Libro de Trigonometría
1. Triángulos rectángulos y lados respecto de un ángulo
Objetivos de la página
- Reconocer los elementos principales de un triángulo rectángulo.
- Identificar la hipotenusa y los catetos.
- Distinguir cateto opuesto y cateto adyacente según el ángulo de referencia.
- Interpretar esquemas geométricos antes de realizar cálculos.
Triángulo rectángulo
Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de \(90^\circ\).
En un triángulo rectángulo se distinguen tres lados:
- La hipotenusa, que está frente al ángulo recto y es el lado más largo.
- Dos catetos, que forman el ángulo recto.
Lados respecto de un ángulo agudo
Para estudiar un triángulo rectángulo, primero se elige un ángulo de referencia. Generalmente se usa uno de los dos ángulos agudos.
Respecto de ese ángulo:
- El cateto opuesto es el lado que está frente al ángulo elegido.
- El cateto adyacente es el cateto que toca el ángulo elegido.
- La hipotenusa no cambia: siempre es el lado opuesto al ángulo recto.
Ejemplo 1: lados respecto del ángulo \(A\)
Observa el triángulo rectángulo \(ABC\). El ángulo recto está en \(C\), por lo tanto la hipotenusa es el lado \(\overline{AB}\).
Si el ángulo de referencia es \(A\):
- \(\overline{AB}\) es la hipotenusa.
- \(\overline{BC}\) es el cateto opuesto a \(A\), porque está frente a ese ángulo.
- \(\overline{AC}\) es el cateto adyacente a \(A\), porque toca el ángulo \(A\) y no es la hipotenusa.
Ejemplo 2: el ángulo de referencia cambia los nombres
En el mismo triángulo \(ABC\), ahora tomemos como ángulo de referencia el ángulo \(B\).
La hipotenusa sigue siendo \(\overline{AB}\), porque está frente al ángulo recto.
Pero los catetos cambian de nombre respecto del nuevo ángulo:
- \(\overline{AC}\) es el cateto opuesto a \(B\).
- \(\overline{BC}\) es el cateto adyacente a \(B\).
Por eso, los nombres “opuesto” y “adyacente” dependen del ángulo elegido.
Idea clave
La hipotenusa siempre es la misma en un triángulo rectángulo.
En cambio, el cateto opuesto y el cateto adyacente dependen del ángulo de referencia.
Error frecuente
No basta con mirar si un lado está “al lado” de un ángulo. La hipotenusa también puede tocar un ángulo agudo, pero no se llama cateto adyacente.
El cateto adyacente es el cateto que toca el ángulo de referencia. La hipotenusa nunca se considera cateto.
Ejercicio 1
En el triángulo rectángulo \(ABC\), el ángulo recto está en \(C\). Si el ángulo de referencia es \(A\), identifica:
- La hipotenusa.
- El cateto opuesto.
- El cateto adyacente.
Como el ángulo recto está en \(C\), la hipotenusa es el lado opuesto a \(C\):
\[ \overline{AB} \]
Respecto del ángulo \(A\), el lado que está al frente es \(\overline{BC}\), por lo tanto:
\[ \overline{BC} \text{ es el cateto opuesto.} \]
El cateto que toca el ángulo \(A\) es \(\overline{AC}\), por lo tanto:
\[ \overline{AC} \text{ es el cateto adyacente.} \]
Ejercicio 2
En el triángulo rectángulo \(ABC\), el ángulo recto está en \(C\). Si el ángulo de referencia es \(B\), identifica:
- La hipotenusa.
- El cateto opuesto.
- El cateto adyacente.
La hipotenusa no cambia: está frente al ángulo recto \(C\).
Por lo tanto:
\[ \overline{AB} \text{ es la hipotenusa.} \]
Respecto del ángulo \(B\), el cateto que está al frente es \(\overline{AC}\):
\[ \overline{AC} \text{ es el cateto opuesto.} \]
El cateto que toca el ángulo \(B\) es \(\overline{BC}\):
\[ \overline{BC} \text{ es el cateto adyacente.} \]
Ejercicio 3
Observa el triángulo rectángulo \(PQR\). El ángulo recto está en \(Q\). Si el ángulo de referencia es \(P\), identifica la hipotenusa, el cateto opuesto y el cateto adyacente.
El ángulo recto está en \(Q\), entonces el lado opuesto a \(Q\) es la hipotenusa:
\[ \overline{PR} \]
Respecto del ángulo \(P\), el cateto que queda al frente es \(\overline{QR}\):
\[ \overline{QR} \text{ es el cateto opuesto.} \]
El cateto que toca el ángulo \(P\) es \(\overline{PQ}\):
\[ \overline{PQ} \text{ es el cateto adyacente.} \]
Ejercicio 4
En un triángulo rectángulo \(DEF\), el ángulo recto está en \(E\). Si el ángulo de referencia es \(F\), identifica:
- La hipotenusa.
- El cateto opuesto.
- El cateto adyacente.
