Libro de funciones potencias y trigonometricas
9. Aplicaciones de razones trigonométricas en altura y distancia
Objetivo de aprendizaje
- Modelar situaciones de altura y distancia mediante triángulos rectángulos.
- Elegir la razón trigonométrica adecuada según los datos disponibles.
- Resolver problemas usando valores exactos de ángulos notables.
Elección de la razón trigonométrica
Para resolver problemas de altura y distancia, primero se identifica qué lados del triángulo rectángulo aparecen en el problema.
\[ \operatorname{sen}(\alpha)=\frac{CO}{hip} \qquad \cos(\alpha)=\frac{CA}{hip} \qquad \tan(\alpha)=\frac{CO}{CA} \]
Valores exactos de ángulos notables
| Ángulo | \(\operatorname{sen}\) | \(\cos\) | \(\tan\) |
|---|---|---|---|
| \(30^\circ\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| \(45^\circ\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) |
| \(60^\circ\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |
Estrategia
- Dibuja o imagina el triángulo rectángulo.
- Ubica el ángulo de referencia.
- Identifica el cateto opuesto, el cateto adyacente y la hipotenusa.
- Elige seno, coseno o tangente según los lados conocidos.
- Reemplaza los datos y despeja la incógnita.
Atención
El ángulo de elevación se mide desde la línea horizontal hacia arriba. El ángulo de depresión se mide desde la línea horizontal hacia abajo.
Cuando las líneas horizontales son paralelas, el ángulo de depresión desde un punto alto coincide con el ángulo de elevación desde el punto bajo.
Ejemplo: altura de un árbol
Desde un punto ubicado a \(15\) metros de la base de un árbol se observa su parte superior con un ángulo de elevación de \(30^\circ\). ¿Cuánto mide su altura?
La altura del árbol corresponde al cateto opuesto y la distancia al árbol corresponde al cateto adyacente.
Usamos la tangente:
\[ \tan(30^\circ)=\frac{CO}{CA} \]
Como \(\tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3}\), se tiene:
\[ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{15} \]
Multiplicando por \(15\):
\[ x=15\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3} \]
Por lo tanto, la altura del árbol es:
\[ 5\sqrt{3}\text{ m} \]
Ejemplo: distancia a la base de un edificio
Desde un punto en el suelo se observa la parte superior de un edificio de \(24\) metros con un ángulo de elevación de \(60^\circ\). ¿A qué distancia de la base del edificio está el punto de observación?
La altura del edificio es el cateto opuesto y la distancia buscada es el cateto adyacente.
Usamos la tangente:
\[ \tan(60^\circ)=\frac{CO}{CA} \]
Como \(\tan(60^\circ)=\sqrt{3}\), se obtiene:
\[ \sqrt{3}=\frac{24}{x} \]
Multiplicando por \(x\):
\[ x\sqrt{3}=24 \]
Dividiendo por \(\sqrt{3}\):
\[ x=\frac{24}{\sqrt{3}} \]
Racionalizando:
\[ x=\frac{24\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3} \]
Por lo tanto, el punto de observación está a \(8\sqrt{3}\) metros de la base del edificio.
Ejemplo: largo de una escalera
Una escalera llega a una altura de \(6\sqrt{2}\) metros en una pared y forma un ángulo de \(45^\circ\) con el suelo. ¿Cuál es el largo de la escalera?
La altura corresponde al cateto opuesto y la escalera corresponde a la hipotenusa.
Usamos el seno:
\[ \operatorname{sen}(45^\circ)=\frac{CO}{hip} \]
Como \(\operatorname{sen}(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}\), se tiene:
\[ \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{x} \]
Multiplicando por \(x\):
\[ x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2} \]
Multiplicando por \(2\):
\[ x\sqrt{2}=12\sqrt{2} \]
Dividiendo por \(\sqrt{2}\):
\[ x=12 \]
Por lo tanto, la escalera mide \(12\) metros.
