1. Ecuaciones de Segundo Grado con Soluciones Complejas

Ecuaciones de Segundo Grado con Soluciones Complejas

Repaso: Ecuaciones de Segundo Grado y la Fórmula Cuadrática

Una ecuación de segundo grado (o ecuación cuadrática) tiene la forma general:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

donde a, b y c son números reales, y a ≠ 0.

La *fórmula cuadrática* nos da las soluciones de esta ecuación:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

El Discriminante y el Tipo de Soluciones

La expresión dentro de la raíz cuadrada, \( b^2 - 4ac \), se llama el *discriminante* de la ecuación cuadrática. El discriminante determina el *tipo* de soluciones que tiene la ecuación:

  • Si \( b^2 - 4ac > 0 \): La ecuación tiene dos soluciones reales y distintas.
  • Si \( b^2 - 4ac = 0 \): La ecuación tiene una solución real (repetida).
  • Si \( b^2 - 4ac < 0 \): La ecuación *no tiene soluciones reales*. Aquí es donde entran en juego los números complejos.

Soluciones Complejas

Cuando el discriminante es negativo, la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática produce un número imaginario. Esto significa que las soluciones de la ecuación son *números complejos*.

Ejemplo: Resolver \( x^2 + 2x + 5 = 0 \)

  1. Identificamos a, b y c: a = 1, b = 2, c = 5.
  2. Calculamos el discriminante: \( b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 \)
  3. Como el discriminante es negativo, las soluciones serán complejas.
  4. Aplicamos la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} \]
  5. Simplificamos: \[ x = \frac{-2}{2} \pm \frac{4i}{2} = -1 \pm 2i \]

Las soluciones son \( x_1 = -1 + 2i \) y \( x_2 = -1 - 2i \) (son complejas conjugadas).

Interpretación Gráfica

Recordemos que las soluciones reales de una ecuación cuadrática corresponden a los puntos donde la parábola \( y = ax^2 + bx + c \) intersecta el eje x. Si la ecuación *no tiene* soluciones reales (es decir, si tiene soluciones complejas), significa que la parábola *no corta* el eje x.

(En Moodle, insertar aquí una imagen que muestre una parábola que no corta el eje x).

Ejercicios

Ejercicio 1: Calcula el discriminante de las siguientes ecuaciones cuadráticas y determina si tienen soluciones reales o complejas:

  1. \( x^2 - 4x + 3 = 0 \)
  2. \( x^2 + 2x + 1 = 0 \)
  3. \( x^2 + x + 1 = 0 \)
  4. \( 2x^2 - x + 3 = 0\)

Ejercicio 2: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas (si las soluciones son complejas, exprésalas en forma binomial):

  1. \( x^2 - 6x + 9 = 0 \)
  2. \( x^2 + 4 = 0 \)
  3. \( x^2 - 2x + 2 = 0 \)
  4. \( 2x^2 - x + 1 = 0 \)
  5. \( x^2 + 9 = 0 \)
  6. \( x^2 - 4x + 5 = 0 \)
  7. \( 3x^2 + 2x + 1 = 0 \)
  8. \( x^2 + x + 1 = 0\)

Ejercicio 3: Escribe una ecuación de segundo grado que tenga como soluciones:

  1. 2 + i y 2 - i
  2. -1 + 3i y -1 - 3i
  3. i y -i
  4. 2i y -2i
  5. 1 + √2i y 1 - √2i
  6. -3 + (1/2)i y -3 - (1/2)i

Ejercicio 4: ¿Es posible que una ecuación cuadrática con coeficientes *reales* tenga *una sola* solución compleja? Justifica tu respuesta.

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