), \(50\%\) y \(75\%\).
- La ojiva puede servir como apoyo visual para leer cuartiles, pero no reemplaza por completo el análisis del contexto ni describe todos los datos individuales.