Probabilidad básica
8. Probabilidad condicional: cambio del universo de referencia
Objetivo de aprendizaje
- Comprender la probabilidad condicional como un cambio del universo de referencia y calcularla usando tablas, conjuntos y datos contextualizados.
¿Qué significa condicionar?
En probabilidad, condicionar significa calcular una probabilidad sabiendo que cierta información ya ocurrió o ya se conoce.
Por ejemplo, no es lo mismo preguntar “¿cuál es la probabilidad de que una persona haya comprado catálogo?” que preguntar “¿cuál es la probabilidad de que una persona haya comprado catálogo, sabiendo que participó en una visita guiada?”.
En el segundo caso, el universo de referencia ya no es todo el grupo, sino solo quienes participaron en la visita guiada.
Probabilidad condicional
Si \(A\) y \(B\) son eventos de un mismo espacio muestral y \(P(B)>0\), la probabilidad de que ocurra \(A\) sabiendo que ocurrió \(B\) se escribe:
\[ P(A\mid B) \]
y se calcula como:
\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]
Cuando se trabaja con cantidades de casos equiprobables:
\[ P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|} \]
Atención
En \(P(A\mid B)\), el evento que aparece después de la barra vertical, \(B\), es la condición. Por eso, el denominador corresponde a los casos de \(B\), no al total original.
La frase “sabiendo que ocurrió \(B\)” indica que el universo de referencia se reduce a \(B\).
Ejemplo 1: visita guiada en un museo
En un museo se registraron \(90\) visitantes según si participaron en visita guiada y si compraron catálogo.
| Compró catálogo | No compró catálogo | Total | |
|---|---|---|---|
| Visita guiada | 18 | 22 | 40 |
| Visita libre | 12 | 38 | 50 |
| Total | 30 | 60 | 90 |
Si se elige un visitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya comprado catálogo, sabiendo que participó en visita guiada?
La condición es “participó en visita guiada”. Por lo tanto, el universo de referencia tiene \(40\) visitantes.
Dentro de esos \(40\), compraron catálogo \(18\).
Entonces:
\[ P(\text{compró catálogo}\mid \text{visita guiada})=\frac{18}{40}=\frac{9}{20} \]
Ejemplo 2: modalidad y horario de inscripción
En una inscripción a cursos breves se registró la modalidad y el horario elegido por \(64\) personas.
| Horario diurno | Horario vespertino | Total | |
|---|---|---|---|
| Presencial | 19 | 17 | 36 |
| En línea | 11 | 17 | 28 |
| Total | 30 | 34 | 64 |
Calculemos la probabilidad de que una persona haya elegido horario vespertino, sabiendo que eligió modalidad en línea.
La condición es “modalidad en línea”, por lo que el denominador es \(28\).
De esas \(28\) personas, \(17\) eligieron horario vespertino.
\[ P(\text{vespertino}\mid \text{en línea})=\frac{17}{28} \]
Ejemplo 3: usando eventos y conjuntos
En una revisión de \(18\) piezas de un taller, se definen los eventos:
- \(A\): la pieza tiene recubrimiento especial.
- \(B\): la pieza supera la prueba de flexibilidad.
Se sabe que:
\[ A=\{p_1,p_3,p_4,p_7,p_9,p_{12},p_{15},p_{18}\} \]
\[ B=\{p_2,p_3,p_7,p_{10},p_{12},p_{14},p_{18}\} \]
Calculemos \(P(B\mid A)\), es decir, la probabilidad de que la pieza supere la prueba de flexibilidad sabiendo que tiene recubrimiento especial.
Primero encontramos la intersección:
\[ A\cap B=\{p_3,p_7,p_{12},p_{18}\} \]
Como \(|A|=8\) y \(|A\cap B|=4\), entonces:
\[ P(B\mid A)=\frac{|A\cap B|}{|A|}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \]
Ejemplo 4: el orden de la condición importa
Una plataforma registró \(120\) recursos según su formato y si requieren subtítulos.
| Requiere subtítulos | No requiere subtítulos | Total | |
|---|---|---|---|
| Video tutorial | 36 | 24 | 60 |
| Infografía | 18 | 42 | 60 |
| Total | 54 | 66 | 120 |
Sea \(V\) el evento “ser video tutorial” y \(S\) el evento “requiere subtítulos”.
Calculemos primero \(P(V\mid S)\):
\[ P(V\mid S)=\frac{36}{54}=\frac{2}{3} \]
Ahora calculemos \(P(S\mid V)\):
\[ P(S\mid V)=\frac{36}{60}=\frac{3}{5} \]
Los resultados no son iguales, porque en cada caso cambia la condición y, por lo tanto, cambia el universo de referencia.
Estrategia para resolver probabilidades condicionales
- Identifica qué evento está después de la barra vertical o después de la frase “sabiendo que”.
- Usa ese evento como nuevo universo de referencia.
- Cuenta cuántos casos dentro de ese universo cumplen la condición pedida.
