Libro de funciones potencias y trigonometricas
10. Ángulos equivalentes y razones trigonométricas en otros cuadrantes
Ángulos equivalentes y razones trigonométricas en otros cuadrantes
Objetivo de aprendizaje
- Reconocer ángulos equivalentes que comparten el mismo lado terminal.
- Determinar el ángulo de referencia de un ángulo ubicado en cualquier cuadrante.
- Aplicar signos de las razones trigonométricas según el cuadrante.
- Calcular razones trigonométricas de ángulos notables en otros cuadrantes.
Ángulos equivalentes
Dos ángulos son equivalentes cuando terminan en la misma posición después de girar alrededor del origen.
Esto ocurre cuando se diferencian en una vuelta completa, es decir, en múltiplos de \(360^\circ\).
\[ \alpha \text{ y } \alpha+360^\circ k \qquad \text{con } k\in\mathbb{Z} \]
Por ejemplo, los ángulos \(30^\circ\), \(390^\circ\) y \(-330^\circ\) son equivalentes, porque todos tienen el mismo lado terminal.
Ángulo de referencia
El ángulo de referencia es el ángulo agudo que se forma entre el lado terminal del ángulo y el eje \(x\).
Sirve para usar los valores conocidos de \(30^\circ\), \(45^\circ\) y \(60^\circ\), aunque el ángulo esté en otro cuadrante.
| Cuadrante | Forma del ángulo | Ángulo de referencia |
|---|---|---|
| I | \(\alpha\) | \(\alpha\) |
| II | \(180^\circ-\alpha\) | \(\alpha\) |
| III | \(180^\circ+\alpha\) | \(\alpha\) |
| IV | \(360^\circ-\alpha\) | \(\alpha\) |
Signos de las razones trigonométricas
El valor absoluto de la razón trigonométrica se obtiene con el ángulo de referencia. Luego se decide el signo según el cuadrante.
| Cuadrante | \(\operatorname{sen}\) | \(\cos\) | \(\tan\) |
|---|---|---|---|
| I | Positivo | Positivo | Positiva |
| II | Positivo | Negativo | Negativa |
| III | Negativo | Negativo | Positiva |
| IV | Negativo | Positivo | Negativa |
En la circunferencia, el cuadrante donde queda el lado terminal permite decidir el signo de cada razón trigonométrica.
Estrategia
- Ubica el cuadrante donde se encuentra el ángulo.
- Determina su ángulo de referencia.
- Usa el valor exacto del ángulo notable correspondiente.
- Aplica el signo según el cuadrante.
Error común
No basta con conocer el ángulo de referencia. También hay que revisar el cuadrante para decidir el signo.
Por ejemplo, \(150^\circ\) tiene ángulo de referencia \(30^\circ\), pero está en el cuadrante II. Entonces:
\[ \operatorname{sen}(150^\circ)=\frac{1}{2} \qquad \cos(150^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \tan(150^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{3} \]
Ejemplo 1: ángulo en el segundo cuadrante
Calcula \(\operatorname{sen}(150^\circ)\), \(\cos(150^\circ)\) y \(\tan(150^\circ)\).
El ángulo \(150^\circ\) está en el cuadrante II.
Buscamos su ángulo de referencia:
\[ 180^\circ-150^\circ=30^\circ \]
Entonces usamos los valores de \(30^\circ\):
\[ \operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{1}{2}, \qquad \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3} \]
En el cuadrante II, el seno es positivo, el coseno es negativo y la tangente es negativa.
Por lo tanto:
\[ \operatorname{sen}(150^\circ)=\frac{1}{2} \]
\[ \cos(150^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \tan(150^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{3} \]
Ejemplo 2: ángulo en el tercer cuadrante
Calcula \(\operatorname{sen}(225^\circ)\), \(\cos(225^\circ)\) y \(\tan(225^\circ)\).
El ángulo \(225^\circ\) está en el cuadrante III.
Su ángulo de referencia es:
\[ 225^\circ-180^\circ=45^\circ \]
Usamos los valores de \(45^\circ\):
\[ \operatorname{sen}(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \tan(45^\circ)=1 \]
En el cuadrante III, el seno y el coseno son negativos, pero la tangente es positiva.
