Libro de funciones potencias y trigonometricas
8. Razones trigonométricas y ángulos notables
Objetivo de aprendizaje
- Reconocer y aplicar las razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
- Construir los valores de seno, coseno y tangente en los ángulos notables.
- Usar razones recíprocas para obtener cotangente, secante y cosecante.
Razones trigonométricas
En un triángulo rectángulo, respecto de un ángulo agudo \(\alpha\), se definen:
\[ \operatorname{sen}(\alpha)=\frac{CO}{hip} \qquad \cos(\alpha)=\frac{CA}{hip} \qquad \tan(\alpha)=\frac{CO}{CA} \]
\[ \operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{CA}{CO} \qquad \sec(\alpha)=\frac{hip}{CA} \qquad \csc(\alpha)=\frac{hip}{CO} \]
- \(CO\): cateto opuesto al ángulo \(\alpha\).
- \(CA\): cateto adyacente al ángulo \(\alpha\).
- \(hip\): hipotenusa.
En el diagrama, si el ángulo de referencia es el ángulo en \(A\), entonces el lado horizontal es el cateto adyacente, el lado vertical es el cateto opuesto y el lado inclinado es la hipotenusa.
Razones trigonométricas recíprocas
La cotangente, la secante y la cosecante se obtienen como inversos multiplicativos:
\[ \operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{1}{\tan(\alpha)} \qquad \sec(\alpha)=\frac{1}{\cos(\alpha)} \qquad \csc(\alpha)=\frac{1}{\operatorname{sen}(\alpha)} \]
Es decir, cuando la razón existe y no es cero, basta con invertir numerador y denominador.
Atención
El cateto opuesto y el cateto adyacente dependen del ángulo que se esté observando. Si cambia el ángulo de referencia, también cambian \(CO\) y \(CA\).
Truco para construir la tabla de ángulos notables
Para los ángulos \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) y \(90^\circ\), el seno se construye usando raíces desde \(0\) hasta \(4\), siempre dividido por \(2\):
\[ \operatorname{sen}(\alpha): \frac{\sqrt{0}}{2},\; \frac{\sqrt{1}}{2},\; \frac{\sqrt{2}}{2},\; \frac{\sqrt{3}}{2},\; \frac{\sqrt{4}}{2} \]
El coseno se construye al revés, desde \(\sqrt{4}\) hasta \(\sqrt{0}\), también dividido por \(2\):
\[ \cos(\alpha): \frac{\sqrt{4}}{2},\; \frac{\sqrt{3}}{2},\; \frac{\sqrt{2}}{2},\; \frac{\sqrt{1}}{2},\; \frac{\sqrt{0}}{2} \]
Luego, la tangente se obtiene dividiendo seno por coseno:
\[ \tan(\alpha)=\frac{\operatorname{sen}(\alpha)}{\cos(\alpha)} \]
Construcción de la tabla
| \(\alpha\) | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\operatorname{sen}(\alpha)\) | \(\frac{\sqrt{0}}{2}=0\) | \(\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{4}}{2}=1\) |
| \(\cos(\alpha)\) | \(\frac{\sqrt{4}}{2}=1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{0}}{2}=0\) |
| \(\tan(\alpha)=\frac{\operatorname{sen}(\alpha)}{\cos(\alpha)}\) | \(0\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | No existe |
Tabla de ángulos notables
| \(\alpha\) | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\operatorname{sen}(\alpha)\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) |
| \(\cos(\alpha)\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\tan(\alpha)\) | \(0\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | No existe |
| \(\operatorname{ctg}(\alpha)\) | No existe | \(\sqrt{3}\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(0\) |
| \(\sec(\alpha)\) | \(1\) | \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) | \(\sqrt{2}\) | \(2\) | No existe |
| \(\csc(\alpha)\) | No existe | \(2\) | \(\sqrt{2}\) | \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) |
Ejemplo 1: razones trigonométricas a partir de los lados
En un triángulo rectángulo, respecto de un ángulo agudo \(\alpha\), se sabe que:
\[ CO=5,\qquad CA=12,\qquad hip=13 \]
Calculemos \(\operatorname{sen}(\alpha)\), \(\cos(\alpha)\), \(\tan(\alpha)\), \(\operatorname{ctg}(\alpha)\), \(\sec(\alpha)\) y \(\csc(\alpha)\).
