Libro de Trigonometría
4. Ángulos especiales y razones trigonométricas
Objetivos de la página
- Reconocer los valores exactos de seno, coseno y tangente para \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) y \(90^\circ\).
- Relacionar los valores de \(30^\circ\), \(45^\circ\) y \(60^\circ\) con triángulos rectángulos especiales.
- Usar valores exactos de razones trigonométricas sin depender de calculadora.
- Identificar errores frecuentes al recordar o aplicar estos valores.
¿Por qué estudiar ángulos especiales?
Algunos ángulos aparecen con mucha frecuencia en geometría, trigonometría y vectores. Por eso conviene conocer sus razones trigonométricas exactas.
En esta página trabajaremos con:
\[ 0^\circ,\quad 30^\circ,\quad 45^\circ,\quad 60^\circ,\quad 90^\circ \]
Los valores de \(30^\circ\), \(45^\circ\) y \(60^\circ\) pueden obtenerse desde triángulos rectángulos especiales.
Ejemplo 1: triángulo \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\)
Un triángulo equilátero de lado \(2\) puede dividirse en dos triángulos rectángulos congruentes. Cada uno tiene ángulos \(30^\circ\), \(60^\circ\) y \(90^\circ\).
En el triángulo rectángulo \(ACD\):
- la hipotenusa mide \(2\),
- el cateto menor mide \(1\),
- el otro cateto mide \(\sqrt{3}\).
Respecto del ángulo de \(30^\circ\):
\[ \sin(30^\circ)=\frac{1}{2} \]
\[ \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \]
Respecto del ángulo de \(60^\circ\):
\[ \sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \cos(60^\circ)=\frac{1}{2} \]
\[ \tan(60^\circ)=\sqrt{3} \]
Ejemplo 2: triángulo \(45^\circ-45^\circ-90^\circ\)
Si un cuadrado de lado \(1\) se divide por su diagonal, se forman dos triángulos rectángulos isósceles. Cada uno tiene ángulos \(45^\circ\), \(45^\circ\) y \(90^\circ\).
En este triángulo, los catetos miden \(1\) y la hipotenusa mide \(\sqrt{2}\).
Entonces, respecto de un ángulo de \(45^\circ\):
\[ \sin(45^\circ)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \cos(45^\circ)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \tan(45^\circ)=\frac{1}{1}=1 \]
Tabla de valores especiales
| \(\theta\) | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin(\theta)\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) |
| \(\cos(\theta)\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\tan(\theta)\) | \(0\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | No definida |
Atención con \(90^\circ\)
La tangente de \(90^\circ\) no está definida.
Esto se debe a que en ese caso el valor de \(\cos(90^\circ)\) es \(0\), y no se puede dividir por \(0\).
Ejemplo 3: usar valores exactos
Calcula:
\[ 4\sin(30^\circ)+2\cos(60^\circ) \]
Usamos la tabla:
\[ \sin(30^\circ)=\frac{1}{2} \]
\[ \cos(60^\circ)=\frac{1}{2} \]
Reemplazamos:
\[ 4\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{2} \]
\[ 2+1=3 \]
Por lo tanto:
\[ 4\sin(30^\circ)+2\cos(60^\circ)=3 \]
Ejercicio 1
Completa los valores:
- \(\sin(30^\circ)=\)
- \(\cos(30^\circ)=\)
- \(\tan(30^\circ)=\)
- \(\sin(60^\circ)=\)
- \(\cos(60^\circ)=\)
- \(\tan(60^\circ)=\)
- \(\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}\)
- \(\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
- \(\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}\)
- \(\tan(60^\circ)=\sqrt{3}\)
Ejercicio 2
En un triángulo \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\), la hipotenusa mide \(2\), el cateto menor mide \(1\) y el otro cateto mide \(\sqrt{3}\).
Respecto del ángulo de \(30^\circ\), escribe \(\sin(30^\circ)\), \(\cos(30^\circ)\) y \(\tan(30^\circ)\).
Respecto del ángulo de \(30^\circ\):
- cateto opuesto: \(1\),
- cateto adyacente: \(\sqrt{3}\),
- hipotenusa: \(2\).
Entonces:
\[ \sin(30^\circ)=\frac{1}{2} \]
\[ \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \]
Ejercicio 3
En un triángulo \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\), la hipotenusa mide \(2\), el cateto menor mide \(1\) y el otro cateto mide \(\sqrt{3}\).
Respecto del ángulo de \(60^\circ\), escribe \(\sin(60^\circ)\), \(\cos(60^\circ)\) y \(\tan(60^\circ)\).
Respecto del ángulo de \(60^\circ\):
- cateto opuesto: \(\sqrt{3}\),
- cateto adyacente: \(1\),
- hipotenusa: \(2\).
