Libro de Trigonometría
5. Razones trigonométricas en los cuatro cuadrantes
Objetivos de la página
- Ubicar ángulos en posición estándar dentro del plano cartesiano.
- Identificar el cuadrante de un ángulo entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\).
- Determinar el signo de seno, coseno y tangente según el cuadrante.
- Calcular razones trigonométricas exactas usando ángulos de referencia.
Ángulos en posición estándar
Un ángulo está en posición estándar cuando su lado inicial está sobre el eje \(x\) positivo y se mide desde ese eje en sentido antihorario.
Según dónde queda su lado final, el ángulo pertenece a uno de los cuatro cuadrantes.
La circunferencia unitaria ayuda a visualizar los signos de las razones trigonométricas:
- El valor de \(\cos(\theta)\) se relaciona con la coordenada \(x\).
- El valor de \(\sin(\theta)\) se relaciona con la coordenada \(y\).
- La tangente se relaciona con el cociente \(\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\), siempre que \(\cos(\theta)\neq 0\).
Signos por cuadrante
| Cuadrante | Intervalo del ángulo | \(\sin(\theta)\) | \(\cos(\theta)\) | \(\tan(\theta)\) |
|---|---|---|---|---|
| I | \(0^\circ<\theta<90^\circ\) | Positivo | Positivo | Positiva |
| II | \(90^\circ<\theta<180^\circ\) | Positivo | Negativo | Negativa |
| III | \(180^\circ<\theta<270^\circ\) | Negativo | Negativo | Positiva |
| IV | \(270^\circ<\theta<360^\circ\) | Negativo | Positivo | Negativa |
Ángulo de referencia
El ángulo de referencia es el ángulo agudo que forma el lado final de \(\theta\) con el eje \(x\).
Sirve para usar los valores conocidos de \(30^\circ\), \(45^\circ\) y \(60^\circ\), ajustando solo el signo según el cuadrante.
| Cuadrante | Ángulo de referencia \(\alpha\) |
|---|---|
| I | \(\alpha=\theta\) |
| II | \(\alpha=180^\circ-\theta\) |
| III | \(\alpha=\theta-180^\circ\) |
| IV | \(\alpha=360^\circ-\theta\) |
Ejemplo 1: calcular razones para \(150^\circ\)
El ángulo \(150^\circ\) está en el segundo cuadrante.
Su ángulo de referencia es:
\[ \alpha=180^\circ-150^\circ=30^\circ \]
En el segundo cuadrante:
- el seno es positivo;
- el coseno es negativo;
- la tangente es negativa.
Usamos los valores de \(30^\circ\):
\[ \sin(30^\circ)=\frac{1}{2},\qquad \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3} \]
Entonces:
\[ \sin(150^\circ)=\frac{1}{2} \]
\[ \cos(150^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \tan(150^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{3} \]
Ejemplo 2: calcular razones para \(225^\circ\)
El ángulo \(225^\circ\) está en el tercer cuadrante.
Su ángulo de referencia es:
\[ \alpha=225^\circ-180^\circ=45^\circ \]
En el tercer cuadrante:
- el seno es negativo;
- el coseno es negativo;
- la tangente es positiva.
Usamos los valores de \(45^\circ\):
\[ \sin(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \tan(45^\circ)=1 \]
Entonces:
\[ \sin(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \cos(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \tan(225^\circ)=1 \]
Ejemplo 3: visualizar ángulos especiales en distintos cuadrantes
Los siguientes puntos representan posiciones asociadas a ángulos especiales en distintos cuadrantes.
Observa que los signos de las coordenadas cambian según el cuadrante. Esto explica por qué cambian los signos de seno y coseno.
Procedimiento
- Ubica el cuadrante del ángulo.
- Calcula el ángulo de referencia.
- Usa el valor especial correspondiente.
- Aplica el signo correcto según el cuadrante.
Error frecuente
El ángulo de referencia solo entrega el valor positivo asociado al ángulo agudo.
