Funciones potencias y trigonométricas
1. Introducción a modelos de crecimiento y decrecimiento con función potencia de exponente entero
Introducción a modelos de crecimiento y decrecimiento con función potencia de exponente entero
Comenzamos una nueva unidad, en la que estudiaremos modelos matemáticos que permiten describir cómo cambian ciertas cantidades.
En esta primera página trabajaremos con la función potencia de exponente entero, que aparece en muchas situaciones reales: áreas, volúmenes, tiempos de trabajo, intensidad de luz y otras relaciones entre magnitudes.
La idea central será reconocer cuándo una situación puede modelarse mediante una expresión del tipo:
\[ f(x)=a\cdot x^n \]
donde \(a\) es una constante y \(n\) es un número entero.
Objetivo de la página
- Reconocer la forma general de una función potencia de exponente entero.
- Interpretar situaciones de crecimiento y decrecimiento modeladas con funciones potencia.
- Distinguir entre exponentes enteros positivos y negativos en contextos sencillos.
- Relacionar un modelo algebraico con una situación real.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Reconocer si una relación puede representarse con una función potencia.
- Escribir modelos sencillos del tipo \(f(x)=a\cdot x^n\).
- Calcular valores a partir de una función potencia.
- Interpretar si un modelo describe crecimiento o decrecimiento.
Una función potencia de exponente entero tiene la forma:
\[ f(x)=a\cdot x^n \]
donde:
- \(a\) es una constante distinta de 0,
- \(x\) es la variable,
- \(n\) es un número entero.
Ejemplos:
- \(f(x)=2x^2\)
- \(f(x)=5x^3\)
- \(f(x)=12x^{-1}\)
- \(f(x)=3x^{-2}\)
Si \(n\) es positivo, la función suele modelar situaciones de crecimiento cuando \(x>0\).
Por ejemplo:
\[ x^2,\quad x^3 \]
Si \(n\) es negativo, la función puede escribirse como una fracción y suele modelar situaciones de decrecimiento cuando \(x>0\).
Por ejemplo:
\[ x^{-1}=\frac{1}{x}, \qquad x^{-2}=\frac{1}{x^2} \]
Las funciones potencia no describen siempre el mismo tipo de cambio. Con exponente positivo pueden crecer muy rápido, y con exponente negativo pueden disminuir a medida que la variable aumenta.
No confundas una función potencia como \(x^2\) con una función lineal como \(2x\), ni con una exponencial como \(2^x\). Aunque se parezcan en la escritura, describen comportamientos distintos.
Resumen de modelos frecuentes
| Modelo | Tipo de exponente | Comportamiento para \(x>0\) | Ejemplo de contexto |
|---|---|---|---|
| \(x^2\) | Positivo | Crecimiento | Área de un cuadrado según su lado |
| \(x^3\) | Positivo | Crecimiento | Volumen de un cubo según su arista |
| \(x^{-1}\) | Negativo | Decrecimiento | Tiempo de trabajo según número de trabajadores, en un modelo simple |
| \(x^{-2}\) | Negativo | Decrecimiento | Intensidad de una magnitud según distancia, en modelos simplificados |
Ejemplo guiado 1: área de un cuadrado
Si un cuadrado tiene lado \(l\), entonces su área se calcula como:
\[ A(l)=l^2 \]
Este es un modelo de función potencia, porque tiene la forma \(x^n\) con exponente entero positivo.
Por ejemplo:
| Lado \(l\) | Área \(A(l)\) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 4 | 16 |
Se observa que, al aumentar el lado, el área crece.
Ejemplo guiado 2: volumen de un cubo
Si un cubo tiene arista \(a\), entonces su volumen se calcula como:
\[ V(a)=a^3 \]
También es una función potencia con exponente entero positivo.
Por ejemplo:
| Arista \(a\) | Volumen \(V(a)\) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 8 |
| 3 | 27 |
El volumen crece aún más rápido que en el caso cuadrático.
Ejemplo guiado 3: tiempo de trabajo en un modelo simple
Supón que una tarea tarda 24 horas si la realiza una sola persona y que el tiempo disminuye de forma inversamente proporcional al número de trabajadores \(n\).
Entonces:
\[ T(n)=\frac{24}{n}=24n^{-1} \]
Este también es un modelo de función potencia, pero ahora con exponente entero negativo.
Por ejemplo:
| Trabajadores \(n\) | Tiempo \(T(n)\) |
|---|---|
| 1 | 24 |
| 2 | 12 |
| 3 | 8 |
| 4 | 6 |
A medida que aumenta la cantidad de trabajadores, el tiempo disminuye.
Una buena pista es observar si la variable aparece elevada a un exponente entero, como \(x^2\), \(x^3\), \(x^{-1}\) o \(x^{-2}\). En contextos reales, esto suele ir acompañado de cambios que no son lineales.
Las funciones potencia permiten modelar áreas, volúmenes, relaciones inversas entre tiempo y cantidad de personas, y otras situaciones donde una magnitud cambia de manera no lineal. Por eso son una herramienta muy útil para describir fenómenos reales.
