Libro de la esfera y sus elementos
9. Modelación con esferas y semiesferas
Objetivos de la página
- Resolver problemas compuestos que involucren esferas, semiesferas y cilindros.
- Distinguir entre superficie curva, superficie total y volumen en semiesferas.
- Interpretar situaciones reales antes de escoger una fórmula.
- Resolver problemas inversos a partir del área o del volumen dado.
Fórmulas necesarias
Para una esfera de radio \(r\):
\[ A_{\text{esfera}}=4\pi r^2 \]
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Para una semiesfera de radio \(r\):
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
\[ A_{\text{total con base}}=3\pi r^2 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
Problemas compuestos
Algunas situaciones no corresponden solo a una esfera completa. Pueden aparecer objetos formados por partes, por ejemplo:
- una cúpula semiesférica,
- un recipiente semiesférico abierto,
- un sólido formado por un cilindro y dos semiesferas,
- un tanque con forma de cilindro y una tapa semiesférica.
En estos casos conviene separar la figura en partes conocidas y luego sumar las áreas o volúmenes que correspondan.
Estrategia de modelación
- Identifica las partes de la figura.
- Decide si se pregunta por área o volumen.
- Determina si hay superficies que no se deben contar, como bases unidas o partes no expuestas.
- Calcula cada parte por separado.
- Suma solo las cantidades que correspondan al contexto.
Ejemplo 1: recipiente semiesférico abierto
Un recipiente con forma de semiesfera tiene radio \(6\ \text{cm}\). Calcula su capacidad y el área interior curva.
Como es un recipiente semiesférico, su capacidad corresponde al volumen de una semiesfera:
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 6^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 216=144\pi \]
La capacidad es \(144\pi\ \text{cm}^3\).
Como se pide el área interior curva, no se incluye una base circular:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 6^2=2\pi\cdot 36=72\pi \]
El área interior curva es \(72\pi\ \text{cm}^2\).
Ejemplo 2: cilindro con dos semiesferas
Un objeto está formado por un cilindro de radio \(3\ \text{cm}\) y altura \(10\ \text{cm}\), con una semiesfera en cada extremo. Calcula su área exterior y su volumen.
Las dos semiesferas forman una esfera completa de radio \(3\ \text{cm}\).
Área exterior:
Se suma el área lateral del cilindro y el área de una esfera completa:
\[ A_{\text{lateral cilindro}}=2\pi rh \]
\[ A_{\text{lateral cilindro}}=2\pi\cdot 3\cdot 10=60\pi \]
\[ A_{\text{esfera}}=4\pi r^2=4\pi\cdot 3^2=36\pi \]
\[ A_{\text{total}}=60\pi+36\pi=96\pi \]
El área exterior es \(96\pi\ \text{cm}^2\).
Volumen:
Se suma el volumen del cilindro y el volumen de una esfera completa:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h=\pi\cdot 3^2\cdot 10=90\pi \]
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\cdot 3^3=36\pi \]
\[ V_{\text{total}}=90\pi+36\pi=126\pi \]
El volumen total es \(126\pi\ \text{cm}^3\).
Ejemplo 3: problema inverso con semiesfera
Una semiesfera cerrada, incluyendo su base circular, tiene área total \(192\pi\ \text{cm}^2\). Determina su radio y su volumen.
Como se incluye la base circular, usamos:
\[ A_{\text{total}}=3\pi r^2 \]
Reemplazamos el área dada:
\[ 192\pi=3\pi r^2 \]
Dividimos por \(3\pi\):
\[ 64=r^2 \]
Como el radio es positivo:
\[ r=8 \]
Ahora calculamos el volumen de la semiesfera:
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 8^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 512=\frac{1024}{3}\pi \]
El volumen es \(\frac{1024}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Atención con las partes no visibles
Si dos figuras están unidas, la superficie de contacto no se cuenta como parte exterior.
Por ejemplo, si dos semiesferas se unen para formar una esfera, las bases circulares quedan al interior y no se consideran en el área exterior.
Ejercicio 1
Indica qué fórmula o combinación de fórmulas corresponde usar en cada caso:
- Capacidad de un recipiente semiesférico abierto.
