Desarrollo y resultados: media, moda y mediana

Revisar paso a paso el cálculo de la media, la moda y la mediana en una tabla de frecuencias simple y en datos agrupados por intervalos, distinguiendo entre intervalo aparente e intervalo real.
  • Interpretan tablas de frecuencias simples y agrupadas.
  • Reconocen la diferencia entre intervalo aparente e intervalo real.
  • Aplican correctamente las fórmulas de media, mediana y moda.
  • Comprenden que en datos agrupados las medidas son aproximadas.
🤓 Idea central: en una tabla de frecuencias simple trabajamos con los valores exactos. En cambio, cuando los datos se agrupan en intervalos, usamos marcas de clase y límites reales, por lo que las medidas obtenidas son aproximaciones.
Importante: en los ejercicios agrupados distinguimos entre intervalo aparente e intervalo real. Por ejemplo:

50–59 es un intervalo aparente, mientras que su intervalo real es 49,5–59,5.
Fórmulas utilizadas

Media en tabla de frecuencias simple: \[ \bar{x}=\frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i} \] Media en datos agrupados: \[ \bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} \] Mediana en datos agrupados: \[ Me = L + \left(\frac{\frac{N}{2}-F}{f}\right)c \] Moda en datos agrupados: \[ Mo = L + \left(\frac{d_1}{d_1+d_2}\right)c \]

Ejercicio 1: tabla de frecuencias simple

En un curso se registró cuántos mensajes enviaron los estudiantes durante un día.
2, 3, 1, 4, 2, 5, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 6, 4, 3, 2, 5, 3, 4, 2, 1, 3, 2, 4, 3

Tabla de frecuencias

Número de mensajes \(x_i\) Frecuencia \(f_i\) \(x_i \cdot f_i\) Frecuencia acumulada
1 3 3 3
2 7 14 10
3 7 21 17
4 5 20 22
5 2 10 24
6 1 6 25
Total 25 74  
Desarrollo de la media

Usamos la fórmula:

\[ \bar{x}=\frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i} \]

Reemplazando:

\[ \bar{x}=\frac{74}{25}=2,96 \]

Resultado: la media es 2,96.

Desarrollo de la moda

Buscamos el valor con mayor frecuencia.

Observamos que:

  • el valor 2 aparece 7 veces;
  • el valor 3 aparece 7 veces.

Resultado: la distribución es bimodal y las modas son 2 y 3.

Desarrollo de la mediana

Como hay \(N=25\) datos, la posición central es:

\[ \frac{N+1}{2}=\frac{25+1}{2}=13 \]

Debemos ubicar el dato número 13 usando la frecuencia acumulada:

  • hasta el valor 2 llegamos al dato 10,
  • hasta el valor 3 llegamos al dato 17.

Por lo tanto, el dato número 13 corresponde al valor 3.

Resultado: la mediana es 3.

Conclusión del ejercicio 1: aquí trabajamos con valores exactos, por eso la media, la moda y la mediana se calculan sin aproximaciones.

Ejercicio 2: datos agrupados en intervalos

Los siguientes puntajes corresponden a 24 estudiantes en una prueba:
52, 64, 66, 68, 69, 70, 72, 72, 73, 74, 75, 75, 76, 77, 78, 78, 79, 80, 82, 84, 85, 88, 90, 92

Tabla de frecuencias agrupadas

Intervalo aparente Intervalo real Marca de clase \(x_i\) Frecuencia \(f_i\) \(f_i \cdot x_i\) Frecuencia acumulada
50–59 49,5–59,5 54,5 1 54,5 1
60–69 59,5–69,5 64,5 4 258 5
70–79 69,5–79,5 74,5 12 894 17
80–89 79,5–89,5 84,5 5 422,5 22
90–99 89,5–99,5 94,5 2 189 24
Total     24 1818  
En esta tabla, los intervalos escritos como 50–59, 60–69, 70–79, etc., son intervalos aparentes. Para aplicar correctamente las fórmulas de mediana y moda agrupadas, usamos los intervalos reales.
Desarrollo de la media agrupada

Usamos la fórmula:

\[ \bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} \]

En la tabla ya tenemos:

\[ \sum f_i x_i = 1818 \qquad \text{y} \qquad \sum f_i = 24 \]

Reemplazando:

\[ \bar{x}=\frac{1818}{24}=75,75 \]

Resultado: la media agrupada es 75,75.

Desarrollo de la mediana agrupada

Usamos la fórmula:

\[ Me = L + \left(\frac{\frac{N}{2}-F}{f}\right)c \]

Primero calculamos:

\[ \frac{N}{2}=\frac{24}{2}=12 \]

Buscamos el 12 en la frecuencia acumulada. La frecuencia acumulada pasa de 5 a 17, por lo tanto la clase mediana es 70–79.

Como trabajamos con intervalos reales, usamos:

  • \(L=69,5\)
  • \(F=5\)
  • \(f=12\)
  • \(c=10\)

Reemplazando:

\[ Me=69,5+\left(\frac{12-5}{12}\right)10 \] \[ Me=69,5+\frac{7}{12}\cdot 10 \] \[ Me=69,5+5,83 \] \[ Me\approx 75,33 \]

Resultado: la mediana agrupada es aproximadamente 75,3.

