Probabilidad básica
10. Independencia de eventos
Objetivo de aprendizaje
- Determinar si dos eventos son independientes, usando probabilidades condicionales, productos de probabilidades y tablas de datos, distinguiendo independencia de incompatibilidad.
¿Qué significa que dos eventos sean independientes?
Dos eventos son independientes cuando saber que uno ocurrió no cambia la probabilidad de que ocurra el otro.
Es decir, si conocer que ocurrió \(B\) no cambia la probabilidad de \(A\), entonces \(A\) y \(B\) son independientes.
Definición mediante probabilidad condicional
Si \(P(B)>0\), los eventos \(A\) y \(B\) son independientes cuando:
\[ P(A\mid B)=P(A) \]
También, si \(P(A)>0\), puede verificarse con:
\[ P(B\mid A)=P(B) \]
Criterio del producto
Una forma muy usada para verificar independencia es:
\[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \]
Si esta igualdad se cumple, los eventos son independientes. Si no se cumple, no son independientes.
Independencia no es lo mismo que incompatibilidad
Dos eventos son incompatibles cuando no pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir:
\[ A\cap B=\varnothing \]
En cambio, dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no cambia la probabilidad del otro.
Si \(P(A)>0\) y \(P(B)>0\), dos eventos incompatibles no pueden ser independientes, porque \(P(A\cap B)=0\), pero \(P(A)\cdot P(B)>0\).
Ejemplo 1: eventos independientes en una tabla
Se revisaron \(120\) sensores según si tenían batería alta y si presentaban señal estable.
| Señal estable | Señal inestable | Total | |
|---|---|---|---|
| Batería alta | 30 | 18 | 48 |
| Batería baja o media | 45 | 27 | 72 |
| Total | 75 | 45 | 120 |
Sea:
- \(A\): el sensor tiene batería alta.
- \(B\): el sensor presenta señal estable.
Calculamos primero \(P(A)\):
\[ P(A)=\frac{48}{120}=\frac{2}{5} \]
Ahora calculamos \(P(A\mid B)\). Como la condición es \(B\), el denominador es \(75\):
\[ P(A\mid B)=\frac{30}{75}=\frac{2}{5} \]
Como:
\[ P(A\mid B)=P(A) \]
los eventos \(A\) y \(B\) son independientes.
Ejemplo 2: eventos que no son independientes
Una plataforma revisó \(150\) recursos digitales según si estaban adaptados para celular y si tenían guía descargable.
Se sabe que:
- \(60\) recursos estaban adaptados para celular;
- \(75\) recursos tenían guía descargable;
- \(38\) recursos estaban adaptados para celular y tenían guía descargable.
Sea:
- \(A\): recurso adaptado para celular.
- \(B\): recurso con guía descargable.
Calculamos:
\[ P(A)=\frac{60}{150}=\frac{2}{5} \]
y:
\[ P(A\mid B)=\frac{38}{75} \]
Como:
\[ \frac{38}{75}\neq \frac{2}{5} \]
los eventos no son independientes.
Ejemplo 3: usar el criterio del producto
Para dos eventos \(A\) y \(B\), se sabe que:
\[ P(A)=0{,}35,\qquad P(B)=0{,}60,\qquad P(A\cap B)=0{,}21 \]
Verificamos si se cumple:
\[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \]
Calculamos:
\[ P(A)\cdot P(B)=0{,}35\cdot 0{,}60=0{,}21 \]
Como coincide con \(P(A\cap B)\), los eventos \(A\) y \(B\) son independientes.
Ejemplo 4: eventos incompatibles pero no independientes
En una biblioteca se elige al azar un recurso. Cada recurso está clasificado en una sola categoría: revista, libro, folleto o informe.
Sea:
- \(A\): elegir una revista.
- \(B\): elegir un libro.
Un mismo recurso no puede ser revista y libro al mismo tiempo. Entonces:
\[ A\cap B=\varnothing \]
Por lo tanto, \(A\) y \(B\) son incompatibles.
Pero si hay revistas y también hay libros en la biblioteca, entonces \(P(A)>0\) y \(P(B)>0\). En ese caso:
\[ P(A\cap B)=0 \]
mientras que:
\[ P(A)\cdot P(B)>0 \]
Como no se cumple el criterio del producto, los eventos no son independientes.
Estrategia para verificar independencia
- Identifica los eventos \(A\) y \(B\).
- Calcula \(P(A)\), \(P(B)\) y \(P(A\cap B)\), o bien una probabilidad condicional.
- Compara \(P(A\mid B)\) con \(P(A)\), o usa \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\).
- Si la igualdad se cumple, los eventos son independientes.
- Si la igualdad no se cumple, los eventos no son independientes.
Error común
Decir que dos eventos son independientes porque “son distintos” es incorrecto.
Dos eventos pueden ser distintos y aun así influirse probabilísticamente. La independencia se decide comparando probabilidades, no solo leyendo los nombres de los eventos.
