Probabilidad básica
11. Tablas de contingencia: frecuencias conjuntas
Objetivo de aprendizaje
- Leer e interpretar tablas de contingencia, identificando frecuencias conjuntas, totales por fila, totales por columna y total general.
¿Qué es una tabla de contingencia?
Una tabla de contingencia organiza datos considerando dos características al mismo tiempo.
Por ejemplo, una muestra puede clasificarse según su origen y también según si cumple o no cierta condición. Cada celda interior de la tabla representa una combinación de ambas características.
Frecuencia conjunta
Una frecuencia conjunta corresponde a la cantidad de casos que cumplen dos condiciones simultáneamente.
En una tabla, normalmente se encuentra en las celdas interiores.
Por ejemplo, si una celda indica \(18\), eso puede significar “\(18\) casos cumplen la condición de la fila y la condición de la columna”.
Totales marginales y total general
- Los totales por fila indican cuántos casos pertenecen a cada categoría de la primera característica.
- Los totales por columna indican cuántos casos pertenecen a cada categoría de la segunda característica.
- El total general es la cantidad total de casos observados.
Atención
No confundas una frecuencia conjunta con un total marginal.
Si se pregunta por casos que cumplen dos condiciones a la vez, se debe mirar una celda interior. Si se pregunta por todos los casos de una categoría, se debe mirar un total de fila o columna.
Ejemplo 1: muestras de agua
La siguiente tabla clasifica \(120\) muestras de agua según su origen y si cumplen una norma de calidad.
| Origen | Cumple norma | No cumple norma | Total |
|---|---|---|---|
| Río | 38 | 17 | 55 |
| Pozo | 29 | 11 | 40 |
| Estero | 15 | 10 | 25 |
| Total | 82 | 38 | 120 |
La frecuencia conjunta “muestra de río y cumple norma” es \(38\), porque está en la fila “Río” y la columna “Cumple norma”.
El total de muestras que cumplen norma es \(82\), porque corresponde al total de esa columna.
El total de muestras de pozo es \(40\), porque corresponde al total de esa fila.
Ejemplo 2: leer una frecuencia conjunta
La siguiente tabla clasifica \(96\) piezas textiles según el tipo de fibra y si pasaron una prueba de resistencia.
| Tipo de fibra | Pasó prueba | No pasó prueba | Total |
|---|---|---|---|
| Algodón | 26 | 14 | 40 |
| Lino | 19 | 8 | 27 |
| Lana | 21 | 8 | 29 |
| Total | 66 | 30 | 96 |
Si se pregunta cuántas piezas eran de lino y pasaron la prueba, se busca la intersección entre la fila “Lino” y la columna “Pasó prueba”.
Por lo tanto, la frecuencia conjunta es:
\[ 19 \]
Esto significa que \(19\) piezas textiles eran de lino y pasaron la prueba.
Ejemplo 3: completar una tabla
La siguiente tabla clasifica \(84\) informes según si fueron revisados por pares y si contienen anexos.
| Con anexos | Sin anexos | Total | |
|---|---|---|---|
| Revisado por pares | 31 | 17 | 48 |
| No revisado por pares | 22 | 14 | 36 |
| Total | 53 | 31 | 84 |
Los totales se obtienen sumando filas o columnas.
Por ejemplo, el total de informes con anexos es:
\[ 31+22=53 \]
El total de informes revisados por pares es:
\[ 31+17=48 \]
El total general es:
\[ 48+36=84 \]
Ejemplo 4: calcular probabilidad desde una frecuencia conjunta
La tabla muestra \(150\) observaciones astronómicas según el tipo de objeto observado y si la noche fue despejada.
| Objeto observado | Noche despejada | Noche parcialmente nublada | Total |
|---|---|---|---|
| Planeta | 34 | 16 | 50 |
| Estrella doble | 28 | 22 | 50 |
| Nebulosa | 18 | 32 | 50 |
| Total | 80 | 70 | 150 |
Si se elige una observación al azar, la probabilidad de que corresponda a una nebulosa y a una noche despejada se obtiene usando la frecuencia conjunta \(18\).
Como el total general es \(150\), entonces:
\[ P(\text{nebulosa y noche despejada})=\frac{18}{150}=\frac{3}{25} \]
Estrategia para leer tablas de contingencia
- Identifica qué representa cada fila.
- Identifica qué representa cada columna.
- Para una frecuencia conjunta, busca la celda donde se cruzan la fila y la columna pedidas.
- Para un total por categoría, mira el total de la fila o de la columna.
- Para una probabilidad conjunta, divide la frecuencia conjunta por el total general.
Error común
Si la pregunta dice “y”, normalmente se busca una frecuencia conjunta.
Por ejemplo, “reciclable y de vidrio” corresponde a una celda interior, no al total de reciclables ni al total de objetos de vidrio.
Ejercicios
Ejercicio 1
La siguiente tabla clasifica \(110\) envases según material y si son retornables.
| Material | Retornable | No retornable | Total |
|---|---|---|---|
| Vidrio | 24 | 16 | 40 |
| Aluminio | 18 | 22 | 40 |
| Cartón | 9 | 21 | 30 |
| Total | 51 | 59 | 110 |
Responde:
- ¿Cuántos envases son de aluminio y no retornables?
