3. Seno, coseno y tangente en triángulos rectángulos

Objetivos de la página

  • Definir seno, coseno y tangente en un triángulo rectángulo.
  • Relacionar cada razón trigonométrica con cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa.
  • Escribir razones trigonométricas a partir de un ángulo de referencia.
  • Reconocer errores frecuentes al identificar los lados usados en cada razón.

Razones trigonométricas

En un triángulo rectángulo, si elegimos un ángulo agudo de referencia \(\theta\), podemos formar razones entre sus lados.

Estas razones reciben nombres especiales: seno, coseno y tangente.

Como vimos en la página anterior, en triángulos rectángulos semejantes estas razones se mantienen constantes si el ángulo de referencia es el mismo.

Definiciones

Respecto de un ángulo agudo \(\theta\):

\[ \sin(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]

\[ \cos(\theta)=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]

\[ \tan(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} \]

Idea para recordar

Una forma breve de recordar las razones es:

Razón Se forma con...
\(\sin(\theta)\) opuesto sobre hipotenusa
\(\cos(\theta)\) adyacente sobre hipotenusa
\(\tan(\theta)\) opuesto sobre adyacente

Ejemplo 1: razones respecto del ángulo \(A\)

En el triángulo rectángulo \(ABC\), el ángulo recto está en \(C\). Las medidas son \(AC=4\), \(BC=3\) y \(AB=5\).

Respecto del ángulo \(A\):

  • cateto opuesto: \(\overline{BC}=3\),
  • cateto adyacente: \(\overline{AC}=4\),
  • hipotenusa: \(\overline{AB}=5\).

Por lo tanto:

\[ \sin(A)=\frac{3}{5} \]

\[ \cos(A)=\frac{4}{5} \]

\[ \tan(A)=\frac{3}{4} \]

Ejemplo 2: razones respecto del ángulo \(B\)

Usamos el mismo triángulo rectángulo \(ABC\), pero ahora el ángulo de referencia es \(B\).

La hipotenusa sigue siendo \(\overline{AB}=5\), pero los catetos opuesto y adyacente cambian respecto del nuevo ángulo.

Respecto del ángulo \(B\):

  • cateto opuesto: \(\overline{AC}=4\),
  • cateto adyacente: \(\overline{BC}=3\),
  • hipotenusa: \(\overline{AB}=5\).

Entonces:

\[ \sin(B)=\frac{4}{5} \]

\[ \cos(B)=\frac{3}{5} \]

\[ \tan(B)=\frac{4}{3} \]

Ejemplo 3: reconocer la razón correcta

Respecto de un ángulo \(\theta\), en un triángulo rectángulo se sabe que:

  • cateto opuesto: \(8\),
  • cateto adyacente: \(15\),
  • hipotenusa: \(17\).

Entonces:

\[ \sin(\theta)=\frac{8}{17} \]

\[ \cos(\theta)=\frac{15}{17} \]

\[ \tan(\theta)=\frac{8}{15} \]

Observa que la tangente no usa la hipotenusa.

Error frecuente

Un error común es creer que el cateto adyacente es cualquier lado que toca el ángulo.

La hipotenusa puede tocar un ángulo agudo, pero nunca se considera cateto adyacente.

Primero identifica la hipotenusa. Luego identifica el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Ejercicio 1

Completa las definiciones:

  1. \(\sin(\theta)=\frac{\text{...}}{\text{...}}\)
  2. \(\cos(\theta)=\frac{\text{...}}{\text{...}}\)
  3. \(\tan(\theta)=\frac{\text{...}}{\text{...}}\)

Ejercicio 2

Respecto de un ángulo \(\theta\), en un triángulo rectángulo se tiene:

  • cateto opuesto: \(7\),
  • cateto adyacente: \(24\),
  • hipotenusa: \(25\).

Escribe \(\sin(\theta)\), \(\cos(\theta)\) y \(\tan(\theta)\).

Ejercicio 3

En un triángulo rectángulo \(ABC\), el ángulo recto está en \(C\). Las medidas son \(AC=12\), \(BC=5\) y \(AB=13\).

Respecto del ángulo \(A\), escribe \(\sin(A)\), \(\cos(A)\) y \(\tan(A)\).

Ejercicio 4

En el mismo triángulo rectángulo \(ABC\), el ángulo recto está en \(C\), con \(AC=12\), \(BC=5\) y \(AB=13\).

Ahora escribe \(\sin(B)\), \(\cos(B)\) y \(\tan(B)\).

Ejercicio 5

Observa el triángulo rectángulo \(DEF\). El ángulo recto está en \(E\). Las medidas son \(DE=8\), \(EF=15\) y \(DF=17\).

Respecto del ángulo \(D\), escribe \(\sin(D)\), \(\cos(D)\) y \(\tan(D)\).

Ejercicio 6

Respecto de un ángulo \(\theta\), se sabe que:

Cateto opuesto Cateto adyacente Hipotenusa
\(9\) \(12\) \(15\)

Completa la tabla:

Razón Valor
\(\sin(\theta)\) ...
\(\cos(\theta)\) ...
\(\tan(\theta)\) ...

Ejercicio 7

Una estudiante escribe lo siguiente:

\[ \sin(\theta)=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]

¿Cuál es el error? Corrige la definición.

Ejercicio 8

Un estudiante afirma:

“La tangente se calcula con el cateto opuesto y la hipotenusa, porque esas dos medidas son las más importantes”.

¿Es correcta la afirmación? Justifica.

Ejercicio 9

En un triángulo rectángulo \(PQR\), el ángulo recto está en \(Q\). Las medidas son \(PQ=20\), \(QR=21\) y \(PR=29\).

a) Respecto del ángulo \(P\), escribe \(\sin(P)\), \(\cos(P)\) y \(\tan(P)\).

b) Respecto del ángulo \(R\), escribe \(\sin(R)\), \(\cos(R)\) y \(\tan(R)\).

Ejercicio 10

Respecto de un ángulo \(\theta\), en un triángulo rectángulo se nombran los lados de esta forma:

  • cateto opuesto: \(a\),
  • cateto adyacente: \(b\),
  • hipotenusa: \(c\).

Escribe \(\sin(\theta)\), \(\cos(\theta)\) y \(\tan(\theta)\) usando \(a\), \(b\) y \(c\).

Para continuar

En la próxima página se estudiarán los valores de seno, coseno y tangente para ángulos especiales como \(30^\circ\), \(45^\circ\) y \(60^\circ\).