Por lo tanto:
\[ \operatorname{sen}(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \cos(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \tan(225^\circ)=1 \]
Ejemplo 3: ángulo en el cuarto cuadrante
Calcula \(\operatorname{sen}(300^\circ)\), \(\cos(300^\circ)\) y \(\tan(300^\circ)\).
El ángulo \(300^\circ\) está en el cuadrante IV.
Su ángulo de referencia es:
\[ 360^\circ-300^\circ=60^\circ \]
Usamos los valores de \(60^\circ\):
\[ \operatorname{sen}(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos(60^\circ)=\frac{1}{2}, \qquad \tan(60^\circ)=\sqrt{3} \]
En el cuadrante IV, el seno es negativo, el coseno es positivo y la tangente es negativa.
Por lo tanto:
\[ \operatorname{sen}(300^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \cos(300^\circ)=\frac{1}{2} \]
\[ \tan(300^\circ)=-\sqrt{3} \]
Ejemplo 4: ángulo mayor que \(360^\circ\)
Calcula \(\cos(420^\circ)\).
El ángulo \(420^\circ\) es mayor que una vuelta completa. Restamos \(360^\circ\) para encontrar un ángulo equivalente entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\):
\[ 420^\circ-360^\circ=60^\circ \]
Entonces:
\[ \cos(420^\circ)=\cos(60^\circ) \]
Como:
\[ \cos(60^\circ)=\frac{1}{2} \]
Por lo tanto:
\[ \cos(420^\circ)=\frac{1}{2} \]
Ejemplo 5: ángulo negativo
Calcula \(\operatorname{sen}(-45^\circ)\).
Para trabajar con un ángulo positivo equivalente, sumamos \(360^\circ\):
\[ -45^\circ+360^\circ=315^\circ \]
Entonces:
\[ \operatorname{sen}(-45^\circ)=\operatorname{sen}(315^\circ) \]
El ángulo \(315^\circ\) está en el cuadrante IV y su ángulo de referencia es:
\[ 360^\circ-315^\circ=45^\circ \]
En el cuadrante IV, el seno es negativo. Como \(\operatorname{sen}(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}\), se obtiene:
\[ \operatorname{sen}(-45^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Ejercicios
Ejercicio 1
Determina un ángulo equivalente entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\) para \(750^\circ\).
Restamos vueltas completas de \(360^\circ\):
\[ 750^\circ-360^\circ=390^\circ \]
Como aún es mayor que \(360^\circ\), restamos nuevamente:
\[ 390^\circ-360^\circ=30^\circ \]
Por lo tanto, un ángulo equivalente entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\) es:
\[ 30^\circ \]
Ejercicio 2
Determina un ángulo equivalente entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\) para \(-120^\circ\).
Como el ángulo es negativo, sumamos \(360^\circ\):
\[ -120^\circ+360^\circ=240^\circ \]
Por lo tanto, un ángulo equivalente entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\) es:
\[ 240^\circ \]
Ejercicio 3
Determina el ángulo de referencia de \(120^\circ\).
El ángulo \(120^\circ\) está en el cuadrante II.
En el cuadrante II, el ángulo de referencia se obtiene restando el ángulo a \(180^\circ\):
\[ 180^\circ-120^\circ=60^\circ \]
Por lo tanto, el ángulo de referencia es:
\[ 60^\circ \]
Ejercicio 4
Determina el ángulo de referencia de \(210^\circ\).
El ángulo \(210^\circ\) está en el cuadrante III.
En el cuadrante III, el ángulo de referencia se calcula restando \(180^\circ\):
\[ 210^\circ-180^\circ=30^\circ \]
Por lo tanto, el ángulo de referencia es:
\[ 30^\circ \]
Ejercicio 5
Determina el ángulo de referencia de \(315^\circ\).
El ángulo \(315^\circ\) está en el cuadrante IV.
En el cuadrante IV, el ángulo de referencia se obtiene restando el ángulo a \(360^\circ\):
\[ 360^\circ-315^\circ=45^\circ \]
Por lo tanto, el ángulo de referencia es:
\[ 45^\circ \]
Ejercicio 6
Calcula \(\operatorname{sen}(120^\circ)\), \(\cos(120^\circ)\) y \(\tan(120^\circ)\).
