Libro Ecuacion Cuadratica

1. Identificar variable(s): Sea \(x\) el ancho del rectángulo, medido en metros.

2. Plantear la ecuación: Como la longitud es 3 metros más que el ancho, se representa por \(x+3\). El área de un rectángulo se calcula multiplicando ancho por largo, por eso: \[ x(x+3)=40 \]

3. Cálculo: \[ x(x+3)=40 \] \[ x^2+3x-40=0 \] \[ (x+8)(x-5)=0 \] \[ x=-8 \quad \text{o} \quad x=5 \] Como una dimensión no puede ser negativa, descartamos \(x=-8\). \[ x=5 \] Entonces la longitud es: \[ x+3=8 \]

4. Respuesta: El rectángulo mide 5 m de ancho y 8 m de largo.

1. Identificar variable(s): Sea \(x\) uno de los números. Entonces el otro número debe cumplir que la suma sea 13, por lo que vale \(13-x\).

2. Plantear la ecuación: Como el producto de ambos números es 36: \[ x(13-x)=36 \]

3. Cálculo: \[ 13x-x^2=36 \] \[ x^2-13x+36=0 \] \[ (x-9)(x-4)=0 \] \[ x=9 \quad \text{o} \quad x=4 \] Por lo tanto, los números son 9 y 4.

4. Respuesta: Los números son 9 y 4.

1. Identificar variable(s): Sea \(t\) el tiempo, medido en segundos.

2. Plantear la ecuación: El proyectil llega al suelo cuando su altura es 0. Por eso: \[ -5t^2+30t+20=0 \]

3. Cálculo: \[ -5t^2+30t+20=0 \] Dividimos por \(-5\): \[ t^2-6t-4=0 \] Aplicamos fórmula general: \[ t=\frac{6\pm\sqrt{36+16}}{2} \] \[ t=\frac{6\pm\sqrt{52}}{2}=3\pm\sqrt{13} \] Obtenemos: \[ t=3+\sqrt{13}\quad \text{o} \quad t=3-\sqrt{13} \] Como el tiempo negativo no tiene sentido físico, tomamos: \[ t=3+\sqrt{13}\approx 6{,}61 \]

4. Respuesta: El proyectil tarda aproximadamente \(6{,}6\) segundos en alcanzar el suelo.

1. Identificar variable(s): Sea \(x\) el número mayor. Entonces el menor es \(x-5\).

2. Plantear la ecuación: Como el producto de ambos números es 14: \[ x(x-5)=14 \]

3. Cálculo: \[ x^2-5x-14=0 \] \[ (x-7)(x+2)=0 \] \[ x=7 \quad \text{o} \quad x=-2 \] Como se piden números positivos, tomamos \(x=7\). Entonces el otro número es: \[ x-5=2 \]

4. Respuesta: Los números son 7 y 2.

1. Identificar variable(s): Sea \(h\) la altura del triángulo, en centímetros.

2. Plantear la ecuación: Como la base mide 2 cm más que la altura, la base es \(h+2\). El área de un triángulo es \(\frac{1}{2}\cdot \text{base}\cdot \text{altura}\), entonces: \[ \frac{1}{2}h(h+2)=15 \]

3. Cálculo: \[ h(h+2)=30 \] \[ h^2+2h-30=0 \] Aplicamos fórmula general: \[ h=\frac{-2\pm\sqrt{4+120}}{2} \] \[ h=\frac{-2\pm\sqrt{124}}{2}=-1\pm\sqrt{31} \] Tomamos la solución positiva: \[ h=-1+\sqrt{31}\approx 4{,}57 \] La base es: \[ h+2=1+\sqrt{31}\approx 6{,}57 \]

4. Respuesta: La altura mide aproximadamente \(4{,}57\) cm y la base aproximadamente \(6{,}57\) cm.

1. Identificar variable(s): Sea \(t\) el tiempo en segundos.

2. Plantear la ecuación: El objeto toca el suelo cuando su altura vale 0. Por eso: \[ 100-5t^2=0 \]

3. Cálculo: \[ 100-5t^2=0 \] \[ 5t^2=100 \] \[ t^2=20 \] \[ t=\pm\sqrt{20}=\pm 2\sqrt{5} \] Como el tiempo no puede ser negativo, tomamos: \[ t=2\sqrt{5}\approx 4{,}47 \]