El signo final depende del cuadrante. Por ejemplo:
\[ \cos(120^\circ)\neq \frac{1}{2} \]
Como \(120^\circ\) está en el segundo cuadrante, el coseno es negativo:
\[ \cos(120^\circ)=-\frac{1}{2} \]
Ejercicio 1
Indica el cuadrante de cada ángulo:
- \(35^\circ\)
- \(120^\circ\)
- \(210^\circ\)
- \(315^\circ\)
- \(35^\circ\) está entre \(0^\circ\) y \(90^\circ\), por lo tanto está en el cuadrante I.
- \(120^\circ\) está entre \(90^\circ\) y \(180^\circ\), por lo tanto está en el cuadrante II.
- \(210^\circ\) está entre \(180^\circ\) y \(270^\circ\), por lo tanto está en el cuadrante III.
- \(315^\circ\) está entre \(270^\circ\) y \(360^\circ\), por lo tanto está en el cuadrante IV.
Ejercicio 2
Completa el signo de cada razón trigonométrica:
- \(\sin(140^\circ)\)
- \(\cos(140^\circ)\)
- \(\tan(140^\circ)\)
- \(\sin(300^\circ)\)
- \(\cos(300^\circ)\)
- \(\tan(300^\circ)\)
El ángulo \(140^\circ\) está en el cuadrante II. En ese cuadrante:
- \(\sin\) es positivo;
- \(\cos\) es negativo;
- \(\tan\) es negativa.
Entonces:
\[ \sin(140^\circ)>0,\qquad \cos(140^\circ)<0,\qquad \tan(140^\circ)<0 \]
El ángulo \(300^\circ\) está en el cuadrante IV. En ese cuadrante:
- \(\sin\) es negativo;
- \(\cos\) es positivo;
- \(\tan\) es negativa.
Entonces:
\[ \sin(300^\circ)<0,\qquad \cos(300^\circ)>0,\qquad \tan(300^\circ)<0 \]
Ejercicio 3
Determina el ángulo de referencia de cada ángulo:
- \(120^\circ\)
- \(135^\circ\)
- \(240^\circ\)
- \(330^\circ\)
-
\(120^\circ\) está en el cuadrante II:
\[ \alpha=180^\circ-120^\circ=60^\circ \]
-
\(135^\circ\) está en el cuadrante II:
\[ \alpha=180^\circ-135^\circ=45^\circ \]
-
\(240^\circ\) está en el cuadrante III:
\[ \alpha=240^\circ-180^\circ=60^\circ \]
-
\(330^\circ\) está en el cuadrante IV:
\[ \alpha=360^\circ-330^\circ=30^\circ \]
Ejercicio 4
Calcula los valores exactos:
- \(\sin(120^\circ)\)
- \(\cos(120^\circ)\)
- \(\tan(120^\circ)\)
El ángulo \(120^\circ\) está en el cuadrante II.
Su ángulo de referencia es:
\[ \alpha=180^\circ-120^\circ=60^\circ \]
En el cuadrante II, el seno es positivo, el coseno es negativo y la tangente es negativa.
Como:
\[ \sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos(60^\circ)=\frac{1}{2},\quad \tan(60^\circ)=\sqrt{3} \]
Entonces:
\[ \sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \cos(120^\circ)=-\frac{1}{2} \]
\[ \tan(120^\circ)=-\sqrt{3} \]
Ejercicio 5
Calcula los valores exactos:
- \(\sin(210^\circ)\)
- \(\cos(210^\circ)\)
- \(\tan(210^\circ)\)
El ángulo \(210^\circ\) está en el cuadrante III.
Su ángulo de referencia es:
\[ \alpha=210^\circ-180^\circ=30^\circ \]
En el cuadrante III, el seno es negativo, el coseno es negativo y la tangente es positiva.
Como:
\[ \sin(30^\circ)=\frac{1}{2},\quad \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3} \]
Entonces:
\[ \sin(210^\circ)=-\frac{1}{2} \]
\[ \cos(210^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \tan(210^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3} \]
Ejercicio 6
Calcula los valores exactos:
- \(\sin(315^\circ)\)
- \(\cos(315^\circ)\)
- \(\tan(315^\circ)\)
El ángulo \(315^\circ\) está en el cuadrante IV.