Entonces:
\[ \sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \cos(60^\circ)=\frac{1}{2} \]
\[ \tan(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3} \]
Ejercicio 4
En un triángulo \(45^\circ-45^\circ-90^\circ\), los catetos miden \(1\) y la hipotenusa mide \(\sqrt{2}\).
Escribe \(\sin(45^\circ)\), \(\cos(45^\circ)\) y \(\tan(45^\circ)\).
Respecto de un ángulo de \(45^\circ\), un cateto es opuesto y el otro es adyacente. Ambos miden \(1\).
La hipotenusa mide \(\sqrt{2}\).
Entonces:
\[ \sin(45^\circ)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \cos(45^\circ)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \tan(45^\circ)=\frac{1}{1}=1 \]
Ejercicio 5
Completa la tabla con valores exactos:
| \(\theta\) | \(\sin(\theta)\) | \(\cos(\theta)\) | \(\tan(\theta)\) |
|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | ... | ... | ... |
| \(30^\circ\) | ... | ... | ... |
| \(45^\circ\) | ... | ... | ... |
| \(60^\circ\) | ... | ... | ... |
| \(90^\circ\) | ... | ... | ... |
| \(\theta\) | \(\sin(\theta)\) | \(\cos(\theta)\) | \(\tan(\theta)\) |
|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(30^\circ\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| \(45^\circ\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) |
| \(60^\circ\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |
| \(90^\circ\) | \(1\) | \(0\) | No definida |
Ejercicio 6
Calcula los siguientes valores exactos:
- \(6\sin(30^\circ)\)
- \(8\cos(60^\circ)\)
- \(10\sin(90^\circ)\)
- \(12\cos(0^\circ)\)
-
\[ 6\sin(30^\circ)=6\cdot \frac{1}{2}=3 \]
-
\[ 8\cos(60^\circ)=8\cdot \frac{1}{2}=4 \]
-
\[ 10\sin(90^\circ)=10\cdot 1=10 \]
-
\[ 12\cos(0^\circ)=12\cdot 1=12 \]
Ejercicio 7
Calcula:
\[ 2\sin(60^\circ)+4\cos(30^\circ) \]
Usamos los valores:
\[ \sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Reemplazamos:
\[ 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3} \]
Por lo tanto:
\[ 2\sin(60^\circ)+4\cos(30^\circ)=3\sqrt{3} \]
Ejercicio 8
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica las falsas.
- \(\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}\)
- \(\cos(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\tan(45^\circ)=1\)
- \(\tan(90^\circ)=0\)
- Verdadera, porque \(\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}\).
- Falsa, porque \(\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}\). El valor \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) corresponde a \(\sin(60^\circ)\) o a \(\cos(30^\circ)\).
- Verdadera, porque \(\tan(45^\circ)=1\).
- Falsa, porque \(\tan(90^\circ)\) no está definida.
Ejercicio 9
Para cada caso, determina el ángulo especial \(\theta\) entre \(0^\circ\) y \(90^\circ\).
- \(\sin(\theta)=\frac{1}{2}\)
- \(\cos(\theta)=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(\tan(\theta)=\sqrt{3}\)
- \(\cos(\theta)=0\)
- \(\sin(\theta)=\frac{1}{2}\), entonces \(\theta=30^\circ\).
- \(\cos(\theta)=\frac{\sqrt{2}}{2}\), entonces \(\theta=45^\circ\).
- \(\tan(\theta)=\sqrt{3}\), entonces \(\theta=60^\circ\).
- \(\cos(\theta)=0\), entonces \(\theta=90^\circ\).
Ejercicio 10
Una estudiante afirma que:
\[ \sin(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
porque recuerda que \(30^\circ\) y \(60^\circ\) usan \(1\) y \(\sqrt{3}\). ¿Cuál es el error? Corrige el valor.
El error es intercambiar los valores de \(30^\circ\) y \(60^\circ\).
En un triángulo \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\), frente al ángulo de \(30^\circ\) queda el cateto menor, que mide \(1\), y la hipotenusa mide \(2\).
Por eso:
\[ \sin(30^\circ)=\frac{1}{2} \]
El valor \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) corresponde a:
\[ \sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Ejercicio 11
Calcula y simplifica:
\[ 6\tan(30^\circ)+2\tan(60^\circ) \]
Usamos los valores exactos:
\[ \tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3} \]
\[ \tan(60^\circ)=\sqrt{3} \]
Reemplazamos:
\[ 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}+2\cdot \sqrt{3} \]
\[ 2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3} \]
Por lo tanto:
\[ 6\tan(30^\circ)+2\tan(60^\circ)=4\sqrt{3} \]
Para continuar
En la próxima página se estudiará cómo cambian los signos de seno, coseno y tangente cuando los ángulos se ubican en los cuatro cuadrantes.