Libro de la esfera y sus elementos
3. Área de la superficie de la esfera: cálculo y aplicaciones
Objetivos de la página
- Aplicar la fórmula \(A=4\pi r^2\) para calcular el área de la superficie de una esfera.
- Identificar si el dato entregado corresponde al radio o al diámetro.
- Resolver problemas geométricos y cotidianos asociados a recubrimiento, pintura o material exterior.
- Expresar correctamente el resultado en unidades cuadradas.
Fórmula del área de la superficie de la esfera
Si una esfera tiene radio \(r\), el área de su superficie es:
\[ A=4\pi r^2 \]
Esta fórmula permite calcular la superficie exterior de la esfera, como si midiéramos la “piel” de una pelota.
Procedimiento de cálculo
- Identifica si el dato entregado es radio o diámetro.
- Si te entregan el diámetro, calcula primero \(r=\frac{d}{2}\).
- Reemplaza el radio en la fórmula \(A=4\pi r^2\).
- Calcula la potencia \(r^2\).
- Multiplica por \(4\pi\).
- Escribe la respuesta en unidades cuadradas.
Errores frecuentes
- Usar el diámetro como si fuera el radio.
- Olvidar elevar el radio al cuadrado.
- Escribir unidades lineales o cúbicas en vez de unidades cuadradas.
- Confundir área superficial con volumen.
Ejemplo 1: área desde el radio
Una esfera tiene radio \(6\ \text{cm}\). Calcula el área de su superficie.
Usamos la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
Como \(r=6\), reemplazamos:
\[ A=4\pi \cdot 6^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 36 \]
\[ A=144\pi \]
Por lo tanto, el área de la superficie de la esfera es:
\[ 144\pi\ \text{cm}^2 \]
Si se usa \(\pi \approx 3{,}14\), entonces:
\[ A \approx 144\cdot 3{,}14=452{,}16\ \text{cm}^2 \]
Ejemplo 2: área desde el diámetro
Una esfera tiene diámetro \(14\ \text{m}\). Calcula el área de su superficie.
Primero calculamos el radio:
\[ r=\frac{d}{2} \]
\[ r=\frac{14}{2}=7 \]
Ahora aplicamos la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 7^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 49 \]
\[ A=196\pi \]
El área de la superficie de la esfera es:
\[ 196\pi\ \text{m}^2 \]
Ejemplo 3: interpretar una representación
En la representación 3D, el segmento verde va desde el centro \(O\) hasta la superficie de la esfera. Su longitud es \(8\ \text{cm}\).
Como el segmento va desde el centro hasta la superficie, representa el radio:
\[ r=8\ \text{cm} \]
Entonces:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 8^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 64 \]
\[ A=256\pi \]
El área de la superficie es \(256\pi\ \text{cm}^2\).
¿Cuándo se usa el área de una esfera?
Se usa área cuando interesa medir o cubrir la parte exterior de un objeto esférico.
| Situación | Magnitud que se usa |
|---|---|
| Pintar una esfera decorativa | Área superficial |
| Cubrir una pelota con tela | Área superficial |
| Forrar una esfera con papel | Área superficial |
| Saber cuánto aire cabe dentro de un balón | Volumen, no área |
Ejercicio 1
Calcula el área de la superficie de una esfera de radio \(3\ \text{cm}\).
La fórmula del área de la superficie de una esfera es:
\[ A=4\pi r^2 \]
Como \(r=3\), reemplazamos:
\[ A=4\pi \cdot 3^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 9 \]
\[ A=36\pi \]
Por lo tanto, el área de la superficie de la esfera es \(36\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 2
Calcula el área de la superficie de una esfera de radio \(10\ \text{m}\).
Usamos:
\[ A=4\pi r^2 \]
Como \(r=10\):
\[ A=4\pi \cdot 10^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 100 \]
\[ A=400\pi \]
El área de la superficie de la esfera es \(400\pi\ \text{m}^2\).
Ejercicio 3
Una esfera tiene diámetro \(12\ \text{cm}\). Calcula el área de su superficie.
El dato entregado es el diámetro:
\[ d=12\ \text{cm} \]
Primero calculamos el radio:
\[ r=\frac{d}{2} \]
\[ r=\frac{12}{2}=6 \]
Ahora aplicamos la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 6^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 36 \]
\[ A=144\pi \]
El área de la superficie de la esfera es \(144\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 4
Una esfera tiene diámetro \(30\ \text{mm}\). Calcula el área de su superficie.
