Probabilidad básica
1. Experimento aleatorio y espacio muestral
Experimento aleatorio y espacio muestral
Objetivo de aprendizaje
- Reconocer experimentos aleatorios y determinar su espacio muestral, distinguiendo qué resultado se está observando en cada situación.
Experimento aleatorio
Un experimento aleatorio es una acción o situación cuyo resultado no se puede predecir con certeza antes de realizarla, aunque sí se pueden conocer sus resultados posibles.
Por ejemplo, lanzar una moneda, lanzar un dado, extraer una tarjeta de una caja o escoger una persona al azar son experimentos aleatorios.
Espacio muestral
El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se suele representar con \(S\) o \(\Omega\).
Si el experimento es lanzar una moneda y observar su resultado, entonces:
\[ S=\{\text{cara},\text{sello}\} \]
La cantidad de elementos del espacio muestral se puede representar como \(|S|\).
Atención
El espacio muestral depende de qué se observa en el experimento.
Por ejemplo, al lanzar un dado se puede observar el número exacto, si el número es par o impar, si es mayor que \(4\), o si es múltiplo de \(3\). Cada forma de observar produce un espacio muestral distinto.
Ejemplo 1: un mismo experimento, distintos espacios muestrales
Experimento: lanzar un dado común.
Si se observa el número exacto obtenido, entonces:
\[ S_1=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Pero si se observa solo si el resultado es par o impar, entonces:
\[ S_2=\{\text{par},\text{impar}\} \]
El experimento físico es el mismo, pero cambia el espacio muestral porque cambia lo que se está registrando.
Ejemplo 2: lanzar dos monedas
Experimento: lanzar dos monedas y registrar los resultados en orden.
Escribimos cada resultado como un par:
\[ (\text{resultado de la primera moneda},\text{resultado de la segunda moneda}) \]
Entonces:
\[ S=\{(\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara}),(\text{sello},\text{sello})\} \]
Observa que \((\text{cara},\text{sello})\) y \((\text{sello},\text{cara})\) son resultados distintos si importa el orden.
Ejemplo 3: formar un código
Se forma un código de dos caracteres. El primer carácter debe ser una letra de \(\{A,B,C\}\) y el segundo debe ser un número de \(\{1,2\}\).
El espacio muestral es:
\[ S=\{A1,A2,B1,B2,C1,C2\} \]
Como hay \(3\) opciones para la letra y \(2\) opciones para el número, se tienen:
\[ |S|=3\cdot 2=6 \]
Ejemplo 4: cuando el orden cambia el resultado
En un grupo formado por Ana, Bruno y Camila se eligen dos personas.
Si se elige una presidencia y una secretaría, el orden importa, porque no es lo mismo que Ana sea presidenta y Bruno secretario, a que Bruno sea presidente y Ana secretaria.
En ese caso:
\[ S_1=\{(A,B),(A,C),(B,A),(B,C),(C,A),(C,B)\} \]
Pero si solo se elige un equipo de dos personas, sin cargos, el orden no importa:
\[ S_2=\{\{A,B\},\{A,C\},\{B,C\}\} \]
Por eso es fundamental leer con precisión qué resultado se está observando.
Estrategia para determinar el espacio muestral
- Identifica el experimento aleatorio.
- Determina exactamente qué se observa o registra como resultado.
- Decide si el orden importa o no importa.
- Anota todos los resultados posibles sin repetir ni omitir casos.
- Cuando el listado sea muy largo, describe el espacio muestral mediante una regla clara y calcula \(|S|\).
Error común
Un error frecuente es escribir como espacio muestral los objetos disponibles, sin considerar qué se está preguntando.