Ejemplo: altura considerando la estatura del observador
Una persona observa la parte superior de una torre con un ángulo de elevación de \(45^\circ\). Sus ojos están a \(1{,}6\) metros del suelo y se encuentra a \(18\) metros de la base de la torre. ¿Cuál es la altura total de la torre?
Primero se calcula la altura desde el nivel de los ojos hasta la parte superior de la torre.
Ese tramo vertical es el cateto opuesto y la distancia horizontal es el cateto adyacente.
Usamos la tangente:
\[ \tan(45^\circ)=\frac{x}{18} \]
Como \(\tan(45^\circ)=1\), entonces:
\[ 1=\frac{x}{18} \]
Por lo tanto:
\[ x=18 \]
La torre mide \(18\) metros sobre el nivel de los ojos. Como los ojos están a \(1{,}6\) metros del suelo:
\[ 18+1{,}6=19{,}6 \]
Por lo tanto, la altura total de la torre es \(19{,}6\) metros.
Ejercicios
Ejercicio 1
Desde un punto ubicado a \(20\) metros de la base de un poste, se observa su parte superior con un ángulo de elevación de \(45^\circ\). ¿Cuál es la altura del poste?
La altura del poste es el cateto opuesto y la distancia al poste es el cateto adyacente.
Usamos la tangente:
\[ \tan(45^\circ)=\frac{CO}{CA} \]
Como \(\tan(45^\circ)=1\), entonces:
\[ 1=\frac{x}{20} \]
Multiplicando por \(20\):
\[ x=20 \]
Por lo tanto, la altura del poste es \(20\) metros.
Ejercicio 2
Una escalera de \(10\) metros está apoyada en una pared y forma un ángulo de \(60^\circ\) con el suelo. ¿A qué altura de la pared llega la escalera?
La escalera corresponde a la hipotenusa y la altura en la pared corresponde al cateto opuesto al ángulo de \(60^\circ\).
Usamos el seno:
\[ \operatorname{sen}(60^\circ)=\frac{CO}{hip} \]
Como \(\operatorname{sen}(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\), se tiene:
\[ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x}{10} \]
Multiplicando por \(10\):
\[ x=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3} \]
Por lo tanto, la escalera llega a una altura de \(5\sqrt{3}\) metros.
Ejercicio 3
Desde un punto ubicado a \(12\) metros de la base de una torre, se observa su parte superior con un ángulo de elevación de \(60^\circ\). ¿Cuál es la altura de la torre?
La altura de la torre es el cateto opuesto y la distancia horizontal es el cateto adyacente.
Usamos la tangente:
\[ \tan(60^\circ)=\frac{x}{12} \]
Como \(\tan(60^\circ)=\sqrt{3}\), entonces:
\[ \sqrt{3}=\frac{x}{12} \]
Multiplicando por \(12\):
\[ x=12\sqrt{3} \]
Por lo tanto, la altura de la torre es \(12\sqrt{3}\) metros.
Ejercicio 4
Un volantín está sujeto por un hilo de \(40\) metros. Si el hilo forma un ángulo de \(30^\circ\) con el suelo, ¿a qué altura se encuentra el volantín?
El hilo corresponde a la hipotenusa y la altura corresponde al cateto opuesto al ángulo de \(30^\circ\).
Usamos el seno:
\[ \operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{x}{40} \]
Como \(\operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{1}{2}\), se tiene:
\[ \frac{1}{2}=\frac{x}{40} \]
Multiplicando por \(40\):
\[ x=40\cdot \frac{1}{2}=20 \]
Por lo tanto, el volantín se encuentra a \(20\) metros de altura.
Ejercicio 5
Una rampa mide \(8\) metros y forma un ángulo de \(30^\circ\) con el suelo. ¿Qué altura alcanza la rampa?
La rampa corresponde a la hipotenusa y la altura corresponde al cateto opuesto.