Ejercicios
Ejercicio 1
Se revisaron \(180\) componentes acústicos según si pasaron una prueba de frecuencia y si tenían carcasa reforzada.
| Carcasa reforzada | Carcasa estándar | Total | |
|---|---|---|---|
| Pasó prueba de frecuencia | 30 | 42 | 72 |
| No pasó prueba de frecuencia | 45 | 63 | 108 |
| Total | 75 | 105 | 180 |
Determina si los eventos \(A\): “pasar la prueba de frecuencia” y \(B\): “tener carcasa reforzada” son independientes.
Calculamos primero la probabilidad de pasar la prueba de frecuencia:
\[ P(A)=\frac{72}{180}=\frac{2}{5} \]
Ahora calculamos \(P(A\mid B)\). La condición \(B\) corresponde a tener carcasa reforzada, grupo que tiene \(75\) componentes.
Dentro de esos \(75\), pasaron la prueba de frecuencia \(30\):
\[ P(A\mid B)=\frac{30}{75}=\frac{2}{5} \]
Como:
\[ P(A\mid B)=P(A) \]
los eventos son independientes.
Ejercicio 2
Para dos eventos \(A\) y \(B\), se sabe que:
\[ P(A)=\frac{3}{8},\qquad P(B)=\frac{5}{12},\qquad P(A\cap B)=\frac{5}{32} \]
Determina si \(A\) y \(B\) son independientes.
Usamos el criterio del producto:
\[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \]
Calculamos:
\[ P(A)\cdot P(B)=\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{12}=\frac{15}{96}=\frac{5}{32} \]
Como:
\[ P(A)\cdot P(B)=P(A\cap B) \]
los eventos \(A\) y \(B\) son independientes.
Ejercicio 3
Se registraron \(100\) reservas de salas según si requerían proyector y si fueron solicitadas para la tarde.
| Horario tarde | Horario mañana | Total | |
|---|---|---|---|
| Requiere proyector | 30 | 15 | 45 |
| No requiere proyector | 20 | 35 | 55 |
| Total | 50 | 50 | 100 |
Determina si los eventos \(A\): “requiere proyector” y \(B\): “fue solicitada para la tarde” son independientes.
Calculamos la probabilidad de que una reserva requiera proyector:
\[ P(A)=\frac{45}{100}=\frac{9}{20} \]
Ahora calculamos la probabilidad de que requiera proyector sabiendo que fue solicitada para la tarde:
\[ P(A\mid B)=\frac{30}{50}=\frac{3}{5} \]
Comparamos:
\[ \frac{9}{20}\neq \frac{3}{5} \]
Como \(P(A\mid B)\neq P(A)\), los eventos no son independientes.
Ejercicio 4
En un conjunto de \(12\) rutas turísticas se definen los eventos:
\[ A=\{r_1,r_4,r_6,r_9\} \]
\[ B=\{r_2,r_3,r_7,r_{11}\} \]
Determina si \(A\) y \(B\) son incompatibles, independientes, ambas cosas o ninguna de las dos.
Primero observamos que \(A\) y \(B\) no tienen elementos en común:
\[ A\cap B=\varnothing \]
Por lo tanto, son eventos incompatibles.
Ahora revisamos independencia. Como:
\[ P(A)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} \]
y:
\[ P(B)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} \]
entonces:
\[ P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9} \]
Pero:
\[ P(A\cap B)=0 \]
Como \(0\neq \frac{1}{9}\), los eventos no son independientes.
Conclusión: son incompatibles, pero no independientes.
Ejercicio 5
En una revisión de \(240\) paquetes, \(90\) tienen etiqueta QR y \(128\) tienen embalaje reciclable. Si los eventos \(A\): “tener etiqueta QR” y \(B\): “tener embalaje reciclable” son independientes, calcula cuántos paquetes tienen ambas características.
Como los eventos son independientes, se cumple:
\[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \]
Calculamos:
\[ P(A)=\frac{90}{240} \]
\[ P(B)=\frac{128}{240} \]
Entonces:
\[ P(A\cap B)=\frac{90}{240}\cdot\frac{128}{240} \]
Para obtener la cantidad de paquetes en la intersección, multiplicamos esa probabilidad por \(240\):
\[ |A\cap B|=240\cdot\frac{90}{240}\cdot\frac{128}{240} \]
Simplificando:
\[ |A\cap B|=\frac{90\cdot 128}{240}=48 \]
Por lo tanto, \(48\) paquetes tienen etiqueta QR y embalaje reciclable.
Ejercicio 6
Un contenedor tiene \(4\) placas doradas y \(6\) placas plateadas. Se extraen dos placas.
- Si la extracción es con reposición, determina si los eventos “la primera placa es dorada” y “la segunda placa es dorada” son independientes.
- Si la extracción es sin reposición, determina si esos eventos son independientes.
Sea:
- \(A\): la primera placa es dorada.