4. Respuesta: El objeto tarda aproximadamente \(4{,}47\) segundos en llegar al suelo.

1. Identificar variable(s): Sea \(x\) uno de los números. Entonces el otro es \(12-x\).

2. Plantear la ecuación: Como el producto debe ser 32: \[ x(12-x)=32 \]

3. Cálculo: \[ 12x-x^2=32 \] \[ x^2-12x+32=0 \] \[ (x-8)(x-4)=0 \] \[ x=8 \quad \text{o} \quad x=4 \]

4. Respuesta: Los números son 8 y 4.

1. Identificar variable(s): Sea \(t\) el tiempo en segundos.

2. Plantear la ecuación: El objeto toca el suelo cuando la altura es 0: \[ -16t^2+64t+80=0 \]

3. Cálculo: \[ -16t^2+64t+80=0 \] Dividimos por \(-16\): \[ t^2-4t-5=0 \] \[ (t-5)(t+1)=0 \] \[ t=5 \quad \text{o} \quad t=-1 \] El tiempo negativo no es válido.

4. Respuesta: El objeto tarda 5 segundos en tocar el suelo.

1. Identificar variable(s): Sea \(x\) el ancho del rectángulo.

2. Plantear la ecuación: Como la longitud es \(x+6\) y el área es 91: \[ x(x+6)=91 \]

3. Cálculo: \[ x^2+6x-91=0 \] \[ (x+13)(x-7)=0 \] \[ x=-13 \quad \text{o} \quad x=7 \] Tomamos la solución positiva.

4. Respuesta: El rectángulo mide 7 m de ancho y 13 m de largo.

1. Identificar variable(s): Sea \(v\) la velocidad promedio del tren, en km/h.

2. Plantear la ecuación: El tiempo se calcula como \(\text{distancia}/\text{velocidad}\). Entonces: \[ \frac{200}{v} \] es el tiempo normal, y \[ \frac{200}{v+20} \] es el tiempo si fuera 20 km/h más rápido. Como en ese caso el viaje tarda 1 hora menos: \[ \frac{200}{v}=\frac{200}{v+20}+1 \]

3. Cálculo: \[ \frac{200}{v}=\frac{200}{v+20}+1 \] Multiplicamos por \(v(v+20)\): \[ 200(v+20)=200v+v(v+20) \] \[ 200v+4000=200v+v^2+20v \] \[ v^2+20v-4000=0 \] Aplicamos fórmula general: \[ v=\frac{-20\pm\sqrt{400+16000}}{2} \] \[ v=\frac{-20\pm\sqrt{16400}}{2}=-10\pm 10\sqrt{41} \] Tomamos la raíz positiva: \[ v=-10+10\sqrt{41}\approx 54{,}03 \]

4. Respuesta: La velocidad promedio del tren es aproximadamente \(54{,}0\) km/h.

1. Identificar variable(s): Sea \(x\) el número buscado.

2. Plantear la ecuación: “El cuadrado del número menos el doble del número” se traduce como: \[ x^2-2x \] y eso debe ser igual a 24: \[ x^2-2x=24 \]

3. Cálculo: \[ x^2-2x-24=0 \] \[ (x-6)(x+4)=0 \] \[ x=6 \quad \text{o} \quad x=-4 \]

4. Respuesta: Los números que cumplen la condición son 6 y \(-4\).

1. Identificar variable(s): Sea \(x\) el número buscado.

2. Plantear la ecuación: La frase “el cuadrado del número menos 4 veces el número” se escribe: \[ x^2-4x \] y debe ser igual a 96: \[ x^2-4x=96 \]

3. Cálculo: \[ x^2-4x-96=0 \] \[ (x-12)(x+8)=0 \] \[ x=12 \quad \text{o} \quad x=-8 \]

4. Respuesta: Los números que cumplen la condición son 12 y \(-8\).

1. Identificar variable(s): Sea \(x\) la edad actual de la persona.

2. Plantear la ecuación: Su edad actual es \(x\) y en 3 años será \(x+3\). Como el producto de ambas edades es 54: \[ x(x+3)=54 \]

