Libro Ecuacion Cuadratica
1. Introducción a la Ecuación Cuadrática (cc2)
Introducción a la ecuación cuadrática
Objetivos
- Reconocer qué es una ecuación cuadrática.
- Identificar su forma general y sus coeficientes.
- Comprender qué significa resolver una ecuación cuadrática.
- Relacionar este tipo de ecuaciones con situaciones matemáticas y reales.
¿Qué es una ecuación cuadrática?
Una ecuación cuadrática es una ecuación algebraica en la que la mayor potencia de la incógnita es 2.
Su forma general es:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales, y se debe cumplir que \(a\neq 0\).
Forma general y coeficientes
En la ecuación
\[ ax^2+bx+c=0, \]
cada término cumple una función:
- \(a\) es el coeficiente del término cuadrático \(x^2\).
- \(b\) es el coeficiente del término lineal \(x\).
- \(c\) es el término independiente.
Si \(a=0\), la ecuación deja de ser cuadrática y pasa a ser de otro tipo.
Error frecuente
No toda expresión con una \(x^2\) es automáticamente una ecuación cuadrática.
Para hablar de ecuación, debe haber una igualdad; y para que sea cuadrática, el mayor exponente de la incógnita debe ser 2 y el coeficiente de \(x^2\) debe ser distinto de cero.
¿Qué significa resolver una ecuación cuadrática?
Idea clave
Resolver una ecuación cuadrática significa encontrar los valores de \(x\) que hacen verdadera la igualdad.
Esos valores se llaman soluciones o raíces de la ecuación.
Una misma ecuación puede tener distintos tipos de solución
Dependiendo de la ecuación, puede ocurrir que tenga:
- dos soluciones reales distintas,
- una solución real doble,
- o ninguna solución real.
Más adelante estudiaremos cómo reconocer cada caso y qué información entrega el discriminante.
¿Dónde aparecen las ecuaciones cuadráticas?
Presencia en distintos contextos
Las ecuaciones cuadráticas aparecen en muchos temas de matemáticas y en situaciones del mundo real. Por ejemplo:
- en problemas de áreas y dimensiones,
- en trayectorias de objetos lanzados,
- en optimización de medidas, costos o ganancias,
- en relaciones numéricas entre suma, producto y diferencia.
Práctica guiada
Antes de comenzar
En esta práctica no resolveremos ecuaciones. Solo aprenderemos a reconocer si una ecuación es cuadrática e identificar sus coeficientes.
Ejemplo 1: identificar \(a\), \(b\) y \(c\)
Observa la ecuación:
\[ 3x^2-2x+5=0 \]
La comparamos con la forma general:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
Entonces:
\[ a=3,\qquad b=-2,\qquad c=5 \]
Observación
El coeficiente de \(x\) incluye su signo. Por eso aquí \(b=-2\), no \(b=2\).
Ejemplo 2: reconocer si una ecuación es cuadrática
Observa la ecuación:
\[ 4x-7=0 \]
Nos preguntamos: ¿el mayor exponente de \(x\) es 2?
No. Aquí el mayor exponente de \(x\) es 1.
Por lo tanto, no es una ecuación cuadrática. Es una ecuación lineal.
Atención
Para que una ecuación sea cuadrática, el mayor exponente de la incógnita debe ser 2 y el coeficiente de \(x^2\) debe ser distinto de 0.
¿Qué estudiaremos después?
Organización del tema
En las siguientes secciones veremos distintos caminos para trabajar con ecuaciones cuadráticas.
- Primero estudiaremos cómo se obtiene la fórmula cuadrática.
- Luego analizaremos el discriminante y el tipo de raíces.
- Después revisaremos métodos especiales según la forma de la ecuación.
Avance
La fórmula cuadrática permite resolver ecuaciones de la forma
\[ ax^2+bx+c=0, \]
pero en esta sección solo la presentamos como una herramienta importante del tema. Su demostración y uso sistemático se desarrollan en las páginas siguientes.
Parte A: encontrar \(a\), \(b\) y \(c\)
Ejercicio 1
Identifica los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) en la ecuación:
\[ 2x^2+5x-3=0 \]
Comparamos con la forma general:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
En la ecuación \(2x^2+5x-3=0\), el coeficiente de \(x^2\) es \(2\), el coeficiente de \(x\) es \(5\) y el término independiente es \(-3\).
\[ a=2,\qquad b=5,\qquad c=-3 \]
Ejercicio 2
Identifica los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) en la ecuación:
\[ x^2-7x+4=0 \]
Recordemos que cuando no se escribe un coeficiente, este vale \(1\).
