Probabilidad básica
5. Unión de eventos: el “o” inclusivo
Objetivo de aprendizaje
- Comprender la unión de eventos y calcular probabilidades asociadas al “o” inclusivo, evitando contar dos veces los resultados comunes.
Unión de eventos
La unión de dos eventos \(A\) y \(B\) está formada por todos los resultados que pertenecen a \(A\), a \(B\), o a ambos eventos a la vez.
Se representa como:
\[ A\cup B \]
y se lee “\(A\) unión \(B\)”.
Definición
Si \(A\) y \(B\) son eventos de un mismo espacio muestral \(S\), entonces:
\[ A\cup B=\{x\in S: x\in A \text{ o } x\in B\} \]
La palabra “o” se usa en sentido inclusivo: basta con que el resultado pertenezca a uno de los eventos, pero también se incluye si pertenece a ambos.
Ejemplo 1: muestras de laboratorio
En un laboratorio se selecciona al azar una muestra del conjunto:
\[ S=\{M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7,M8,M9,M10\} \]
Se definen los eventos:
- \(A\): la muestra presenta temperatura elevada.
- \(B\): la muestra presenta pH fuera de rango.
Los eventos son:
\[ A=\{M2,M5,M6,M9\} \]
\[ B=\{M1,M5,M8,M9\} \]
La unión \(A\cup B\) contiene las muestras que presentan temperatura elevada, pH fuera de rango, o ambas condiciones:
\[ A\cup B=\{M1,M2,M5,M6,M8,M9\} \]
Como hay \(6\) casos favorables de un total de \(10\), se tiene:
\[ P(A\cup B)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5} \]
Regla de la unión
Cuando dos eventos pueden tener resultados en común, se cumple:
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]
La resta aparece porque los resultados que están en ambos eventos se cuentan dos veces al sumar \(P(A)+P(B)\).
Atención
En probabilidad, “\(A\) o \(B\)” normalmente significa “\(A\), \(B\), o ambos”.
Por eso, si una persona cumple las dos condiciones, sí pertenece a \(A\cup B\).
Ejemplo 2: actividades de una feria escolar
En una feria escolar participaron \(40\) estudiantes. De ellos, \(17\) se inscribieron en el desafío de cálculo mental, \(14\) se inscribieron en la charla de astronomía y \(6\) participaron en ambas actividades.
Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya participado en el desafío de cálculo mental o en la charla de astronomía?
Sea:
- \(A\): participar en cálculo mental.
- \(B\): participar en astronomía.
Se pide \(P(A\cup B)\).
Aplicamos la regla de la unión:
\[ P(A\cup B)=\frac{17+14-6}{40} \]
\[ P(A\cup B)=\frac{25}{40}=\frac{5}{8} \]
La probabilidad es \(\frac{5}{8}\).
Ejemplo 3: eventos sin resultados comunes
Una plataforma selecciona al azar una receta de un banco de \(54\) recetas. Hay \(20\) recetas saladas, \(16\) recetas dulces y \(18\) recetas de bebidas.
Se define:
- \(A\): seleccionar una receta salada.
- \(B\): seleccionar una receta dulce.
Como una receta no puede ser salada y dulce al mismo tiempo en esta clasificación, no hay resultados comunes entre \(A\) y \(B\):
\[ A\cap B=\varnothing \]
Entonces:
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B) \]
\[ P(A\cup B)=\frac{20}{54}+\frac{16}{54}=\frac{36}{54}=\frac{2}{3} \]
La probabilidad de seleccionar una receta salada o dulce es \(\frac{2}{3}\).
Ejemplo 4: detectar doble conteo
En un concurso de fotografía se revisan \(30\) trabajos. \(12\) usan técnica en blanco y negro, \(11\) usan formato panorámico y \(4\) usan ambas características.
Una estudiante calcula:
\[ \frac{12+11}{30}=\frac{23}{30} \]
El cálculo no es correcto, porque los \(4\) trabajos que usan ambas características fueron contados dos veces.
La cantidad correcta de trabajos que usan blanco y negro o formato panorámico es:
\[ 12+11-4=19 \]
Por lo tanto:
\[ P=\frac{19}{30} \]
Estrategia para resolver problemas de unión
- Identifica los eventos \(A\) y \(B\).