Usamos el seno:
\[ \operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{x}{8} \]
Como \(\operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{1}{2}\), entonces:
\[ \frac{1}{2}=\frac{x}{8} \]
Multiplicando por \(8\):
\[ x=4 \]
Por lo tanto, la rampa alcanza una altura de \(4\) metros.
Ejercicio 6
Desde la parte superior de un faro de \(30\) metros se observa una embarcación con un ángulo de depresión de \(45^\circ\). ¿A qué distancia horizontal está la embarcación de la base del faro?
El ángulo de depresión de \(45^\circ\) coincide con el ángulo de elevación desde la embarcación hacia la parte superior del faro.
La altura del faro es el cateto opuesto y la distancia horizontal es el cateto adyacente.
Usamos la tangente:
\[ \tan(45^\circ)=\frac{30}{x} \]
Como \(\tan(45^\circ)=1\), se tiene:
\[ 1=\frac{30}{x} \]
Multiplicando por \(x\):
\[ x=30 \]
Por lo tanto, la embarcación está a \(30\) metros de la base del faro.
Ejercicio 7
Un cable sostiene un poste y está anclado al suelo a \(9\) metros de la base. Si el cable forma un ángulo de \(60^\circ\) con el suelo, ¿cuál es el largo del cable?
La distancia al anclaje es el cateto adyacente y el cable corresponde a la hipotenusa.
Usamos el coseno:
\[ \cos(60^\circ)=\frac{9}{x} \]
Como \(\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}\), se obtiene:
\[ \frac{1}{2}=\frac{9}{x} \]
Multiplicando por \(x\):
\[ \frac{x}{2}=9 \]
Multiplicando por \(2\):
\[ x=18 \]
Por lo tanto, el cable mide \(18\) metros.
Ejercicio 8
Desde un punto en el suelo se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de \(30^\circ\). Si el edificio mide \(18\) metros, ¿a qué distancia de la base está el observador?
La altura del edificio es el cateto opuesto y la distancia buscada es el cateto adyacente.
Usamos la tangente:
\[ \tan(30^\circ)=\frac{18}{x} \]
Como \(\tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3}\), entonces:
\[ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{18}{x} \]
Multiplicando por \(x\):
\[ \frac{x\sqrt{3}}{3}=18 \]
Multiplicando por \(3\):
\[ x\sqrt{3}=54 \]
Dividiendo por \(\sqrt{3}\):
\[ x=\frac{54}{\sqrt{3}} \]
Racionalizando:
\[ x=\frac{54\sqrt{3}}{3}=18\sqrt{3} \]
Por lo tanto, el observador está a \(18\sqrt{3}\) metros de la base del edificio.
Ejercicio 9
Una persona está a \(10\sqrt{3}\) metros de la base de una antena. Si observa su parte superior con un ángulo de elevación de \(30^\circ\), ¿cuál es la altura de la antena?
La altura de la antena corresponde al cateto opuesto y la distancia horizontal al cateto adyacente.
Usamos la tangente:
\[ \tan(30^\circ)=\frac{x}{10\sqrt{3}} \]
Como \(\tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3}\), entonces:
\[ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{10\sqrt{3}} \]
Multiplicando por \(10\sqrt{3}\):
\[ x=10\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \]
Como \(\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3\), se obtiene:
\[ x=10\cdot \frac{3}{3}=10 \]
Por lo tanto, la antena mide \(10\) metros.
Ejercicio 10
Una escalera llega a una altura de \(12\) metros en una pared y forma un ángulo de \(60^\circ\) con el suelo. ¿Cuál es el largo de la escalera?
La altura es el cateto opuesto y la escalera corresponde a la hipotenusa.