- Forma la fracción: \[ \frac{\text{casos que cumplen ambas condiciones}}{\text{casos que cumplen la condición dada}} \]
- Simplifica si es posible e interpreta el resultado.
Error común
Un error frecuente es dividir por el total original del problema.
Si se pregunta \(P(A\mid B)\), el denominador debe ser \(|B|\), no \(|S|\). Solo se mira el grupo donde \(B\) ya ocurrió.
Ejercicios
Ejercicio 1
En un taller de robótica se clasificaron \(70\) piezas según si están programadas y si requieren sensor adicional.
| Programada | No programada | Total | |
|---|---|---|---|
| Requiere sensor | 24 | 16 | 40 |
| No requiere sensor | 18 | 12 | 30 |
| Total | 42 | 28 | 70 |
Si se selecciona una pieza al azar, calcula la probabilidad de que esté programada, sabiendo que requiere sensor adicional.
La condición es “requiere sensor”. Por lo tanto, el universo de referencia tiene \(40\) piezas.
Dentro de esas \(40\) piezas, \(24\) están programadas.
Entonces:
\[ P(\text{programada}\mid \text{requiere sensor})=\frac{24}{40}=\frac{3}{5} \]
La probabilidad es \(\frac{3}{5}\).
Ejercicio 2
Una plataforma de lectura registró \(96\) cuentas según el tipo de plan y si activaron lectura sin conexión.
| Activó lectura sin conexión | No la activó | Total | |
|---|---|---|---|
| Plan mensual | 22 | 34 | 56 |
| Plan anual | 28 | 12 | 40 |
| Total | 50 | 46 | 96 |
Calcula \(P(\text{activó lectura sin conexión}\mid \text{plan anual})\).
La condición es “plan anual”. Por lo tanto, se consideran solo las \(40\) cuentas con plan anual.
De esas cuentas, \(28\) activaron lectura sin conexión.
Entonces:
\[ P(\text{activó lectura sin conexión}\mid \text{plan anual})=\frac{28}{40}=\frac{7}{10} \]
Ejercicio 3
En una muestra de \(84\) plantas nativas se registró si pertenecen a zona costera o interior y si florecieron durante el periodo observado.
| Floreció | No floreció | Total | |
|---|---|---|---|
| Zona costera | 30 | 18 | 48 |
| Zona interior | 21 | 15 | 36 |
| Total | 51 | 33 | 84 |
Calcula:
- la probabilidad de que una planta haya florecido, sabiendo que pertenece a zona costera;
- la probabilidad de que una planta pertenezca a zona costera, sabiendo que floreció.
Para la primera probabilidad, la condición es “pertenece a zona costera”. Hay \(48\) plantas costeras y \(30\) de ellas florecieron.
\[ P(\text{floreció}\mid \text{zona costera})=\frac{30}{48}=\frac{5}{8} \]
Para la segunda probabilidad, la condición es “floreció”. Hay \(51\) plantas que florecieron y \(30\) de ellas son de zona costera.
\[ P(\text{zona costera}\mid \text{floreció})=\frac{30}{51}=\frac{10}{17} \]
Los valores son distintos porque las condiciones cambian.
Ejercicio 4
Se elige al azar una reserva de cancha. De \(112\) reservas, \(46\) fueron para fútbol, \(32\) fueron en horario nocturno y \(18\) fueron reservas de fútbol en horario nocturno.
Calcula la probabilidad de que una reserva sea de fútbol, sabiendo que fue en horario nocturno.
Sea:
- \(F\): la reserva es de fútbol.
- \(N\): la reserva fue en horario nocturno.
Se pide:
\[ P(F\mid N) \]
La condición es \(N\), por lo tanto el denominador es la cantidad de reservas nocturnas: \(32\).
Las reservas que son de fútbol y nocturnas son \(18\).
Entonces:
\[ P(F\mid N)=\frac{18}{32}=\frac{9}{16} \]
Ejercicio 5
En un conjunto de \(20\) rutas de senderismo, se definen los eventos:
- \(A\): la ruta tiene mirador.
- \(B\): la ruta tiene dificultad alta.
Se sabe que:
\[ A=\{r_2,r_4,r_5,r_8,r_{11},r_{14},r_{16},r_{19}\} \]
\[ B=\{r_1,r_4,r_8,r_{10},r_{11},r_{17},r_{19},r_{20}\} \]
Calcula \(P(A\mid B)\) y \(P(B\mid A)\).
Primero encontramos la intersección:
\[ A\cap B=\{r_4,r_8,r_{11},r_{19}\} \]
Para \(P(A\mid B)\), el universo de referencia es \(B\). Como \(|B|=8\) y \(|A\cap B|=4\):
\[ P(A\mid B)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \]
Para \(P(B\mid A)\), el universo de referencia es \(A\). Como \(|A|=8\):
\[ P(B\mid A)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \]
En este caso particular coinciden, pero no siempre ocurre así.