3. Cálculo: \[ x^2+3x-54=0 \] \[ (x+9)(x-6)=0 \] \[ x=-9 \quad \text{o} \quad x=6 \] Una edad negativa no tiene sentido.

4. Respuesta: La persona tiene actualmente 6 años.

1. Identificar variable(s): Sea \(t\) el tiempo en segundos.

2. Plantear la ecuación: El objeto regresa al suelo cuando la altura es 0: \[ -5t^2+50t=0 \]

3. Cálculo: \[ -5t^2+50t=0 \] Factorizamos: \[ -5t(t-10)=0 \] \[ t=0 \quad \text{o} \quad t=10 \] El valor \(t=0\) corresponde al instante inicial del lanzamiento.

4. Respuesta: El objeto tarda 10 segundos en regresar al suelo.

1. Identificar variable(s): Sea \(x\) el ancho del rectángulo.

2. Plantear la ecuación: Si el largo es \(x+2\) y el área es 48: \[ x(x+2)=48 \]

3. Cálculo: \[ x^2+2x-48=0 \] \[ (x+8)(x-6)=0 \] \[ x=-8 \quad \text{o} \quad x=6 \] Tomamos la solución positiva.

4. Respuesta: El rectángulo mide 6 cm de ancho y 8 cm de largo.

1. Identificar variable(s): Sea \(x\) el número buscado.

2. Plantear la ecuación: La frase se traduce directamente como: \[ x^2-3x+2=0 \]

3. Cálculo: \[ (x-1)(x-2)=0 \] \[ x=1 \quad \text{o} \quad x=2 \]

4. Respuesta: Los números son 1 y 2.

1. Identificar variable(s): Sea \(x\) la medida del lado del cuadrado.

2. Plantear la ecuación: El área de un cuadrado es \(x^2\). Como esa área es igual a 6 veces el lado: \[ x^2=6x \]

3. Cálculo: \[ x^2-6x=0 \] \[ x(x-6)=0 \] \[ x=0 \quad \text{o} \quad x=6 \] Un lado no puede medir 0 en este contexto.

4. Respuesta: La longitud del lado es 6 cm.

1. Identificar variable(s): Sea \(x\) la altura del triángulo. Entonces la base es \(x-4\).

2. Plantear la ecuación: El área de un triángulo es \(\frac{1}{2}\cdot \text{base}\cdot \text{altura}\). Entonces: \[ \frac{x(x-4)}{2}=48 \]

3. Cálculo: \[ x(x-4)=96 \] \[ x^2-4x-96=0 \] \[ (x-12)(x+8)=0 \] \[ x=12 \quad \text{o} \quad x=-8 \] Tomamos la solución positiva. La base es: \[ 12-4=8 \]

4. Respuesta: La base mide 8 cm y la altura 12 cm.

1. Identificar variable(s): Sea \(x\) el precio del cuaderno. Entonces el lápiz cuesta \(x+20\).

2. Plantear la ecuación: Como el producto de ambos precios es 1200: \[ x(x+20)=1200 \]

3. Cálculo: \[ x^2+20x-1200=0 \] \[ (x+40)(x-30)=0 \] \[ x=-40 \quad \text{o} \quad x=30 \] Tomamos la solución positiva: \[ x=30 \] Entonces: \[ x+20=50 \]

4. Respuesta: El cuaderno cuesta 30 pesos y el lápiz 50 pesos.

1. Identificar variable(s): Sea \(x\) el menor de los dos números. Entonces el siguiente es \(x+1\).

2. Plantear la ecuación: Como el producto de dos números consecutivos es 72: \[ x(x+1)=72 \]

3. Cálculo: \[ x^2+x-72=0 \] \[ (x+9)(x-8)=0 \] \[ x=-9 \quad \text{o} \quad x=8 \] Por lo tanto, las parejas correspondientes son: \[ (-9,-8) \quad \text{y} \quad (8,9) \]

4. Respuesta: Los números enteros consecutivos pueden ser 8 y 9, o también \(-9\) y \(-8\).