- Determina qué significa \(A\cup B\) en el contexto.
- Revisa si existen resultados que pertenecen a ambos eventos.
- Si hay resultados comunes, réstalos una vez para evitar doble conteo.
- Calcula la probabilidad dividiendo casos favorables por casos posibles.
Ejercicios
Ejercicio 1
En una revisión de prototipos se tiene el espacio muestral:
\[ S=\{P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9,P10,P11,P12\} \]
Sea \(A=\{P2,P4,P7,P9,P12\}\) el evento “requiere ajuste de diseño” y \(B=\{P1,P4,P8,P9,P10\}\) el evento “requiere ajuste de material”.
Determina \(A\cup B\) y calcula \(P(A\cup B)\).
La unión \(A\cup B\) contiene todos los prototipos que están en \(A\), en \(B\), o en ambos.
Juntamos los elementos sin repetir:
\[ A\cup B=\{P1,P2,P4,P7,P8,P9,P10,P12\} \]
Hay \(8\) prototipos en la unión y \(12\) prototipos en total.
Por lo tanto:
\[ P(A\cup B)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3} \]
Ejercicio 2
En una encuesta a \(52\) estudiantes, \(21\) declararon participar en un club científico, \(18\) declararon participar en un taller artístico y \(7\) declararon participar en ambas actividades.
Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que participe en el club científico o en el taller artístico?
Sea:
- \(A\): participar en club científico.
- \(B\): participar en taller artístico.
Se pide \(P(A\cup B)\).
Como hay \(7\) estudiantes que participaron en ambas actividades, se debe restar ese grupo una vez:
\[ |A\cup B|=21+18-7=32 \]
Entonces:
\[ P(A\cup B)=\frac{32}{52}=\frac{8}{13} \]
La probabilidad es \(\frac{8}{13}\).
Ejercicio 3
En una colección de \(45\) afiches, \(16\) tienen ilustración digital, \(13\) tienen texto manuscrito y \(5\) tienen ambas características.
Una persona afirma que la probabilidad de elegir un afiche con ilustración digital o texto manuscrito es \(\frac{29}{45}\). ¿Es correcta la afirmación? Justifica.
La afirmación no es correcta.
La persona sumó:
\[ 16+13=29 \]
Pero los \(5\) afiches que tienen ambas características fueron contados dos veces.
La cantidad correcta de afiches con ilustración digital o texto manuscrito es:
\[ 16+13-5=24 \]
Por lo tanto, la probabilidad correcta es:
\[ \frac{24}{45}=\frac{8}{15} \]
Ejercicio 4
Una tienda virtual revisa \(80\) publicaciones. \(26\) tienen fotografías nuevas, \(31\) tienen descripción actualizada y \(12\) tienen ambas mejoras.
Calcula la probabilidad de seleccionar una publicación que tenga fotografías nuevas o descripción actualizada.
Sea:
- \(A\): tener fotografías nuevas.
- \(B\): tener descripción actualizada.
La cantidad de publicaciones que pertenecen a \(A\cup B\) es:
\[ |A\cup B|=26+31-12=45 \]
Como hay \(80\) publicaciones en total:
\[ P(A\cup B)=\frac{45}{80}=\frac{9}{16} \]
La probabilidad es \(\frac{9}{16}\).
Ejercicio 5
En una selección de \(38\) plantas de invernadero, \(15\) presentan floración temprana, \(9\) presentan hojas variegadas y ninguna planta presenta ambas características.
¿Cuál es la probabilidad de elegir una planta con floración temprana o con hojas variegadas?
Como ninguna planta presenta ambas características, los eventos no tienen resultados comunes.
Entonces:
\[ |A\cup B|=15+9=24 \]
La probabilidad pedida es:
\[ P(A\cup B)=\frac{24}{38}=\frac{12}{19} \]
La probabilidad es \(\frac{12}{19}\).
Ejercicio 6
En un registro de \(70\) postulaciones, \(28\) incluyen portafolio, \(34\) incluyen carta de recomendación y \(18\) no incluyen ninguno de esos dos documentos.
Calcula la probabilidad de seleccionar una postulación que incluya portafolio o carta de recomendación.