Por ejemplo, si se elige una persona y se registra si usa lentes o no usa lentes, el espacio muestral no es la lista de estudiantes del curso, sino:
\[ S=\{\text{usa lentes},\text{no usa lentes}\} \]
Ejercicios
Ejercicio 1
Indica si cada situación corresponde a un experimento aleatorio o a una situación determinista.
| Situación | Clasificación |
|---|---|
| Lanzar una moneda y observar el resultado. | |
| Calcular \(8+5\). | |
| Extraer una tarjeta al azar de una caja. | |
| Medir cuántos lados tiene un triángulo. |
Una situación es aleatoria cuando no se puede saber con certeza el resultado antes de realizarla.
| Situación | Clasificación | Justificación |
|---|---|---|
| Lanzar una moneda y observar el resultado. | Experimento aleatorio | No se sabe con certeza si saldrá cara o sello. |
| Calcular \(8+5\). | Situación determinista | Siempre da \(13\). |
| Extraer una tarjeta al azar de una caja. | Experimento aleatorio | No se sabe con certeza qué tarjeta será extraída. |
| Medir cuántos lados tiene un triángulo. | Situación determinista | Todo triángulo tiene exactamente \(3\) lados. |
Ejercicio 2
Se lanza un dado común y se observa si el número obtenido es menor que \(3\), igual a \(3\) o mayor que \(3\). Determina el espacio muestral.
El dado puede mostrar \(1,2,3,4,5\) o \(6\), pero no se está observando el número exacto.
Se registra una de estas tres categorías:
- menor que \(3\): ocurre si sale \(1\) o \(2\);
- igual a \(3\): ocurre si sale \(3\);
- mayor que \(3\): ocurre si sale \(4\), \(5\) o \(6\).
Por lo tanto:
\[ S=\{\text{menor que }3,\text{ igual a }3,\text{ mayor que }3\} \]
Ejercicio 3
Se lanzan dos dados comunes.
- Determina la cantidad de resultados posibles si se registra el resultado de cada dado en orden.
- Determina el espacio muestral si solo se registra la suma obtenida.
Si se registra el resultado de cada dado en orden, cada resultado tiene la forma:
\[ (\text{resultado del primer dado},\text{resultado del segundo dado}) \]
El primer dado tiene \(6\) posibilidades y el segundo también tiene \(6\), por lo tanto:
\[ |S|=6\cdot 6=36 \]
En cambio, si solo se registra la suma, la menor suma posible es:
\[ 1+1=2 \]
y la mayor suma posible es:
\[ 6+6=12 \]
Por lo tanto, el espacio muestral de las sumas es:
\[ S=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\} \]
Ejercicio 4
Se forma un código de dos caracteres. El primero debe ser una letra de \(\{M,N,P\}\) y el segundo debe ser un número de \(\{1,2,3,4\}\). Determina el espacio muestral y su cantidad de elementos.
Cada código se forma eligiendo primero una letra y luego un número.
El espacio muestral es:
\[ \begin{aligned} S=\{&M1,M2,M3,M4,\\ &N1,N2,N3,N4,\\ &P1,P2,P3,P4\} \end{aligned} \]
Hay \(3\) opciones para la letra y \(4\) opciones para el número, por lo tanto:
\[ |S|=3\cdot 4=12 \]
Ejercicio 5
De un grupo formado por Ana, Bruno, Camila y Diego se eligen dos estudiantes para representar al curso, sin cargos distintos. Escribe el espacio muestral.
Como no hay cargos distintos, el orden no importa. Por ejemplo, elegir a Ana y Bruno es lo mismo que elegir a Bruno y Ana.
Usando \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) para representar a Ana, Bruno, Camila y Diego, el espacio muestral es:
\[ S=\{\{A,B\},\{A,C\},\{A,D\},\{B,C\},\{B,D\},\{C,D\}\} \]
Hay \(6\) equipos posibles de dos estudiantes.
Ejercicio 6
Una estudiante dice que, al lanzar dos monedas y registrar los resultados en orden, el espacio muestral es:
\[ S=\{(\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{sello})\} \]
¿Está correcto? Justifica tu respuesta y escribe el espacio muestral correcto.
No está correcto, porque falta un resultado posible.
Si se registran los resultados en orden, entonces \((\text{cara},\text{sello})\) y \((\text{sello},\text{cara})\) son distintos.
El espacio muestral correcto es:
\[ S=\{(\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara}),(\text{sello},\text{sello})\} \]
El error fue tratar como un solo caso los resultados en que aparece una cara y un sello, aunque el orden sí se estaba registrando.
Problemas tipo PAES
Problema 1
Se lanzan dos dados comunes y se registra solamente la suma de los números obtenidos. ¿Cuál es el espacio muestral asociado a este experimento?