Ejercicios
Ejercicio 1
Indica cuáles de las siguientes expresiones corresponden a funciones potencia de exponente entero:
- \(f(x)=3x^2\)
- \(g(x)=2^x\)
- \(h(x)=5x^{-1}\)
- \(p(x)=4x+1\)
Corresponden a funciones potencia de exponente entero:
- \(f(x)=3x^2\)
- \(h(x)=5x^{-1}\)
No corresponden:
- \(g(x)=2^x\), porque es exponencial.
- \(p(x)=4x+1\), porque no tiene la forma \(a\cdot x^n\).
Ejercicio 2
El área de un cuadrado depende de la medida de su lado \(l\).
- Escribe la función que modela esta situación.
- Calcula el área si \(l=5\).
- Indica si el modelo representa crecimiento o decrecimiento.
a)
\[ A(l)=l^2 \]
b)
\[ A(5)=5^2=25 \]
c) Representa crecimiento, porque al aumentar \(l\), el área aumenta.
Ejercicio 3
El volumen de un cubo depende de la medida de su arista \(a\).
- Escribe la función que modela esta situación.
- Calcula el volumen si \(a=4\).
- Calcula el volumen si \(a=2\).
a)
\[ V(a)=a^3 \]
b)
\[ V(4)=4^3=64 \]
c)
\[ V(2)=2^3=8 \]
Ejercicio 4
Una tarea se modela por la función:
\[ T(n)=\frac{18}{n}=18n^{-1} \]
- Calcula \(T(1)\), \(T(2)\) y \(T(6)\).
- Indica si la función representa crecimiento o decrecimiento.
- Interpreta el resultado en contexto.
a)
\[ T(1)=18,\qquad T(2)=9,\qquad T(6)=3 \]
b) Representa decrecimiento.
c) A medida que aumenta el número de trabajadores, el tiempo necesario para completar la tarea disminuye.
Ejercicio 5
Completa la tabla para la función:
\[ f(x)=x^2 \]
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| 1 | ? |
| 2 | ? |
| 3 | ? |
| 5 | ? |
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 5 | 25 |
Ejercicio 6
Completa la tabla para la función:
\[ g(x)=\frac{12}{x}=12x^{-1} \]
| \(x\) | \(g(x)\) |
|---|---|
| 1 | ? |
| 2 | ? |
| 3 | ? |
| 6 | ? |
| \(x\) | \(g(x)\) |
|---|---|
| 1 | 12 |
| 2 | 6 |
| 3 | 4 |
| 6 | 2 |
Ejercicio 7
Para \(x>0\), compara el comportamiento de estas dos funciones:
\[ f(x)=x^2 \qquad\text{y}\qquad g(x)=x^{-1} \]
Redacta una diferencia importante entre ambas.
Una diferencia importante es que \(f(x)=x^2\) crece cuando \(x\) aumenta, mientras que \(g(x)=x^{-1}\) disminuye cuando \(x\) aumenta, para \(x>0\).
Ejercicio 8
Un estudiante afirma: “Si una función es de potencia, entonces cuando \(x\) se duplica, el valor de la función siempre se duplica”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica con un ejemplo.
No, la afirmación es incorrecta.
Por ejemplo, si \(f(x)=x^2\), entonces:
\[ f(2)=4 \]
y
\[ f(4)=16 \]
Aquí \(x\) se duplicó de 2 a 4, pero el valor de la función pasó de 4 a 16, no solo al doble.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a una función potencia de exponente entero?
- \(f(x)=3x^2\)
- \(f(x)=2^x\)
- \(f(x)=x+2\)
- \(f(x)=\sqrt{x}+1\)
La expresión correcta es:
\[ f(x)=3x^2 \]
Alternativa correcta: a
PAES 2
Si \(f(x)=x^3\), entonces \(f(2)\) es:
- 4
- 6
- 8
- 9
\[ f(2)=2^3=8 \]
Alternativa correcta: c
PAES 3
¿Cuál de las siguientes funciones representa un modelo de decrecimiento para \(x>0\)?
- \(f(x)=x^2\)
- \(f(x)=x^3\)
- \(f(x)=5x^{-1}\)
- \(f(x)=2x\)
Para \(x>0\), la función que decrece es:
\[ f(x)=5x^{-1} \]
Alternativa correcta: c
PAES 4
La expresión \(x^{-1}\) equivale a:
- \(-x\)
- \(\frac{1}{x}\)
- \(x+1\)
- \(\frac{x}{1}\)
\[ x^{-1}=\frac{1}{x} \]
Alternativa correcta: b
Cierre
En esta página comenzamos el estudio de las funciones potencia de exponente entero. Vimos que pueden modelar tanto crecimiento como decrecimiento, según el tipo de exponente y el contexto en que se usen.
En la siguiente página avanzaremos con la lectura y construcción de tablas para funciones potencia, para observar con más detalle cómo cambian sus valores.
- Una función potencia tiene la forma \(f(x)=a\cdot x^n\).
- Si \(n\) es positivo, suele modelar crecimiento para \(x>0\).
- Si \(n\) es negativo, puede modelar decrecimiento para \(x>0\).
- No toda función que tiene una \(x\) es una función potencia.