El diámetro es:
\[ d=30\ \text{mm} \]
El radio es la mitad:
\[ r=\frac{30}{2}=15 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 15^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 225 \]
\[ A=900\pi \]
El área de la superficie de la esfera es \(900\pi\ \text{mm}^2\).
Ejercicio 5
Observa la representación. El segmento verde desde el centro hasta la superficie mide \(7\ \text{cm}\).
a) ¿Qué representa el segmento verde?
b) Calcula el área de la superficie de la esfera.
El segmento verde va desde el centro hasta la superficie, por lo tanto representa el radio.
\[ r=7\ \text{cm} \]
Usamos la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 7^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 49 \]
\[ A=196\pi \]
El área de la superficie de la esfera es \(196\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 6
Observa la representación. El segmento naranjo une dos puntos opuestos de la superficie, pasa por el centro y mide \(18\ \text{cm}\).
a) ¿Qué representa el segmento naranjo?
b) Calcula el área de la superficie de la esfera.
El segmento naranjo une dos puntos opuestos de la superficie y pasa por el centro.
Por lo tanto, representa el diámetro:
\[ d=18\ \text{cm} \]
Calculamos el radio:
\[ r=\frac{18}{2}=9 \]
Ahora usamos:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 9^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 81 \]
\[ A=324\pi \]
El área de la superficie de la esfera es \(324\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 7
Una pelota será cubierta completamente con tela. Su radio es \(9\ \text{cm}\).
¿Cuánta tela se necesita como mínimo, sin considerar costuras ni pérdidas?
Como se quiere cubrir la parte exterior de la pelota, corresponde calcular el área superficial.
El radio es:
\[ r=9\ \text{cm} \]
Aplicamos la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 9^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 81 \]
\[ A=324\pi \]
Se necesitan como mínimo \(324\pi\ \text{cm}^2\) de tela.
Ejercicio 8
Una esfera decorativa de diámetro \(40\ \text{cm}\) será pintada completamente.
Calcula el área que debe pintarse.
Como se pintará la parte exterior, se necesita el área de la superficie.
El diámetro es:
\[ d=40\ \text{cm} \]
Calculamos el radio:
\[ r=\frac{40}{2}=20 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 20^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 400 \]
\[ A=1600\pi \]
El área que debe pintarse es \(1600\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 9
Una esfera tiene área superficial \(256\pi\ \text{cm}^2\).
Determina su radio.
Partimos desde la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
Como \(A=256\pi\):
\[ 256\pi=4\pi r^2 \]
Dividimos por \(4\pi\):
\[ \frac{256\pi}{4\pi}=r^2 \]
\[ 64=r^2 \]
Como el radio es una longitud positiva:
\[ r=8 \]
El radio de la esfera es \(8\ \text{cm}\).
Ejercicio 10
Dos esferas tienen radios \(4\ \text{cm}\) y \(8\ \text{cm}\).
a) Calcula el área superficial de cada esfera.
b) ¿Cuántas veces mayor es el área de la segunda esfera?
Para la primera esfera, \(r=4\):
\[ A_1=4\pi \cdot 4^2 \]
\[ A_1=4\pi \cdot 16=64\pi \]
Para la segunda esfera, \(r=8\):
\[ A_2=4\pi \cdot 8^2 \]
\[ A_2=4\pi \cdot 64=256\pi \]
Comparamos ambas áreas:
\[ \frac{A_2}{A_1}=\frac{256\pi}{64\pi}=4 \]
El área de la segunda esfera es \(4\) veces mayor que el área de la primera.
Ejercicio 11
Una estudiante calcula el área de una esfera de diámetro \(10\ \text{cm}\) así:
\[ A=4\pi \cdot 10^2=400\pi \]
¿Cuál es el error? Corrige el procedimiento.
El error consiste en usar el diámetro como si fuera el radio.
El diámetro es:
\[ d=10\ \text{cm} \]
Entonces el radio es:
\[ r=\frac{10}{2}=5 \]
Ahora se aplica correctamente la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 5^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 25 \]
\[ A=100\pi \]
El área correcta es \(100\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 12
Una esfera tiene radio \(12\ \text{cm}\). Calcula su área superficial aproximada usando \(\pi \approx 3{,}14\).
Primero calculamos el área exacta en términos de \(\pi\):
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 12^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 144 \]
\[ A=576\pi \]
Ahora usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ A\approx 576\cdot 3{,}14 \]
\[ A\approx 1808{,}64 \]
El área superficial aproximada es \(1808{,}64\ \text{cm}^2\).
Para continuar
En la próxima página se usará una comparación con un cilindro para conjeturar la fórmula del volumen de la esfera.