Libro de Trigonometría
2. Semejanza y razones constantes en triángulos rectángulos
Objetivos de la página
- Reconocer triángulos rectángulos semejantes.
- Relacionar la semejanza con la proporcionalidad entre lados correspondientes.
- Comprobar que algunas razones entre lados se mantienen constantes cuando el ángulo agudo es el mismo.
- Usar proporcionalidad para determinar medidas faltantes en triángulos rectángulos semejantes.
Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma, aunque puedan tener distinto tamaño.
En triángulos semejantes:
- los ángulos correspondientes tienen la misma medida;
- los lados correspondientes son proporcionales.
En el caso de triángulos rectángulos, si dos triángulos tienen un ángulo recto y además comparten un mismo ángulo agudo, entonces son semejantes.
Ejemplo 1: triángulos rectángulos con la misma forma
Observa los dos triángulos rectángulos. Ambos tienen la misma forma, pero el segundo es más grande.
Si comparamos lados correspondientes:
| Lado del triángulo pequeño | Lado correspondiente del triángulo grande |
|---|---|
| \(\overline{AC}\) | \(\overline{DF}\) |
| \(\overline{CB}\) | \(\overline{FE}\) |
| \(\overline{AB}\) | \(\overline{DE}\) |
El triángulo grande se obtiene multiplicando las medidas del triángulo pequeño por un mismo número. Por eso sus lados son proporcionales.
Proporcionalidad entre lados correspondientes
Si dos triángulos son semejantes, entonces las razones entre lados correspondientes son iguales.
Por ejemplo, si un triángulo tiene lados correspondientes \(a,b,c\) y otro tiene \(a',b',c'\), entonces:
\[ \frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c} \]
Ese valor común indica cuántas veces se agrandó o redujo el triángulo.
Ejemplo 2: razones constantes
Consideremos dos triángulos rectángulos semejantes:
| Triángulo | Cateto horizontal | Cateto vertical | Hipotenusa |
|---|---|---|---|
| Triángulo 1 | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
| Triángulo 2 | \(6\) | \(8\) | \(10\) |
El segundo triángulo es el doble del primero:
\[ \frac{6}{3}=2,\qquad \frac{8}{4}=2,\qquad \frac{10}{5}=2 \]
Pero si formamos razones entre lados de un mismo triángulo, esas razones se mantienen:
\[ \frac{3}{5}=\frac{6}{10} \]
\[ \frac{4}{5}=\frac{8}{10} \]
\[ \frac{4}{3}=\frac{8}{6} \]
Esto ocurre porque los triángulos tienen la misma forma.
Idea clave
En triángulos rectángulos semejantes, aunque los lados cambien de tamaño, las razones entre lados correspondientes se mantienen.
Esta idea será la base para definir las razones trigonométricas en la próxima página.
Error frecuente
Para comparar triángulos semejantes, hay que comparar lados correspondientes.
No es correcto comparar cualquier lado con cualquier lado. Primero se debe reconocer qué lados ocupan la misma posición en ambos triángulos.
Ejercicio 1
Dos triángulos rectángulos son semejantes. El primero tiene catetos \(5\ \text{cm}\) y \(12\ \text{cm}\), e hipotenusa \(13\ \text{cm}\). El segundo se obtiene multiplicando todas las medidas por \(2\).
Completa las medidas del segundo triángulo.
Como el segundo triángulo se obtiene multiplicando todas las medidas por \(2\), calculamos:
\[ 5\cdot 2=10 \]
\[ 12\cdot 2=24 \]
\[ 13\cdot 2=26 \]
Por lo tanto, el segundo triángulo tiene catetos \(10\ \text{cm}\) y \(24\ \text{cm}\), e hipotenusa \(26\ \text{cm}\).
Ejercicio 2
Dos triángulos rectángulos semejantes tienen las siguientes medidas:
| Triángulo | Cateto menor | Cateto mayor | Hipotenusa |
|---|---|---|---|
| Triángulo 1 | \(6\) | \(8\) | \(10\) |
| Triángulo 2 | \(9\) | \(12\) | \(15\) |
Comprueba que los lados correspondientes son proporcionales.
Comparamos los lados correspondientes del segundo triángulo con los del primero:
\[ \frac{9}{6}=\frac{3}{2} \]
\[ \frac{12}{8}=\frac{3}{2} \]
\[ \frac{15}{10}=\frac{3}{2} \]
Como las tres razones son iguales, los lados correspondientes son proporcionales.
Por lo tanto, los triángulos son semejantes.
Ejercicio 3
Dos triángulos rectángulos semejantes tienen un mismo ángulo agudo de referencia. En el primero, el cateto opuesto mide \(4\) y la hipotenusa mide \(5\). En el segundo, el cateto opuesto mide \(12\).
¿Cuánto mide la hipotenusa del segundo triángulo?