Aplicamos directamente las definiciones de las razones trigonométricas:
\[ \operatorname{sen}(\alpha)=\frac{CO}{hip}=\frac{5}{13} \]
\[ \cos(\alpha)=\frac{CA}{hip}=\frac{12}{13} \]
\[ \tan(\alpha)=\frac{CO}{CA}=\frac{5}{12} \]
Ahora calculamos las razones recíprocas:
\[ \operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{CA}{CO}=\frac{12}{5} \]
\[ \sec(\alpha)=\frac{hip}{CA}=\frac{13}{12} \]
\[ \csc(\alpha)=\frac{hip}{CO}=\frac{13}{5} \]
Por lo tanto:
\[ \operatorname{sen}(\alpha)=\frac{5}{13},\qquad \cos(\alpha)=\frac{12}{13},\qquad \tan(\alpha)=\frac{5}{12} \]
\[ \operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{12}{5},\qquad \sec(\alpha)=\frac{13}{12},\qquad \csc(\alpha)=\frac{13}{5} \]
Ejemplo 2: uso de razones recíprocas
Calculemos \(\sec(30^\circ)\), \(\csc(60^\circ)\) y \(\operatorname{ctg}(45^\circ)\).
Como \(\sec(\alpha)\) es el inverso multiplicativo de \(\cos(\alpha)\):
\[ \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad \sec(30^\circ)=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3} \]
Como \(\csc(\alpha)\) es el inverso multiplicativo de \(\operatorname{sen}(\alpha)\):
\[ \operatorname{sen}(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad \csc(60^\circ)=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3} \]
Como \(\operatorname{ctg}(\alpha)\) es el inverso multiplicativo de \(\tan(\alpha)\):
\[ \tan(45^\circ)=1 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{ctg}(45^\circ)=\frac{1}{1}=1 \]
Ejercicios
Ejercicio 1
En un triángulo rectángulo, respecto de un ángulo \(\alpha\), se sabe que \(CO=6\), \(CA=8\) y \(hip=10\). Calcula \(\operatorname{sen}(\alpha)\), \(\cos(\alpha)\) y \(\tan(\alpha)\).
Aplicamos directamente las definiciones:
\[ \operatorname{sen}(\alpha)=\frac{CO}{hip}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5} \]
\[ \cos(\alpha)=\frac{CA}{hip}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5} \]
\[ \tan(\alpha)=\frac{CO}{CA}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4} \]
Por lo tanto:
\[ \operatorname{sen}(\alpha)=\frac{3}{5},\qquad \cos(\alpha)=\frac{4}{5},\qquad \tan(\alpha)=\frac{3}{4} \]
Ejercicio 2
Usa el truco de las raíces para determinar \(\operatorname{sen}(60^\circ)\), \(\cos(60^\circ)\) y \(\tan(60^\circ)\).
El orden de los ángulos es:
\[ 0^\circ,\;30^\circ,\;45^\circ,\;60^\circ,\;90^\circ \]
Para el seno se usan las raíces desde \(0\) hasta \(4\):
\[ \frac{\sqrt{0}}{2},\; \frac{\sqrt{1}}{2},\; \frac{\sqrt{2}}{2},\; \frac{\sqrt{3}}{2},\; \frac{\sqrt{4}}{2} \]
Como \(60^\circ\) está en el cuarto lugar:
\[ \operatorname{sen}(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Para el coseno se usa el orden contrario:
\[ \frac{\sqrt{4}}{2},\; \frac{\sqrt{3}}{2},\; \frac{\sqrt{2}}{2},\; \frac{\sqrt{1}}{2},\; \frac{\sqrt{0}}{2} \]
Entonces:
\[ \cos(60^\circ)=\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2} \]
Finalmente:
\[ \tan(60^\circ)=\frac{\operatorname{sen}(60^\circ)}{\cos(60^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \]
Ejercicio 3
Usa las razones recíprocas para calcular \(\operatorname{ctg}(30^\circ)\), \(\sec(60^\circ)\) y \(\csc(30^\circ)\).
Primero, usamos la cotangente como inverso multiplicativo de la tangente:
\[ \tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3} \quad \Rightarrow \quad \operatorname{ctg}(30^\circ)=\frac{3}{\sqrt{3}} \]
Racionalizando:
\[ \frac{3}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \]
Luego, usamos la secante como inverso multiplicativo del coseno:
\[ \cos(60^\circ)=\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \sec(60^\circ)=\frac{2}{1}=2 \]
Finalmente, usamos la cosecante como inverso multiplicativo del seno:
\[ \operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \csc(30^\circ)=\frac{2}{1}=2 \]
Por lo tanto:
\[ \operatorname{ctg}(30^\circ)=\sqrt{3},\qquad \sec(60^\circ)=2,\qquad \csc(30^\circ)=2 \]
Ejercicio 4
Calcula el valor exacto de la expresión:
\[ 2\operatorname{sen}(30^\circ)+\cos(60^\circ) \]
De la tabla de ángulos notables:
\[ \operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{1}{2} \qquad \cos(60^\circ)=\frac{1}{2} \]
Reemplazamos:
\[ 2\operatorname{sen}(30^\circ)+\cos(60^\circ) = 2\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \]
\[ =1+\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]
El valor exacto de la expresión es \(\frac{3}{2}\).