- Área exterior curva de una cúpula semiesférica.
- Área total de una semiesfera sólida, incluyendo su base.
- Volumen de un cilindro con dos semiesferas en sus extremos.
- Área exterior de un cilindro con dos semiesferas en sus extremos.
- Capacidad de un recipiente semiesférico: \(V=\frac{2}{3}\pi r^3\).
- Área exterior curva de una cúpula: \(A=2\pi r^2\).
- Área total de una semiesfera con base: \(A=3\pi r^2\).
- Volumen de cilindro con dos semiesferas: \(V=\pi r^2h+\frac{4}{3}\pi r^3\).
- Área exterior de cilindro con dos semiesferas: \(A=2\pi rh+4\pi r^2\).
Ejercicio 2
Una cúpula semiesférica tiene radio \(10\ \text{m}\).
a) Calcula el área curva que debe pintarse si solo se pinta la parte exterior.
b) Calcula el área total si además se incluye la base circular.
a) Área curva:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 10^2=200\pi \]
El área curva es \(200\pi\ \text{m}^2\).
b) Área total con base:
\[ A_{\text{total}}=3\pi r^2 \]
\[ A_{\text{total}}=3\pi\cdot 10^2=300\pi \]
El área total es \(300\pi\ \text{m}^2\).
Ejercicio 3
Un recipiente semiesférico abierto tiene diámetro \(18\ \text{cm}\).
a) Calcula su volumen.
b) Calcula su área interior curva.
El diámetro es \(18\ \text{cm}\), por lo tanto:
\[ r=\frac{18}{2}=9 \]
a) Volumen:
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 9^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 729=486\pi \]
El volumen es \(486\pi\ \text{cm}^3\).
b) Área interior curva:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 9^2=162\pi \]
El área interior curva es \(162\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 4
Un objeto está formado por un cilindro de radio \(4\ \text{cm}\) y altura \(12\ \text{cm}\), con una semiesfera en cada extremo.
a) Calcula su área exterior.
b) Calcula su volumen.
Las dos semiesferas forman una esfera completa de radio \(4\ \text{cm}\).
a) Área exterior:
\[ A_{\text{lateral cilindro}}=2\pi rh \]
\[ A_{\text{lateral cilindro}}=2\pi\cdot 4\cdot 12=96\pi \]
\[ A_{\text{esfera}}=4\pi r^2=4\pi\cdot 4^2=64\pi \]
\[ A_{\text{total}}=96\pi+64\pi=160\pi \]
El área exterior es \(160\pi\ \text{cm}^2\).
b) Volumen:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 4^2\cdot 12=192\pi \]
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\cdot 4^3=\frac{256}{3}\pi \]
\[ V_{\text{total}}=192\pi+\frac{256}{3}\pi \]
\[ V_{\text{total}}=\frac{576}{3}\pi+\frac{256}{3}\pi=\frac{832}{3}\pi \]
El volumen total es \(\frac{832}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 5
Una esfera tiene área superficial \(196\pi\ \text{cm}^2\).
a) Determina su radio.
b) Calcula el volumen de una semiesfera con ese mismo radio.
a) Radio:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ 196\pi=4\pi r^2 \]
Dividimos por \(4\pi\):
\[ 49=r^2 \]
\[ r=7 \]
b) Volumen de la semiesfera:
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 7^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 343=\frac{686}{3}\pi \]
El volumen de la semiesfera es \(\frac{686}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 6
Dos semiesferas de radio \(5\ \text{cm}\) se unen por sus bases circulares para formar una esfera completa.
a) Calcula el área exterior del sólido formado.
b) Calcula su volumen.
Al unir dos semiesferas por sus bases, se forma una esfera completa. Las bases circulares quedan al interior y no forman parte del área exterior.
a) Área exterior:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi\cdot 5^2=4\pi\cdot 25=100\pi \]
El área exterior es \(100\pi\ \text{cm}^2\).
b) Volumen:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 5^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 125=\frac{500}{3}\pi \]
El volumen es \(\frac{500}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 7
Una cúpula semiesférica tiene diámetro \(24\ \text{m}\). Se pintará solo la parte curva. Si \(1\) litro de pintura cubre \(20\ \text{m}^2\), ¿cuántos litros se necesitan? Usa \(\pi\approx 3{,}14\).