Como los triángulos son semejantes, los lados correspondientes son proporcionales.
El cateto opuesto pasó de \(4\) a \(12\), por lo tanto se multiplicó por:
\[ \frac{12}{4}=3 \]
Entonces la hipotenusa también se multiplica por \(3\):
\[ 5\cdot 3=15 \]
La hipotenusa del segundo triángulo mide \(15\).
Ejercicio 4
Observa los dos triángulos rectángulos semejantes. En el triángulo pequeño, los lados miden \(3\), \(4\) y \(5\). En el triángulo grande, la hipotenusa mide \(20\).
Determina las medidas de los catetos del triángulo grande.
La hipotenusa del triángulo pequeño mide \(5\) y la del grande mide \(20\).
El factor de escala es:
\[ \frac{20}{5}=4 \]
Entonces cada cateto del triángulo pequeño se multiplica por \(4\):
\[ 3\cdot 4=12 \]
\[ 4\cdot 4=16 \]
Por lo tanto, los catetos del triángulo grande miden \(12\) y \(16\).
Ejercicio 5
En dos triángulos rectángulos semejantes se comparan las siguientes razones:
\[ \frac{6}{10} \quad \text{y} \quad \frac{9}{15} \]
¿Son equivalentes? Justifica.
Simplificamos ambas razones:
\[ \frac{6}{10}=\frac{3}{5} \]
\[ \frac{9}{15}=\frac{3}{5} \]
Como ambas razones se simplifican a \(\frac{3}{5}\), son equivalentes.
Esto puede ocurrir cuando se comparan lados correspondientes en triángulos semejantes.
Ejercicio 6
Un triángulo rectángulo tiene lados \(7\), \(24\) y \(25\). Otro triángulo rectángulo semejante tiene hipotenusa \(100\).
Determina las medidas de los otros dos lados del segundo triángulo.
En el primer triángulo, la hipotenusa es el lado mayor:
\[ 25 \]
En el segundo triángulo, la hipotenusa mide \(100\).
El factor de escala es:
\[ \frac{100}{25}=4 \]
Multiplicamos los catetos del primer triángulo por \(4\):
\[ 7\cdot 4=28 \]
\[ 24\cdot 4=96 \]
Por lo tanto, los otros dos lados del segundo triángulo miden \(28\) y \(96\).
Ejercicio 7
Una estudiante afirma que los triángulos con lados \(3,4,5\) y \(8,6,10\) no son semejantes porque escribió:
\[ \frac{8}{3}\neq \frac{6}{4} \]
¿Cuál es el error en su comparación?
El error está en comparar lados que no corresponden.
El triángulo \(3,4,5\) tiene lados correspondientes con el triángulo \(6,8,10\):
\[ 3 \leftrightarrow 6,\qquad 4 \leftrightarrow 8,\qquad 5 \leftrightarrow 10 \]
Entonces las razones correctas son:
\[ \frac{6}{3}=2 \]
\[ \frac{8}{4}=2 \]
\[ \frac{10}{5}=2 \]
Como las razones correspondientes son iguales, los triángulos sí son semejantes.
Ejercicio 8
Dos triángulos rectángulos semejantes tienen el mismo ángulo agudo de referencia. Completa la tabla de razones.
| Triángulo | Cateto opuesto | Cateto adyacente | Hipotenusa | \(\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}\) | \(\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(5\) | \(12\) | \(13\) | ... | ... |
| 2 | \(10\) | \(24\) | \(26\) | ... | ... |
Para el triángulo 1:
\[ \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{5}{13} \]
\[ \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{12}{13} \]
Para el triángulo 2:
\[ \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{10}{26}=\frac{5}{13} \]
\[ \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{24}{26}=\frac{12}{13} \]
Las razones se mantienen porque los triángulos son semejantes.
Ejercicio 9
Un triángulo rectángulo tiene, respecto de un ángulo de referencia, cateto opuesto \(6\), cateto adyacente \(8\) e hipotenusa \(10\).
Otro triángulo rectángulo semejante tiene hipotenusa \(35\).
Determina el cateto opuesto y el cateto adyacente del segundo triángulo respecto del mismo ángulo de referencia.
Las hipotenusas correspondientes son \(10\) y \(35\).
El factor de escala es:
\[ \frac{35}{10}=\frac{7}{2} \]
El cateto opuesto del segundo triángulo es:
\[ 6\cdot \frac{7}{2}=3\cdot 7=21 \]
El cateto adyacente del segundo triángulo es:
\[ 8\cdot \frac{7}{2}=4\cdot 7=28 \]
Por lo tanto, el cateto opuesto mide \(21\) y el cateto adyacente mide \(28\).
Para continuar
En la próxima página se nombrarán formalmente tres razones entre lados de un triángulo rectángulo: seno, coseno y tangente.