La hipotenusa está frente al ángulo recto \(E\), por lo tanto es:
\[ \overline{DF} \]
Respecto del ángulo \(F\), el lado que está al frente es \(\overline{DE}\), entonces:
\[ \overline{DE} \text{ es el cateto opuesto.} \]
El otro cateto, que toca al ángulo \(F\), es \(\overline{EF}\):
\[ \overline{EF} \text{ es el cateto adyacente.} \]
Ejercicio 5
En un triángulo rectángulo \(LMN\), el ángulo recto está en \(M\). Completa la información para cada ángulo de referencia.
| Ángulo de referencia | Hipotenusa | Cateto opuesto | Cateto adyacente |
|---|---|---|---|
| \(L\) | ... | ... | ... |
| \(N\) | ... | ... | ... |
Como el ángulo recto está en \(M\), la hipotenusa es el lado opuesto a \(M\):
\[ \overline{LN} \]
| Ángulo de referencia | Hipotenusa | Cateto opuesto | Cateto adyacente |
|---|---|---|---|
| \(L\) | \(\overline{LN}\) | \(\overline{MN}\) | \(\overline{LM}\) |
| \(N\) | \(\overline{LN}\) | \(\overline{LM}\) | \(\overline{MN}\) |
La hipotenusa se mantiene, pero los catetos opuesto y adyacente cambian según el ángulo elegido.
Ejercicio 6
En un triángulo rectángulo \(ABC\), el ángulo recto está en \(C\). Decide si cada afirmación es verdadera o falsa.
- \(\overline{AB}\) es la hipotenusa.
- Respecto del ángulo \(A\), \(\overline{AC}\) es el cateto opuesto.
- Respecto del ángulo \(B\), \(\overline{AC}\) es el cateto opuesto.
- La hipotenusa cambia si cambia el ángulo de referencia.
- Verdadera. Como el ángulo recto está en \(C\), el lado opuesto es \(\overline{AB}\), que corresponde a la hipotenusa.
- Falsa. Respecto de \(A\), \(\overline{AC}\) toca el ángulo y es un cateto; por lo tanto, es el cateto adyacente.
- Verdadera. Respecto de \(B\), el lado que queda al frente es \(\overline{AC}\), por lo tanto es el cateto opuesto.
- Falsa. La hipotenusa siempre es el lado opuesto al ángulo recto; no cambia al cambiar el ángulo de referencia.
Ejercicio 7
Un estudiante observa un triángulo rectángulo \(RST\), con ángulo recto en \(S\), y afirma:
“Si el ángulo de referencia es \(R\), entonces \(\overline{RT}\) es el cateto adyacente, porque toca el ángulo \(R\)”.
¿Cuál es el error en su razonamiento?
El error es olvidar que \(\overline{RT}\) es la hipotenusa.
Como el ángulo recto está en \(S\), el lado opuesto a \(S\) es:
\[ \overline{RT} \]
Por lo tanto, \(\overline{RT}\) es la hipotenusa, aunque toque el ángulo \(R\).
El cateto adyacente a \(R\) debe ser un cateto, no la hipotenusa. En este caso, el cateto adyacente a \(R\) es \(\overline{RS}\).
Ejercicio 8
Un triángulo rectángulo tiene lados de longitudes \(5\ \text{cm}\), \(12\ \text{cm}\) y \(13\ \text{cm}\).
a) ¿Cuál lado debe ser la hipotenusa?
b) Si el ángulo de referencia está entre los lados de \(5\ \text{cm}\) y \(13\ \text{cm}\), ¿cuál cateto es adyacente a ese ángulo?
c) ¿Cuál cateto es opuesto a ese ángulo?
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el lado más largo.
Como \(13\ \text{cm}\) es el lado de mayor longitud, entonces:
\[ 13\ \text{cm} \text{ es la hipotenusa.} \]
El ángulo de referencia está entre los lados de \(5\ \text{cm}\) y \(13\ \text{cm}\).
Como \(13\ \text{cm}\) es la hipotenusa, no puede ser cateto adyacente.
Por lo tanto, el cateto adyacente es el lado de \(5\ \text{cm}\).
El otro cateto, que queda frente al ángulo, es el lado de \(12\ \text{cm}\).
Ejercicio 9
En un triángulo rectángulo \(ABC\), el ángulo recto está en \(C\). Explica por qué el lado \(\overline{AC}\) puede ser cateto adyacente para el ángulo \(A\), pero cateto opuesto para el ángulo \(B\).
Los nombres “opuesto” y “adyacente” dependen del ángulo de referencia.
Respecto del ángulo \(A\), el lado \(\overline{AC}\) toca el ángulo \(A\), por lo tanto es cateto adyacente.
Pero respecto del ángulo \(B\), el lado \(\overline{AC}\) queda frente a ese ángulo, por lo tanto es cateto opuesto.
Esto muestra que un mismo cateto puede recibir nombres distintos si cambia el ángulo de referencia.
Para continuar
En la próxima página se estudiará cómo los triángulos rectángulos semejantes conservan razones entre sus lados.