Primero calculamos el radio:
\[ r=\frac{24}{2}=12 \]
Como se pinta solo la parte curva:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 12^2=288\pi \]
Usando \(\pi\approx 3{,}14\):
\[ A_{\text{curva}}\approx 288\cdot 3{,}14=904{,}32 \]
El área a pintar es aproximadamente \(904{,}32\ \text{m}^2\).
Si \(1\) litro cubre \(20\ \text{m}^2\), entonces:
\[ \frac{904{,}32}{20}=45{,}216 \]
Se necesitan más de \(45\) litros. Si se compran litros completos, se necesitan \(46\) litros de pintura.
Ejercicio 8
Un sólido está formado por un cilindro de radio \(3\ \text{cm}\) y dos semiesferas en sus extremos. Su área exterior es \(84\pi\ \text{cm}^2\). Determina la altura del cilindro.
El área exterior se compone del área lateral del cilindro y el área de una esfera completa:
\[ A=2\pi rh+4\pi r^2 \]
Con \(r=3\):
\[ 84\pi=2\pi\cdot 3\cdot h+4\pi\cdot 3^2 \]
\[ 84\pi=6\pi h+36\pi \]
Restamos \(36\pi\):
\[ 48\pi=6\pi h \]
Dividimos por \(6\pi\):
\[ h=8 \]
La altura del cilindro es \(8\ \text{cm}\).
Ejercicio 9
Una estudiante quiere pintar solo la parte curva de una semiesfera de radio \(4\ \text{cm}\), pero calcula:
\[ A=3\pi\cdot 4^2=48\pi \]
¿Cuál es el error? Corrige el cálculo.
El error es usar el área total de una semiesfera con base circular.
Si se pinta solo la parte curva, se usa:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
Con \(r=4\):
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 4^2 \]
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 16=32\pi \]
El área correcta es \(32\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 10
Un tanque está formado por un cilindro de radio \(5\ \text{m}\) y altura \(20\ \text{m}\), con una tapa semiesférica del mismo radio.
a) Calcula su volumen total.
b) Calcula el área exterior si se considera la superficie lateral del cilindro y la parte curva de la semiesfera, sin incluir la base inferior.
a) Volumen total:
Se suma el volumen del cilindro y el volumen de la semiesfera.
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 5^2\cdot 20=500\pi \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 5^3=\frac{250}{3}\pi \]
\[ V_{\text{total}}=500\pi+\frac{250}{3}\pi \]
\[ V_{\text{total}}=\frac{1500}{3}\pi+\frac{250}{3}\pi=\frac{1750}{3}\pi \]
El volumen total es \(\frac{1750}{3}\pi\ \text{m}^3\).
b) Área exterior:
Se suma el área lateral del cilindro y el área curva de la semiesfera.
\[ A_{\text{lateral cilindro}}=2\pi rh \]
\[ A_{\text{lateral cilindro}}=2\pi\cdot 5\cdot 20=200\pi \]
\[ A_{\text{curva semiesfera}}=2\pi r^2 \]
\[ A_{\text{curva semiesfera}}=2\pi\cdot 5^2=50\pi \]
\[ A_{\text{exterior}}=200\pi+50\pi=250\pi \]
El área exterior considerada es \(250\pi\ \text{m}^2\).
Síntesis
En problemas compuestos, no basta con reconocer una fórmula. Es necesario identificar qué partes forman el sólido y qué superficies o volúmenes realmente se deben considerar.
| Objeto | Área o volumen útil |
|---|---|
| Recipiente semiesférico abierto | \(V=\frac{2}{3}\pi r^3\), \(A_{\text{curva}}=2\pi r^2\) |
| Semiesfera cerrada con base | \(A_{\text{total}}=3\pi r^2\) |
| Cilindro con dos semiesferas | \(A=2\pi rh+4\pi r^2\), \(V=\pi r^2h+\frac{4}{3}\pi r^3\) |
| Cilindro con una tapa semiesférica | \(V=\pi r^2h+\frac{2}{3}\pi r^3\) |