El ángulo \(120^\circ\) está en el cuadrante II.
Su ángulo de referencia es:
\[ 180^\circ-120^\circ=60^\circ \]
Usamos los valores de \(60^\circ\):
\[ \operatorname{sen}(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos(60^\circ)=\frac{1}{2}, \qquad \tan(60^\circ)=\sqrt{3} \]
En el cuadrante II, el seno es positivo, el coseno es negativo y la tangente es negativa.
Por lo tanto:
\[ \operatorname{sen}(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \cos(120^\circ)=-\frac{1}{2} \]
\[ \tan(120^\circ)=-\sqrt{3} \]
Ejercicio 7
Calcula \(\operatorname{sen}(210^\circ)\), \(\cos(210^\circ)\) y \(\tan(210^\circ)\).
El ángulo \(210^\circ\) está en el cuadrante III.
Su ángulo de referencia es:
\[ 210^\circ-180^\circ=30^\circ \]
Usamos los valores de \(30^\circ\):
\[ \operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{1}{2}, \qquad \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3} \]
En el cuadrante III, el seno y el coseno son negativos, pero la tangente es positiva.
Por lo tanto:
\[ \operatorname{sen}(210^\circ)=-\frac{1}{2} \]
\[ \cos(210^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \tan(210^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3} \]
Ejercicio 8
Calcula \(\operatorname{sen}(330^\circ)\), \(\cos(330^\circ)\) y \(\tan(330^\circ)\).
El ángulo \(330^\circ\) está en el cuadrante IV.
Su ángulo de referencia es:
\[ 360^\circ-330^\circ=30^\circ \]
Usamos los valores de \(30^\circ\):
\[ \operatorname{sen}(30^\circ)=\frac{1}{2}, \qquad \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3} \]
En el cuadrante IV, el seno es negativo, el coseno es positivo y la tangente es negativa.
Por lo tanto:
\[ \operatorname{sen}(330^\circ)=-\frac{1}{2} \]
\[ \cos(330^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \tan(330^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{3} \]
Ejercicio 9
Calcula \(\cos(495^\circ)\).
Primero buscamos un ángulo equivalente entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\):
\[ 495^\circ-360^\circ=135^\circ \]
Entonces:
\[ \cos(495^\circ)=\cos(135^\circ) \]
El ángulo \(135^\circ\) está en el cuadrante II y su ángulo de referencia es:
\[ 180^\circ-135^\circ=45^\circ \]
En el cuadrante II, el coseno es negativo. Como \(\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}\), se obtiene:
\[ \cos(495^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Ejercicio 10
Calcula \(\tan(-60^\circ)\).
Buscamos un ángulo positivo equivalente sumando \(360^\circ\):
\[ -60^\circ+360^\circ=300^\circ \]
Entonces:
\[ \tan(-60^\circ)=\tan(300^\circ) \]
El ángulo \(300^\circ\) está en el cuadrante IV y su ángulo de referencia es:
\[ 360^\circ-300^\circ=60^\circ \]
En el cuadrante IV, la tangente es negativa. Como \(\tan(60^\circ)=\sqrt{3}\), entonces:
\[ \tan(-60^\circ)=-\sqrt{3} \]
Ejercicio 11
Completa mentalmente el razonamiento y calcula \(\operatorname{sen}(240^\circ)\).
El ángulo \(240^\circ\) está en el cuadrante III.
Su ángulo de referencia es:
\[ 240^\circ-180^\circ=60^\circ \]
En el cuadrante III, el seno es negativo.
Como:
\[ \operatorname{sen}(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Entonces:
\[ \operatorname{sen}(240^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Ejercicio 12
Un estudiante afirma que \(\cos(150^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\) porque el ángulo de referencia de \(150^\circ\) es \(30^\circ\). ¿Está correcto? Justifica.
El ángulo de referencia sí es \(30^\circ\), porque:
\[ 180^\circ-150^\circ=30^\circ \]
Sin embargo, \(150^\circ\) está en el cuadrante II.
En el cuadrante II, el coseno es negativo.
Como:
\[ \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Entonces:
\[ \cos(150^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Por lo tanto, la afirmación no está correcta: faltó considerar el signo según el cuadrante.