Entonces, en \(x^2-7x+4=0\), el coeficiente de \(x^2\) es \(1\), el coeficiente de \(x\) es \(-7\) y el término independiente es \(4\).
\[ a=1,\qquad b=-7,\qquad c=4 \]
Ejercicio 3
Identifica los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) en la ecuación:
\[ -3x^2+8x=0 \]
Comparamos con la forma general \(ax^2+bx+c=0\).
Aunque no se vea término independiente, está presente como \(0\):
\[ -3x^2+8x+0=0 \]
Por lo tanto:
\[ a=-3,\qquad b=8,\qquad c=0 \]
Ejercicio 4
Identifica los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) en la ecuación:
\[ 4x^2-9=0 \]
Comparamos con la forma general \(ax^2+bx+c=0\).
Aquí no aparece término lineal, por lo tanto su coeficiente es \(0\):
\[ 4x^2+0x-9=0 \]
Entonces:
\[ a=4,\qquad b=0,\qquad c=-9 \]
Ejercicio 5
Ordena la ecuación en la forma general e identifica \(a\), \(b\) y \(c\):
\[ 6-2x+x^2=0 \]
Primero ordenamos la ecuación desde la mayor potencia de \(x\) hasta el término independiente:
\[ x^2-2x+6=0 \]
Ahora comparamos con \(ax^2+bx+c=0\):
\[ a=1,\qquad b=-2,\qquad c=6 \]
Parte B: reconocer la ecuación cuadrática
Ejercicio 6
Indica si la siguiente ecuación es cuadrática o no. Justifica brevemente:
\[ 5x+2=0 \]
No es una ecuación cuadrática.
La incógnita \(x\) aparece con exponente \(1\), y no aparece ningún término con \(x^2\).
Por lo tanto, es una ecuación lineal.
Ejercicio 7
Indica si la siguiente ecuación es cuadrática o no. Justifica brevemente:
\[ 3x^2-4x+1=0 \]
Sí es una ecuación cuadrática.
El mayor exponente de \(x\) es \(2\), y el coeficiente de \(x^2\) es \(3\), que es distinto de \(0\).
Ejercicio 8
Indica si la siguiente ecuación es cuadrática o no. Justifica brevemente:
\[ x^3-2x+1=0 \]
No es una ecuación cuadrática.
El mayor exponente de \(x\) es \(3\), no \(2\).
Por lo tanto, es una ecuación cúbica.
Ejercicio 9
Indica si la siguiente ecuación es cuadrática o no. Justifica brevemente:
\[ -x^2+7=0 \]
Sí es una ecuación cuadrática.
El mayor exponente de \(x\) es \(2\).
Además, el coeficiente del término cuadrático es \(-1\), que es distinto de \(0\).
Ejercicio 10
Indica si la siguiente ecuación es cuadrática o no. Justifica brevemente:
\[ 0x^2+4x-3=0 \]
No es una ecuación cuadrática.
Aunque aparece escrito \(x^2\), su coeficiente es \(0\), por lo tanto ese término se anula:
\[ 0x^2=0 \]
Entonces la ecuación queda:
\[ 4x-3=0 \]
Eso corresponde a una ecuación lineal.
Ejercicio 11
Indica si la siguiente ecuación es cuadrática o no. Justifica brevemente:
\[ 7-3x+x^2=0 \]
Primero la ordenamos en forma general:
\[ x^2-3x+7=0 \]
Sí es una ecuación cuadrática, porque el mayor exponente de \(x\) es \(2\) y el coeficiente de \(x^2\) es \(1\), que es distinto de \(0\).
Ejercicio 12
Indica cuáles de las siguientes expresiones son ecuaciones cuadráticas:
\[ x^2+1=0,\qquad 4x-9=0,\qquad 2x^2+3x=5,\qquad x^4-x=0 \]
Analizamos una por una:
- \(x^2+1=0\): sí es cuadrática, porque el mayor exponente de \(x\) es \(2\).
- \(4x-9=0\): no es cuadrática; es lineal, porque el mayor exponente de \(x\) es \(1\).
- \(2x^2+3x=5\): sí es cuadrática, porque puede escribirse como \(2x^2+3x-5=0\).
- \(x^4-x=0\): no es cuadrática; es de cuarto grado, porque el mayor exponente de \(x\) es \(4\).
Respuesta: son cuadráticas \(x^2+1=0\) y \(2x^2+3x=5\).
Cierre
Comprender qué es una ecuación cuadrática, cómo reconocerla y qué representan sus coeficientes es el primer paso antes de estudiar sus métodos de resolución.