Libro de la esfera y sus elementos
1. La esfera y sus elementos
La esfera y sus elementos
Objetivos de la página
- Reconocer la esfera como un cuerpo geométrico tridimensional.
- Identificar centro, radio, diámetro y círculo máximo en una esfera.
- Distinguir entre círculo, esfera, superficie esférica y volumen.
- Interpretar información geométrica desde representaciones visuales.
¿Qué es una esfera?
Una esfera es el conjunto de puntos del espacio que están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.
Esa distancia constante se llama radio y se representa generalmente con la letra \(r\).
Ejemplos cercanos a una esfera son una pelota, una bolita o una burbuja. En todos estos casos podemos distinguir una parte exterior y un espacio interior.
Representación 3D de una esfera
En la representación se muestra una esfera con centro \(O\). El segmento desde el centro hasta la superficie representa un radio, y el segmento que une dos puntos opuestos pasando por el centro representa un diámetro.
En la escena:
- \(O\) es el centro de la esfera.
- \(\overline{OP}\) representa un radio.
- \(\overline{BA}\) representa un diámetro.
Radio y diámetro
El radio es la distancia desde el centro de la esfera hasta cualquier punto de su superficie.
El diámetro es un segmento que une dos puntos de la superficie y pasa por el centro.
Como el diámetro está formado por dos radios, se cumple:
\[ d = 2r \]
También podemos despejar el radio:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Ejemplo 1: encontrar el diámetro desde el radio
Una esfera tiene radio \(8\ \text{cm}\). ¿Cuál es su diámetro?
Como el diámetro mide el doble del radio:
\[ d = 2r \]
Reemplazamos \(r = 8\):
\[ d = 2 \cdot 8 = 16 \]
Por lo tanto, el diámetro de la esfera es \(16\ \text{cm}\).
Ejemplo 2: encontrar el radio desde el diámetro
Una pelota tiene diámetro \(22\ \text{cm}\). ¿Cuál es su radio?
El radio corresponde a la mitad del diámetro:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Reemplazamos \(d = 22\):
\[ r = \frac{22}{2}=11 \]
Por lo tanto, el radio de la pelota es \(11\ \text{cm}\).
Secciones circulares de una esfera
Si una esfera se corta con un plano, la sección obtenida es un círculo.
El círculo más grande que puede obtenerse aparece cuando el corte pasa por el centro de la esfera. Ese círculo se llama círculo máximo.
Representación plana de un círculo máximo
La siguiente representación muestra el círculo máximo que se obtiene al cortar una esfera por su centro. Este esquema es plano, por eso se representa con Geo2D.
El círculo máximo tiene el mismo centro que la esfera. Su radio coincide con el radio de la esfera.
Idea clave
Cuando una figura muestra un segmento desde el centro hasta la superficie, ese segmento representa un radio.
Cuando una figura muestra un segmento de extremo a extremo que pasa por el centro, ese segmento representa un diámetro.
Error común
No confundas radio con diámetro.
Si el dato corresponde a una línea que va de un extremo a otro pasando por el centro, ese dato es el diámetro. Antes de usarlo como radio, debes dividirlo por \(2\).
Círculo, esfera, superficie y volumen
Antes de estudiar las fórmulas de área y volumen, es importante distinguir estas ideas:
| Concepto | Descripción |
|---|---|
| Círculo | Figura plana formada por los puntos interiores de una circunferencia. |
| Esfera | Cuerpo tridimensional cuyos puntos de la superficie están a la misma distancia del centro. |
| Superficie de la esfera | Parte exterior de la esfera, como la “piel” de una pelota. |
| Volumen de la esfera | Espacio que ocupa la esfera por dentro. |
Ejercicio 1
En una esfera, el segmento que une el centro \(O\) con un punto \(A\) de la superficie mide \(6\ \text{cm}\).
a) ¿Qué representa el segmento \(\overline{OA}\)?
b) ¿Cuál es el diámetro de la esfera?
El segmento \(\overline{OA}\) une el centro de la esfera con un punto de su superficie.
Por lo tanto, \(\overline{OA}\) representa el radio:
\[ r = 6\ \text{cm} \]
El diámetro es el doble del radio:
\[ d = 2r \]
\[ d = 2 \cdot 6 = 12 \]
Entonces, el diámetro de la esfera es \(12\ \text{cm}\).
Ejercicio 2
Una pelota tiene una línea marcada que va de un extremo a otro pasando por su centro. Esa línea mide \(18\ \text{cm}\).
a) ¿La línea marcada representa un radio o un diámetro?
b) ¿Cuál es el radio de la pelota?
La línea va de un extremo a otro de la pelota y pasa por el centro.
Por lo tanto, representa el diámetro:
\[ d = 18\ \text{cm} \]
El radio es la mitad del diámetro:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{18}{2}=9 \]
Entonces, el radio de la pelota es \(9\ \text{cm}\).
Ejercicio 3
Al cortar una esfera por su centro, se obtiene un círculo máximo de diámetro \(14\ \text{cm}\).
a) ¿Cuál es el radio del círculo máximo?
b) ¿Cuál es el radio de la esfera?
El círculo máximo se obtiene cuando el corte pasa por el centro de la esfera.
El diámetro del círculo máximo es:
\[ d = 14\ \text{cm} \]
Su radio es la mitad del diámetro:
\[ r = \frac{14}{2}=7 \]
Como el círculo máximo tiene el mismo radio que la esfera, el radio de la esfera también es \(7\ \text{cm}\).
Ejercicio 4
Observa la representación 3D. El segmento verde va desde el centro \(O\) hasta un punto \(P\) de la superficie y mide \(5\ \text{cm}\).
a) ¿Qué representa el segmento \(\overline{OP}\)?
b) ¿Cuánto mide el diámetro de la esfera?
El segmento \(\overline{OP}\) va desde el centro \(O\) hasta un punto \(P\) de la superficie.
Por lo tanto, representa el radio:
\[ r = 5\ \text{cm} \]
El diámetro mide el doble del radio:
\[ d = 2r \]
\[ d = 2 \cdot 5 = 10 \]
Entonces, el diámetro de la esfera mide \(10\ \text{cm}\).
Ejercicio 5
Observa la representación 3D. El segmento naranjo une dos puntos opuestos de la superficie y pasa por el centro. Su longitud es \(24\ \text{cm}\).
a) ¿Qué representa el segmento naranjo?
b) ¿Cuál es el radio de la esfera?
El segmento naranjo une dos puntos opuestos de la superficie y pasa por el centro.
Por lo tanto, representa el diámetro:
\[ d = 24\ \text{cm} \]
El radio es la mitad del diámetro:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{24}{2}=12 \]
Entonces, el radio de la esfera es \(12\ \text{cm}\).
Ejercicio 6
Una esfera decorativa tiene diámetro \(30\ \text{cm}\). Una estudiante afirma que su radio es \(30\ \text{cm}\), porque ese es el dato entregado.
¿La afirmación es correcta? Justifica tu respuesta.
La afirmación no es correcta.
El dato entregado es el diámetro:
\[ d = 30\ \text{cm} \]
El radio es la mitad del diámetro:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{30}{2}=15 \]
Por lo tanto, el radio de la esfera decorativa es \(15\ \text{cm}\), no \(30\ \text{cm}\).
Para continuar
En la próxima página se usará el círculo máximo para conjeturar la fórmula del área de la superficie de la esfera.