Su ángulo de referencia es:
\[ \alpha=360^\circ-315^\circ=45^\circ \]
En el cuadrante IV, el seno es negativo, el coseno es positivo y la tangente es negativa.
Como:
\[ \sin(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \tan(45^\circ)=1 \]
Entonces:
\[ \sin(315^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \cos(315^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \tan(315^\circ)=-1 \]
Ejercicio 7
Completa la tabla con valores exactos:
| \(\theta\) | Cuadrante | Ángulo de referencia | \(\sin(\theta)\) | \(\cos(\theta)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(150^\circ\) | ... | ... | ... | ... |
| \(240^\circ\) | ... | ... | ... | ... |
| \(300^\circ\) | ... | ... | ... | ... |
| \(\theta\) | Cuadrante | Ángulo de referencia | \(\sin(\theta)\) | \(\cos(\theta)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(150^\circ\) | II | \(30^\circ\) | \(\frac{1}{2}\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) |
| \(240^\circ\) | III | \(60^\circ\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(-\frac{1}{2}\) |
| \(300^\circ\) | IV | \(60^\circ\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
En cada caso se usa el valor del ángulo de referencia y luego se ajusta el signo según el cuadrante.
Ejercicio 8
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica las falsas.
- \(\sin(150^\circ)=\frac{1}{2}\)
- \(\cos(240^\circ)=\frac{1}{2}\)
- \(\tan(225^\circ)=1\)
- \(\sin(330^\circ)=\frac{1}{2}\)
- Verdadera. \(150^\circ\) está en el cuadrante II y su referencia es \(30^\circ\). El seno es positivo, por eso \(\sin(150^\circ)=\frac{1}{2}\).
- Falsa. \(240^\circ\) está en el cuadrante III, donde el coseno es negativo. Como su referencia es \(60^\circ\), se tiene \(\cos(240^\circ)=-\frac{1}{2}\).
- Verdadera. \(225^\circ\) está en el cuadrante III, donde la tangente es positiva. Su referencia es \(45^\circ\), entonces \(\tan(225^\circ)=1\).
- Falsa. \(330^\circ\) está en el cuadrante IV, donde el seno es negativo. Como su referencia es \(30^\circ\), se tiene \(\sin(330^\circ)=-\frac{1}{2}\).
Ejercicio 9
Calcula:
\[ 4\sin(150^\circ)+2\cos(300^\circ) \]
Calculamos cada valor:
\[ \sin(150^\circ)=\frac{1}{2} \]
\[ \cos(300^\circ)=\frac{1}{2} \]
Reemplazamos:
\[ 4\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{2} \]
\[ 2+1=3 \]
Por lo tanto:
\[ 4\sin(150^\circ)+2\cos(300^\circ)=3 \]
Ejercicio 10
Una estudiante afirma:
\[ \cos(210^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
porque \(210^\circ\) tiene ángulo de referencia \(30^\circ\). ¿Cuál es el error? Corrige el valor.
La estudiante identificó correctamente el ángulo de referencia:
\[ 210^\circ-180^\circ=30^\circ \]
Pero olvidó considerar el signo según el cuadrante.
El ángulo \(210^\circ\) está en el cuadrante III, donde el coseno es negativo.
Como:
\[ \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Entonces:
\[ \cos(210^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Ejercicio 11
Completa con un ángulo entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\) que cumpla cada condición:
- Su ángulo de referencia es \(30^\circ\) y está en el cuadrante II.
- Su ángulo de referencia es \(45^\circ\) y está en el cuadrante III.
- Su ángulo de referencia es \(60^\circ\) y está en el cuadrante IV.
-
En el cuadrante II:
\[ \theta=180^\circ-30^\circ=150^\circ \]
-
En el cuadrante III:
\[ \theta=180^\circ+45^\circ=225^\circ \]
-
En el cuadrante IV:
\[ \theta=360^\circ-60^\circ=300^\circ \]
Para continuar
En la próxima página se calcularán razones trigonométricas desde los lados de un triángulo, incluyendo simplificación de fracciones y lectura cuidadosa del ángulo de referencia.