Usamos el seno:
\[ \operatorname{sen}(60^\circ)=\frac{12}{x} \]
Como \(\operatorname{sen}(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\), entonces:
\[ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{12}{x} \]
Multiplicando por \(x\):
\[ \frac{x\sqrt{3}}{2}=12 \]
Multiplicando por \(2\):
\[ x\sqrt{3}=24 \]
Dividiendo por \(\sqrt{3}\):
\[ x=\frac{24}{\sqrt{3}} \]
Racionalizando:
\[ x=\frac{24\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3} \]
Por lo tanto, la escalera mide \(8\sqrt{3}\) metros.
Ejercicio 11
Desde un mirador ubicado a \(27\) metros de altura se observa un objeto en el suelo con un ángulo de depresión de \(30^\circ\). ¿A qué distancia horizontal está el objeto de la base del mirador?
El ángulo de depresión de \(30^\circ\) coincide con el ángulo de elevación desde el objeto hacia el mirador.
La altura es el cateto opuesto y la distancia horizontal es el cateto adyacente.
Usamos la tangente:
\[ \tan(30^\circ)=\frac{27}{x} \]
Como \(\tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3}\), entonces:
\[ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{27}{x} \]
Multiplicando por \(x\):
\[ \frac{x\sqrt{3}}{3}=27 \]
Multiplicando por \(3\):
\[ x\sqrt{3}=81 \]
Dividiendo por \(\sqrt{3}\):
\[ x=\frac{81}{\sqrt{3}} \]
Racionalizando:
\[ x=\frac{81\sqrt{3}}{3}=27\sqrt{3} \]
Por lo tanto, el objeto está a \(27\sqrt{3}\) metros de la base del mirador.
Ejercicio 12
Una persona observa la parte superior de un árbol con un ángulo de elevación de \(60^\circ\). Sus ojos están a \(1{,}5\) metros del suelo y se encuentra a \(6\) metros de la base del árbol. ¿Cuál es la altura total del árbol?
Primero calculamos la altura desde el nivel de los ojos hasta la parte superior del árbol.
Esa altura parcial es el cateto opuesto y la distancia de \(6\) metros es el cateto adyacente.
Usamos la tangente:
\[ \tan(60^\circ)=\frac{x}{6} \]
Como \(\tan(60^\circ)=\sqrt{3}\), entonces:
\[ \sqrt{3}=\frac{x}{6} \]
Multiplicando por \(6\):
\[ x=6\sqrt{3} \]
Ahora se suma la altura de los ojos:
\[ 6\sqrt{3}+1{,}5 \]
Por lo tanto, la altura total del árbol es \(6\sqrt{3}+1{,}5\) metros.
Ejercicio 13
Un cable de \(16\) metros sostiene una torre y forma un ángulo de \(30^\circ\) con la torre vertical. ¿A qué distancia de la base de la torre está anclado el cable?
El cable es la hipotenusa. Como el ángulo de \(30^\circ\) está entre el cable y la torre vertical, la distancia horizontal al anclaje es el cateto opuesto a ese ángulo.
Usamos el seno:
\[ \operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{x}{16} \]
Como \(\operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{1}{2}\), entonces:
\[ \frac{1}{2}=\frac{x}{16} \]
Multiplicando por \(16\):
\[ x=8 \]
Por lo tanto, el cable está anclado a \(8\) metros de la base de la torre.
Ejercicio 14
Un camino recto sube por una ladera formando un ángulo de \(45^\circ\) con la horizontal. Si el camino tiene \(14\sqrt{2}\) metros de longitud, ¿cuánto se gana en altura vertical?
El camino corresponde a la hipotenusa y la altura vertical corresponde al cateto opuesto al ángulo de \(45^\circ\).
Usamos el seno:
\[ \operatorname{sen}(45^\circ)=\frac{x}{14\sqrt{2}} \]
Como \(\operatorname{sen}(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}\), entonces:
\[ \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{x}{14\sqrt{2}} \]
Multiplicando por \(14\sqrt{2}\):
\[ x=14\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Como \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2\), se obtiene:
\[ x=14\cdot \frac{2}{2}=14 \]
Por lo tanto, se gana una altura vertical de \(14\) metros.