- ¿Cuántos envases son retornables?
- ¿Cuántos envases son de cartón?
- ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un envase de vidrio y retornable?
La frecuencia conjunta “aluminio y no retornable” está en la fila “Aluminio” y la columna “No retornable”:
\[ 22 \]
El total de envases retornables está en el total de la columna “Retornable”:
\[ 51 \]
El total de envases de cartón está en el total de la fila “Cartón”:
\[ 30 \]
La frecuencia conjunta “vidrio y retornable” es \(24\). Como el total general es \(110\):
\[ P(\text{vidrio y retornable})=\frac{24}{110}=\frac{12}{55} \]
Ejercicio 2
La tabla clasifica \(135\) muestras de suelo según textura y presencia de humedad alta.
| Textura | Humedad alta | Humedad normal | Total |
|---|---|---|---|
| Arenosa | 15 | 30 | 45 |
| Arcillosa | 28 | 22 | 50 |
| Limosa | 16 | 24 | 40 |
| Total | 59 | 76 | 135 |
Identifica dos frecuencias conjuntas y dos totales marginales de la tabla.
Algunos ejemplos de frecuencias conjuntas son:
- \(15\): muestras arenosas con humedad alta.
- \(22\): muestras arcillosas con humedad normal.
- \(16\): muestras limosas con humedad alta.
Algunos ejemplos de totales marginales son:
- \(45\): total de muestras arenosas.
- \(50\): total de muestras arcillosas.
- \(59\): total de muestras con humedad alta.
- \(76\): total de muestras con humedad normal.
Las frecuencias conjuntas están en las celdas interiores; los totales marginales están en los bordes de la tabla.
Ejercicio 3
Completa mentalmente la tabla y responde las preguntas. Se clasificaron \(160\) libros según formato y disponibilidad.
| Formato | Disponible | Prestado | Total |
|---|---|---|---|
| Tapa dura | 34 | 26 | 60 |
| Tapa blanda | 41 | 29 | 70 |
| Edición de bolsillo | 18 | 12 | 30 |
| Total | 160 |
Calcula el total de libros disponibles, el total de libros prestados y la probabilidad de escoger un libro de tapa blanda y prestado.
Sumamos la columna “Disponible”:
\[ 34+41+18=93 \]
Por lo tanto, hay \(93\) libros disponibles.
Sumamos la columna “Prestado”:
\[ 26+29+12=67 \]
Por lo tanto, hay \(67\) libros prestados.
La frecuencia conjunta “tapa blanda y prestado” es \(29\).
Como el total general es \(160\), la probabilidad es:
\[ \frac{29}{160} \]
Ejercicio 4
Una organización clasificó \(200\) donaciones según tipo y destino.
| Tipo de donación | Destino urbano | Destino rural | Total |
|---|---|---|---|
| Alimentos | 38 | 42 | 80 |
| Útiles escolares | 31 | 29 | 60 |
| Ropa de abrigo | 24 | 36 | 60 |
| Total | 93 | 107 | 200 |
Una persona afirma: “La cantidad de donaciones de ropa de abrigo con destino rural es \(107\), porque \(107\) aparece en la columna rural”. ¿Es correcta la afirmación? Justifica.
La afirmación no es correcta.
El número \(107\) corresponde al total de todas las donaciones con destino rural, sin importar el tipo de donación.
La cantidad de donaciones de ropa de abrigo con destino rural se encuentra en la intersección entre la fila “Ropa de abrigo” y la columna “Destino rural”.
Por lo tanto, la frecuencia conjunta correcta es:
\[ 36 \]
El error fue confundir una frecuencia conjunta con un total marginal de columna.
Ejercicio 5
La tabla clasifica \(180\) fotografías de archivo según época y estado de conservación.
| Época | Buen estado | Estado regular | Deteriorada | Total |
|---|---|---|---|---|
| Antes de 1950 | 18 | 24 | 18 | 60 |
| 1950 a 1980 | 32 | 26 | 12 | 70 |
| Después de 1980 | 28 | 16 | 6 | 50 |
| Total | 78 | 66 | 36 | 180 |
Calcula:
- la cantidad de fotografías posteriores a 1980 y en buen estado;
- la cantidad total de fotografías deterioradas;
- la probabilidad de escoger una fotografía de 1950 a 1980 y en estado regular;
- la probabilidad de escoger una fotografía deteriorada.
La frecuencia conjunta “después de 1980 y buen estado” es:
\[ 28 \]
El total de fotografías deterioradas es el total de la columna “Deteriorada”:
\[ 36 \]
La frecuencia conjunta “1950 a 1980 y estado regular” es \(26\). Entonces:
\[ P(\text{1950 a 1980 y regular})=\frac{26}{180}=\frac{13}{90} \]
La probabilidad de escoger una fotografía deteriorada es:
\[ \frac{36}{180}=\frac{1}{5} \]
Ejercicio 6
En una feria tecnológica se clasificaron \(240\) prototipos según área y estado de evaluación.
| Área | Aprobado | En revisión | Rechazado | Total |
|---|---|---|---|---|
| Salud | 35 | 27 | 18 | 80 |
| Energía | 42 | 30 | 8 | 80 |
| Educación | 31 | 25 | 24 | 80 |
| Total | 108 | 82 | 50 | 240 |
Escribe una interpretación contextual para las frecuencias \(30\), \(50\) y \(80\).