- \(B\): la segunda placa es dorada.
Con reposición:
Después de extraer la primera placa, se devuelve al contenedor. Por lo tanto, para la segunda extracción vuelve a haber \(4\) placas doradas de \(10\) placas en total.
\[ P(B)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \]
\[ P(B\mid A)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \]
Como \(P(B\mid A)=P(B)\), los eventos son independientes con reposición.
Sin reposición:
Si la primera placa fue dorada, queda una dorada menos. Entonces quedan \(3\) placas doradas de \(9\) placas en total.
\[ P(B\mid A)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} \]
Pero inicialmente:
\[ P(B)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \]
Como \(\frac{1}{3}\neq \frac{2}{5}\), los eventos no son independientes sin reposición.
Problemas tipo PAES
Problema 1
En una revisión de \(200\) dispositivos de medición, \(80\) tenían firmware actualizado, \(70\) tenían conexión satelital y \(28\) tenían ambas características.
Sea \(A\): “tener firmware actualizado” y \(B\): “tener conexión satelital”. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
A) \(A\) y \(B\) son independientes.
B) \(A\) y \(B\) son incompatibles.
C) \(A\) y \(B\) no son independientes porque \(28\neq 80\).
D) \(A\) y \(B\) son independientes solo si \(80+70=200\).
Calculamos:
\[ P(A)=\frac{80}{200}=\frac{2}{5} \]
También:
\[ P(A\mid B)=\frac{28}{70}=\frac{2}{5} \]
Como:
\[ P(A\mid B)=P(A) \]
los eventos \(A\) y \(B\) son independientes.
La alternativa correcta es A.
Problema 2
Para dos eventos independientes \(A\) y \(B\), se sabe que:
\[ P(A)=0{,}55,\qquad P(B)=0{,}20 \]
¿Cuál es \(P(A\cap B)\)?
A) \(0{,}11\)
B) \(0{,}35\)
C) \(0{,}75\)
D) \(0{,}55\)
Si los eventos son independientes, entonces:
\[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \]
Reemplazamos:
\[ P(A\cap B)=0{,}55\cdot 0{,}20=0{,}11 \]
La alternativa correcta es A.
Problema 3
Dos eventos \(A\) y \(B\) son incompatibles. Además:
\[ P(A)=0{,}30,\qquad P(B)=0{,}40 \]
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
A) Son independientes porque no ocurren al mismo tiempo.
B) No son independientes, porque \(P(A\cap B)=0\) y \(P(A)\cdot P(B)=0{,}12\).
C) Son independientes porque \(P(A)+P(B)<1\).
D) No se puede decidir porque falta conocer el espacio muestral.
Si \(A\) y \(B\) son incompatibles, entonces:
\[ P(A\cap B)=0 \]
Pero:
\[ P(A)\cdot P(B)=0{,}30\cdot 0{,}40=0{,}12 \]
Como:
\[ P(A\cap B)\neq P(A)\cdot P(B) \]
los eventos no son independientes.
La alternativa correcta es B.
Problema 4
En un registro de \(150\) contratos, \(60\) fueron firmados digitalmente, \(90\) tuvieron revisión jurídica y \(45\) fueron firmados digitalmente y tuvieron revisión jurídica.
Sea \(A\): “contrato firmado digitalmente” y \(B\): “contrato con revisión jurídica”. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones permite concluir correctamente si \(A\) y \(B\) son independientes?
A) Son independientes porque \(P(A\mid B)=\frac{45}{90}\) y \(P(A)=\frac{60}{150}\), y ambos valores son iguales.
B) No son independientes porque \(P(A\mid B)=\frac{45}{90}\) y \(P(A)=\frac{60}{150}\), y esos valores son distintos.
C) Son independientes porque \(45\) contratos cumplen ambas condiciones.
D) No son independientes porque \(60+90>150\).
Calculamos:
\[ P(A\mid B)=\frac{45}{90}=\frac{1}{2} \]
y:
\[ P(A)=\frac{60}{150}=\frac{2}{5} \]
Como:
\[ \frac{1}{2}\neq \frac{2}{5} \]
los eventos no son independientes.
La alternativa correcta es B.
Problema 5
En un registro de \(320\) invernaderos, \(128\) usan control automático de temperatura y \(200\) usan monitoreo remoto de humedad.
Si los eventos \(A\): “usar control automático de temperatura” y \(B\): “usar monitoreo remoto de humedad” son independientes, ¿cuántos invernaderos usan ambas tecnologías?
A) \(48\)
B) \(80\)
C) \(128\)
D) \(200\)
Si los eventos son independientes, entonces:
\[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \]
En cantidad de casos:
\[ |A\cap B|=320\cdot \frac{128}{320}\cdot \frac{200}{320} \]
Simplificamos:
\[ |A\cap B|=\frac{128\cdot 200}{320}=80 \]
Por lo tanto, \(80\) invernaderos usan ambas tecnologías.
La alternativa correcta es B.