A) \(\{1,2,3,4,5,6\}\)
B) \(\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\)
C) \(\{(1,1),(1,2),(1,3),\ldots,(6,6)\}\)
D) \(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\)
El experimento no registra cada dado por separado, sino solamente la suma.
La suma menor posible es:
\[ 1+1=2 \]
La suma mayor posible es:
\[ 6+6=12 \]
Por lo tanto, las sumas posibles son:
\[ S=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\} \]
La alternativa correcta es B.
Problema 2
Se elige al azar un número del conjunto \(\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) y se registra si es primo y si es par. Cada respuesta puede ser “sí” o “no”. ¿Cuál es el espacio muestral correcto?
A) \(\{\text{primo},\text{par}\}\)
B) \(\{(\text{sí},\text{sí}),(\text{sí},\text{no}),(\text{no},\text{sí}),(\text{no},\text{no})\}\)
C) \(\{2,3,5,7\}\)
D) \(\{2,4,6,8\}\)
Se registran dos características del número elegido:
- si es primo;
- si es par.
Cada resultado debe escribirse como un par:
\[ (\text{respuesta sobre primo},\text{respuesta sobre par}) \]
Revisemos que las cuatro combinaciones aparecen:
- \((\text{sí},\text{sí})\): ocurre con \(2\), que es primo y par.
- \((\text{sí},\text{no})\): ocurre con \(3,5,7\), que son primos impares.
- \((\text{no},\text{sí})\): ocurre con \(4,6,8\), que son pares no primos.
- \((\text{no},\text{no})\): ocurre con \(1\), que no es primo ni par.
Por lo tanto:
\[ S=\{(\text{sí},\text{sí}),(\text{sí},\text{no}),(\text{no},\text{sí}),(\text{no},\text{no})\} \]
La alternativa correcta es B.
Problema 3
En un taller hay \(5\) estudiantes. Se elige una persona para coordinar y otra distinta para registrar los acuerdos. ¿Cuántos resultados posibles tiene el espacio muestral?
A) \(10\)
B) \(15\)
C) \(20\)
D) \(25\)
Hay dos cargos distintos: coordinar y registrar. Por eso, el orden importa.
Para elegir a la persona que coordina hay \(5\) opciones.
Luego, para elegir a una persona distinta que registre los acuerdos, quedan \(4\) opciones.
Entonces:
\[ |S|=5\cdot 4=20 \]
La alternativa correcta es C.
Problema 4
Una caja contiene tarjetas con las letras \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\). Se extraen dos tarjetas sin reposición y se registra el orden en que aparecen. ¿Cuál de los siguientes conjuntos representa parte de la estructura correcta del espacio muestral?
A) \(\{AA,AB,AC,AD,\ldots\}\)
B) \(\{AB,AC,AD,BC,BD,CD\}\)
C) \(\{AB,AC,AD,BA,BC,BD,\ldots\}\)
D) \(\{A,B,C,D\}\)
Como se extraen dos tarjetas sin reposición, no se puede repetir la misma letra en un resultado. Por eso, \(AA\) no es posible.
Además, se registra el orden de aparición. Por lo tanto, \(AB\) y \(BA\) son resultados distintos.
La estructura correcta debe incluir pares ordenados de letras distintas, por ejemplo:
\[ AB,\;AC,\;AD,\;BA,\;BC,\;BD,\ldots \]
La alternativa que representa correctamente esa estructura es C.
Problema 5
Se lanza una moneda tres veces y se registra solamente la cantidad de caras obtenidas. ¿Cuál es el espacio muestral asociado a esta forma de observar el experimento?
A) \(\{0,1,2,3\}\)
B) \(\{1,2,3\}\)
C) \(\{(\text{cara},\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{cara},\text{sello}),\ldots\}\)
D) \(\{\text{cara},\text{sello}\}\)
No se registra la secuencia exacta de caras y sellos, sino solo la cantidad de caras obtenidas.
Al lanzar una moneda tres veces, la cantidad de caras puede ser:
- \(0\), si no aparece ninguna cara;
- \(1\), si aparece una cara;
- \(2\), si aparecen dos caras;
- \(3\), si aparecen tres caras.
Por lo tanto:
\[ S=\{0,1,2,3\} \]
La alternativa correcta es A.