Ejercicio 6
Una estudiante afirma: “Si en un grupo de \(150\) personas, \(64\) hablan francés, \(58\) hablan alemán y \(22\) hablan ambos idiomas, entonces la probabilidad de que una persona hable francés sabiendo que habla alemán es \(\frac{22}{150}\)”.
¿Es correcta la afirmación? Justifica y calcula la probabilidad correcta.
La afirmación no es correcta.
Se pide la probabilidad de que una persona hable francés sabiendo que habla alemán. La condición es “habla alemán”, por lo tanto el denominador debe ser \(58\), no \(150\).
Las personas que hablan francés y alemán son \(22\).
Entonces:
\[ P(\text{francés}\mid \text{alemán})=\frac{22}{58}=\frac{11}{29} \]
El error fue usar el total del grupo como denominador, en vez del grupo condicionado.
Problemas tipo PAES
Problema 1
En un seminario se registraron \(130\) asistentes según si asistieron en línea o presencialmente y si recibieron material digital.
| Recibió material digital | No recibió material digital | Total | |
|---|---|---|---|
| Presencial | 44 | 26 | 70 |
| En línea | 38 | 22 | 60 |
| Total | 82 | 48 | 130 |
Si se elige un asistente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya recibido material digital, sabiendo que asistió en línea?
A) \(\frac{38}{130}\)
B) \(\frac{38}{60}\)
C) \(\frac{82}{130}\)
D) \(\frac{60}{130}\)
La condición es “asistió en línea”, por lo que se consideran solo los \(60\) asistentes en línea.
De ellos, \(38\) recibieron material digital.
Entonces:
\[ P(\text{material digital}\mid \text{en línea})=\frac{38}{60}=\frac{19}{30} \]
La alternativa correcta es B.
Problema 2
En \(180\) solicitudes de trámite, \(72\) usan firma electrónica, \(65\) tienen documento de respaldo y \(40\) usan firma electrónica y tienen documento de respaldo.
Si se sabe que una solicitud tiene documento de respaldo, ¿cuál es la probabilidad de que use firma electrónica?
A) \(\frac{40}{180}\)
B) \(\frac{72}{65}\)
C) \(\frac{40}{65}\)
D) \(\frac{112}{180}\)
Sea:
- \(F\): usa firma electrónica.
- \(R\): tiene documento de respaldo.
Se pide \(P(F\mid R)\). La condición es \(R\), por lo que el denominador es \(65\).
Las solicitudes que cumplen ambas condiciones son \(40\).
\[ P(F\mid R)=\frac{40}{65}=\frac{8}{13} \]
La alternativa correcta es C.
Problema 3
Una editorial clasificó \(80\) revistas según si son científicas y si están escritas en inglés.
| En inglés | No en inglés | Total | |
|---|---|---|---|
| Científica | 21 | 14 | 35 |
| No científica | 9 | 36 | 45 |
| Total | 30 | 50 | 80 |
¿Cuál de las siguientes expresiones representa la probabilidad de que una revista esté en inglés, sabiendo que es científica?
A) \(\frac{21}{80}\)
B) \(\frac{21}{35}\)
C) \(\frac{30}{80}\)
D) \(\frac{35}{80}\)
La condición es “es científica”. Por eso, se consideran solo las \(35\) revistas científicas.
Dentro de ese grupo, \(21\) están en inglés.
Entonces:
\[ P(\text{en inglés}\mid \text{científica})=\frac{21}{35} \]
La alternativa correcta es B.
Problema 4
Para dos eventos \(A\) y \(B\), se sabe que:
\[ P(A\cap B)=0{,}18 \]
\[ P(B)=0{,}45 \]
¿Cuál es el valor de \(P(A\mid B)\)?
A) \(0{,}27\)
B) \(0{,}40\)
C) \(0{,}63\)
D) \(2{,}50\)
Usamos la fórmula de probabilidad condicional:
\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]
Reemplazamos:
\[ P(A\mid B)=\frac{0{,}18}{0{,}45}=0{,}40 \]
La alternativa correcta es B.
Problema 5
En un registro de \(150\) instalaciones culturales, \(80\) tienen acceso universal, \(90\) abren los fines de semana y \(52\) tienen acceso universal y abren los fines de semana.
Si se sabe que una instalación abre los fines de semana, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga acceso universal?
A) \(\frac{38}{90}\)
B) \(\frac{52}{90}\)
C) \(\frac{70}{150}\)
D) \(\frac{98}{150}\)
La condición es “abre los fines de semana”. Hay \(90\) instalaciones en ese grupo.
De esas \(90\), \(52\) tienen acceso universal. Por lo tanto, las que abren los fines de semana y no tienen acceso universal son:
\[ 90-52=38 \]
Entonces:
\[ P(\text{no tiene acceso universal}\mid \text{abre fines de semana})=\frac{38}{90}=\frac{19}{45} \]
La alternativa correcta es A.