El número \(30\) está en la fila “Energía” y la columna “En revisión”. Por lo tanto, significa que \(30\) prototipos del área de energía están en revisión.
El número \(50\) está en el total de la columna “Rechazado”. Por lo tanto, significa que \(50\) prototipos fueron rechazados en total, sin importar el área.
El número \(80\) aparece como total de cada área. Por ejemplo, en la fila “Salud” significa que hay \(80\) prototipos del área de salud en total.
Problemas tipo PAES
Problema 1
La tabla muestra \(300\) atenciones veterinarias según especie y tipo de consulta.
| Especie | Control preventivo | Tratamiento | Urgencia | Total |
|---|---|---|---|---|
| Canino | 58 | 42 | 20 | 120 |
| Felino | 47 | 39 | 14 | 100 |
| Otra especie | 31 | 28 | 21 | 80 |
| Total | 136 | 109 | 55 | 300 |
¿Cuál es la frecuencia conjunta de atenciones de felinos por tratamiento?
A) \(39\)
B) \(100\)
C) \(109\)
D) \(300\)
La frecuencia conjunta se encuentra en la celda donde se cruzan la fila “Felino” y la columna “Tratamiento”.
Esa celda contiene el valor:
\[ 39 \]
La alternativa correcta es A.
Problema 2
La siguiente tabla clasifica \(250\) piezas de cerámica según acabado y tamaño.
| Acabado | Pequeña | Mediana | Grande | Total |
|---|---|---|---|---|
| Mate | 32 | 41 | 27 | 100 |
| Brillante | 28 | 36 | 26 | 90 |
| Texturizado | 18 | 22 | 20 | 60 |
| Total | 78 | 99 | 73 | 250 |
Si se escoge una pieza al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga acabado brillante y sea grande?
A) \(\frac{26}{250}\)
B) \(\frac{90}{250}\)
C) \(\frac{73}{250}\)
D) \(\frac{116}{250}\)
La condición “brillante y grande” corresponde a una frecuencia conjunta.
En la fila “Brillante” y la columna “Grande” aparece:
\[ 26 \]
Como el total general es \(250\), la probabilidad es:
\[ \frac{26}{250} \]
La alternativa correcta es A.
Problema 3
La tabla resume \(180\) solicitudes de permisos según canal de ingreso y estado.
| Canal | Aprobada | Pendiente | Rechazada | Total |
|---|---|---|---|---|
| Presencial | 29 | 21 | 10 | 60 |
| Web | 46 | 28 | 16 | 90 |
| Correo | 13 | 11 | 6 | 30 |
| Total | 88 | 60 | 32 | 180 |
¿Qué representa el número \(60\) ubicado en el total de la columna “Pendiente”?
A) Las solicitudes web pendientes.
B) Todas las solicitudes pendientes, sin importar el canal.
C) Todas las solicitudes presenciales.
D) Las solicitudes pendientes y rechazadas.
El número \(60\) está en el total de la columna “Pendiente”.
Por lo tanto, representa todas las solicitudes pendientes, sin distinguir si ingresaron por canal presencial, web o correo.
La alternativa correcta es B.
Problema 4
La tabla clasifica \(144\) instrumentos musicales según familia y condición.
| Familia | Nuevo | Usado | En reparación | Total |
|---|---|---|---|---|
| Cuerda | 24 | 18 | 6 | 48 |
| Viento | 20 | 22 | 6 | 48 |
| Percusión | 16 | 14 | 18 | 48 |
| Total | 60 | 54 | 30 | 144 |
¿Cuál de las siguientes interpretaciones es correcta?
A) Hay \(54\) instrumentos usados en total.
B) Hay \(54\) instrumentos de viento usados.
C) Hay \(30\) instrumentos de percusión en reparación.
D) Hay \(48\) instrumentos nuevos en total.
El número \(54\) aparece como total de la columna “Usado”.
Eso significa que hay \(54\) instrumentos usados en total, considerando todas las familias.
La alternativa correcta es A.
La opción B es incorrecta porque los instrumentos de viento usados son \(22\). La opción C es incorrecta porque los instrumentos de percusión en reparación son \(18\). La opción D es incorrecta porque el total de instrumentos nuevos es \(60\).
Problema 5
Una tabla de contingencia clasifica \(N\) casos según dos características. Se sabe que una frecuencia conjunta es \(36\) y que el total general es \(180\). ¿Cuál es la probabilidad asociada a esa frecuencia conjunta?
A) \(\frac{36}{180}\)
B) \(\frac{180}{36}\)
C) \(36+180\)
D) \(180-36\)
Para calcular la probabilidad asociada a una frecuencia conjunta, se divide esa frecuencia por el total general.
Por lo tanto:
\[ P=\frac{36}{180}=\frac{1}{5} \]
La alternativa correcta es A.