Ejercicio 5
Calcula el valor exacto de:
\[ \tan(60^\circ)-\operatorname{ctg}(30^\circ) \]
De la tabla:
\[ \tan(60^\circ)=\sqrt{3} \qquad \operatorname{ctg}(30^\circ)=\sqrt{3} \]
Entonces:
\[ \tan(60^\circ)-\operatorname{ctg}(30^\circ) = \sqrt{3}-\sqrt{3} = 0 \]
El valor exacto es \(0\).
Ejercicio 6
Determina cuál de las siguientes razones trigonométricas no existe:
\[ \tan(90^\circ),\qquad \cos(90^\circ),\qquad \operatorname{sen}(90^\circ) \]
De la tabla:
\[ \cos(90^\circ)=0 \qquad \operatorname{sen}(90^\circ)=1 \]
La tangente se define como:
\[ \tan(\alpha)=\frac{\operatorname{sen}(\alpha)}{\cos(\alpha)} \]
Para \(90^\circ\):
\[ \tan(90^\circ)=\frac{\operatorname{sen}(90^\circ)}{\cos(90^\circ)} = \frac{1}{0} \]
Como no se puede dividir por cero, \(\tan(90^\circ)\) no existe.
Aplicaciones de razones trigonométricas en altura y distancia
Objetivo de aprendizaje
- Modelar situaciones de altura y distancia mediante triángulos rectángulos.
- Elegir la razón trigonométrica adecuada según los datos disponibles.
- Resolver problemas usando valores exactos de ángulos notables.
Elección de la razón trigonométrica
Para resolver problemas de altura y distancia, primero se identifica qué lados del triángulo rectángulo aparecen en el problema.
\[ \operatorname{sen}(\alpha)=\frac{CO}{hip} \qquad \cos(\alpha)=\frac{CA}{hip} \qquad \tan(\alpha)=\frac{CO}{CA} \]
Estrategia
- Dibuja o imagina el triángulo rectángulo.
- Ubica el ángulo de referencia.
- Identifica el cateto opuesto, el cateto adyacente y la hipotenusa.
- Elige seno, coseno o tangente según los lados conocidos.
- Reemplaza los datos y despeja la incógnita.
Ejemplo: altura de un árbol
Desde un punto ubicado a \(15\) metros de la base de un árbol se observa su parte superior con un ángulo de elevación de \(30^\circ\). ¿Cuánto mide su altura?
La altura del árbol corresponde al cateto opuesto y la distancia al árbol corresponde al cateto adyacente.
Usamos la tangente:
\[ \tan(30^\circ)=\frac{CO}{CA} \]
Como \(\tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3}\), se tiene:
\[ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{15} \]
Multiplicando por \(15\):
\[ x=15\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3} \]
Por lo tanto, la altura del árbol es:
\[ 5\sqrt{3}\text{ m} \]
Ejercicios
Ejercicio 1
Desde un punto ubicado a \(20\) metros de la base de un poste, se observa su parte superior con un ángulo de elevación de \(45^\circ\). ¿Cuál es la altura del poste?
La altura del poste es el cateto opuesto y la distancia al poste es el cateto adyacente.
Usamos la tangente:
\[ \tan(45^\circ)=\frac{CO}{CA} \]
Como \(\tan(45^\circ)=1\), entonces:
\[ 1=\frac{x}{20} \]
Multiplicando por \(20\):
\[ x=20 \]
Por lo tanto, la altura del poste es \(20\) metros.
Ejercicio 2
Una escalera de \(10\) metros está apoyada en una pared y forma un ángulo de \(60^\circ\) con el suelo. ¿A qué altura de la pared llega la escalera?
La escalera corresponde a la hipotenusa y la altura en la pared corresponde al cateto opuesto al ángulo de \(60^\circ\).
Usamos el seno:
\[ \operatorname{sen}(60^\circ)=\frac{CO}{hip} \]
Como \(\operatorname{sen}(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\), se tiene:
\[ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x}{10} \]
Multiplicando por \(10\):
\[ x=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3} \]
Por lo tanto, la escalera llega a una altura de \(5\sqrt{3}\) metros.