Desarrollo de la moda agrupada

Usamos la fórmula:

\[ Mo = L + \left(\frac{d_1}{d_1+d_2}\right)c \]

La clase con mayor frecuencia es 70–79, por lo tanto esa es la clase modal.

Usamos el límite real inferior de esa clase:

  • \(L=69,5\)
  • \(f_m=12\)
  • \(f_{\text{anterior}}=4\)
  • \(f_{\text{siguiente}}=5\)
  • \(c=10\)

Calculamos:

\[ d_1=12-4=8 \] \[ d_2=12-5=7 \]

Reemplazando:

\[ Mo=69,5+\left(\frac{8}{8+7}\right)10 \] \[ Mo=69,5+\left(\frac{8}{15}\right)10 \] \[ Mo=69,5+5,33 \] \[ Mo\approx 74,83 \]

Resultado: la moda agrupada es aproximadamente 74,8.

Conclusión del ejercicio 2: al trabajar con datos agrupados ya no conocemos cada puntaje exacto dentro del intervalo, por eso las medidas obtenidas son aproximadas.

Ejercicio 3: segundo ejercicio con datos agrupados

Se registró el tiempo diario de uso del celular, en minutos, de un grupo de estudiantes:
95, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 135, 140, 145, 145, 150, 155, 155, 160, 165, 165, 170, 175, 175, 180, 190, 200, 210

Tabla de frecuencias agrupadas

Intervalo aparente Intervalo real Marca de clase \(x_i\) Frecuencia \(f_i\) \(f_i \cdot x_i\) Frecuencia acumulada
90–119 89,5–119,5 104,5 4 418 4
120–149 119,5–149,5 134,5 8 1076 12
150–179 149,5–179,5 164,5 9 1480,5 21
180–209 179,5–209,5 194,5 3 583,5 24
210–239 209,5–239,5 224,5 1 224,5 25
Total     25 3782,5  
Desarrollo de la media agrupada

Usamos la fórmula:

\[ \bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} \]

De la tabla:

\[ \sum f_i x_i = 3782,5 \qquad \text{y} \qquad \sum f_i = 25 \]

Entonces:

\[ \bar{x}=\frac{3782,5}{25}=151,3 \]

Resultado: la media agrupada es 151,3 minutos.

Desarrollo de la mediana agrupada

Usamos:

\[ Me = L + \left(\frac{\frac{N}{2}-F}{f}\right)c \]

Calculamos:

\[ \frac{N}{2}=\frac{25}{2}=12,5 \]

Buscamos 12,5 en la frecuencia acumulada. La frecuencia acumulada pasa de 12 a 21, por lo tanto la clase mediana es 150–179.

Usamos ahora el intervalo real:

  • \(L=149,5\)
  • \(F=12\)
  • \(f=9\)
  • \(c=30\)

Reemplazando:

\[ Me=149,5+\left(\frac{12,5-12}{9}\right)30 \] \[ Me=149,5+\left(\frac{0,5}{9}\right)30 \] \[ Me=149,5+1,67 \] \[ Me\approx 151,17 \]

Resultado: la mediana agrupada es aproximadamente 151,2 minutos.

Desarrollo de la moda agrupada

Usamos:

\[ Mo = L + \left(\frac{d_1}{d_1+d_2}\right)c \]

La mayor frecuencia es 9, por lo tanto la clase modal es 150–179.

Usamos:

  • \(L=149,5\)
  • \(f_m=9\)
  • \(f_{\text{anterior}}=8\)
  • \(f_{\text{siguiente}}=3\)
  • \(c=30\)

Calculamos:

\[ d_1=9-8=1 \] \[ d_2=9-3=6 \]

Reemplazando:

\[ Mo=149,5+\left(\frac{1}{1+6}\right)30 \] \[ Mo=149,5+\left(\frac{1}{7}\right)30 \] \[ Mo=149,5+4,29 \] \[ Mo\approx 153,79 \]

Resultado: la moda agrupada es aproximadamente 153,8 minutos.

Conclusión del ejercicio 3: la agrupación facilita mucho el análisis cuando hay bastantes datos, pero las medidas obtenidas dejan de ser exactas y pasan a ser aproximaciones.

Cierre final

💡 Resumen:
  • En una tabla de frecuencias simple, las medidas se calculan con valores exactos.
  • En datos agrupados, la media usa la marca de clase.
  • En la mediana y en la moda agrupadas se usa el límite real inferior de la clase correspondiente.
  • Los resultados en datos agrupados son aproximaciones.
Para reflexionar:
  1. ¿Por qué en datos agrupados necesitamos intervalos reales y no solo aparentes?
  2. ¿Qué ventaja tiene usar la frecuencia acumulada en la mediana?
  3. ¿Qué medida crees que cambia más al agrupar datos: media, mediana o moda?
Última modificación: jueves, 12 de marzo de 2026, 16:07