Se pide la probabilidad de que la postulación incluya portafolio o carta de recomendación.
Como \(18\) postulaciones no incluyen ninguno de esos documentos, entonces las que incluyen al menos uno de ellos son:
\[ 70-18=52 \]
Por lo tanto:
\[ P=\frac{52}{70}=\frac{26}{35} \]
La probabilidad es \(\frac{26}{35}\).
Problemas tipo PAES
Problema 1
En un festival de cortometrajes se revisan \(64\) obras. \(22\) fueron grabadas en exteriores, \(19\) usan música original y \(8\) cumplen ambas condiciones. Si se elige una obra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido grabada en exteriores o use música original?
A) \(\frac{33}{64}\)
B) \(\frac{41}{64}\)
C) \(\frac{49}{64}\)
D) \(\frac{8}{64}\)
Sea:
- \(A\): obra grabada en exteriores.
- \(B\): obra que usa música original.
Se debe calcular \(P(A\cup B)\).
La cantidad de obras que cumplen al menos una de las condiciones es:
\[ |A\cup B|=22+19-8=33 \]
Entonces:
\[ P(A\cup B)=\frac{33}{64} \]
La alternativa correcta es A.
Problema 2
En una aplicación, \(120\) usuarios configuraron su perfil durante una semana. \(48\) activaron modo oscuro, \(57\) activaron recordatorios y \(23\) activaron ambas opciones. ¿Cuántos usuarios activaron modo oscuro o recordatorios?
A) \(82\)
B) \(105\)
C) \(128\)
D) \(23\)
Se pide la cantidad de usuarios en la unión de los eventos:
\[ |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| \]
Reemplazamos:
\[ |A\cup B|=48+57-23=82 \]
Por lo tanto, \(82\) usuarios activaron modo oscuro o recordatorios.
La alternativa correcta es A.
Problema 3
En una encuesta a \(95\) visitantes de una exposición, \(37\) indicaron interés por escultura, \(29\) indicaron interés por fotografía y \(44\) no indicaron interés por ninguna de esas dos áreas. ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un visitante que haya indicado interés por escultura o fotografía?
A) \(\frac{44}{95}\)
B) \(\frac{51}{95}\)
C) \(\frac{66}{95}\)
D) \(\frac{73}{95}\)
Los visitantes que indicaron interés por escultura o fotografía son quienes pertenecen a la unión de esos eventos.
Como \(44\) visitantes no indicaron interés por ninguna de esas dos áreas, los que sí indicaron interés por al menos una son:
\[ 95-44=51 \]
Entonces:
\[ P=\frac{51}{95} \]
La alternativa correcta es B.
Problema 4
En una colección de \(72\) infografías, \(25\) usan íconos, \(33\) usan mapas y \(11\) usan tanto íconos como mapas. Una estudiante calcula \(25+33=58\) y concluye que hay \(58\) infografías con íconos o mapas. ¿Cuál es el error?
A) Debió sumar también las \(11\) infografías que tienen ambas características.
B) Debió restar las \(11\) infografías que tienen ambas características.
C) Debió calcular \(72-25-33\).
D) No hay error; el cálculo es correcto.
Al sumar \(25+33\), las infografías que tienen tanto íconos como mapas se cuentan dos veces.
Por eso, se deben restar una vez:
\[ 25+33-11=47 \]
El error fue no descontar la intersección.
La alternativa correcta es B.
Problema 5
En un catálogo de \(90\) productos, \(36\) tienen envío rápido, \(27\) tienen descuento activo y \(18\) tienen ambas características. ¿Cuál es la probabilidad de que un producto elegido al azar tenga envío rápido o descuento activo?
A) \(\frac{45}{90}\)
B) \(\frac{54}{90}\)
C) \(\frac{63}{90}\)
D) \(\frac{81}{90}\)
Sea:
- \(A\): producto con envío rápido.
- \(B\): producto con descuento activo.
Se pide \(P(A\cup B)\).
Calculamos la cantidad de productos que están en la unión:
\[ |A\cup B|=36+27-18=45 \]
Entonces:
\[ P(A\cup B)=\frac{45}{90}=\frac{1}{2} \]
La alternativa correcta es A.