Libro de Trigonometría
6. Calcular razones trigonométricas desde los lados de un triángulo
Objetivos de la página
- Calcular seno, coseno y tangente a partir de las medidas de un triángulo rectángulo.
- Identificar correctamente cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa según el ángulo de referencia.
- Simplificar razones trigonométricas cuando sea posible.
- Usar el teorema de Pitágoras cuando falte una medida del triángulo.
Definiciones necesarias
Respecto de un ángulo agudo \(\theta\) en un triángulo rectángulo:
\[ \sin(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]
\[ \cos(\theta)=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]
\[ \tan(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} \]
Procedimiento
- Ubica el ángulo de referencia.
- Identifica la hipotenusa: siempre está frente al ángulo recto.
- Identifica el cateto opuesto y el cateto adyacente respecto del ángulo elegido.
- Escribe las razones \(\sin\), \(\cos\) y \(\tan\).
- Simplifica las fracciones cuando sea posible.
Ejemplo 1: calcular razones desde un triángulo \(5-12-13\)
En el triángulo rectángulo \(ABC\), el ángulo recto está en \(C\). Las medidas son \(AC=12\), \(BC=5\) y \(AB=13\).
Respecto del ángulo \(A\):
- cateto opuesto: \(BC=5\),
- cateto adyacente: \(AC=12\),
- hipotenusa: \(AB=13\).
Entonces:
\[ \sin(A)=\frac{5}{13} \]
\[ \cos(A)=\frac{12}{13} \]
\[ \tan(A)=\frac{5}{12} \]
Ejemplo 2: el mismo triángulo, otro ángulo
En el mismo triángulo, ahora usamos como referencia el ángulo \(B\).
La hipotenusa sigue siendo \(AB=13\), pero los catetos opuesto y adyacente cambian.
Respecto del ángulo \(B\):
- cateto opuesto: \(AC=12\),
- cateto adyacente: \(BC=5\),
- hipotenusa: \(AB=13\).
Entonces:
\[ \sin(B)=\frac{12}{13} \]
\[ \cos(B)=\frac{5}{13} \]
\[ \tan(B)=\frac{12}{5} \]
Este ejemplo muestra que las razones dependen del ángulo de referencia.
Ejemplo 3: calcular una medida faltante antes de escribir razones
En un triángulo rectángulo, respecto de un ángulo \(\theta\), el cateto opuesto mide \(8\) y la hipotenusa mide \(17\). Calcula \(\sin(\theta)\), \(\cos(\theta)\) y \(\tan(\theta)\).
Falta el cateto adyacente. Usamos el teorema de Pitágoras:
\[ 17^2=8^2+a^2 \]
\[ 289=64+a^2 \]
\[ a^2=225 \]
\[ a=15 \]
Entonces, respecto de \(\theta\):
- cateto opuesto: \(8\),
- cateto adyacente: \(15\),
- hipotenusa: \(17\).
Por lo tanto:
\[ \sin(\theta)=\frac{8}{17} \]
\[ \cos(\theta)=\frac{15}{17} \]
\[ \tan(\theta)=\frac{8}{15} \]
Error frecuente
No calcules las razones antes de identificar el ángulo de referencia.
En un mismo triángulo, por ejemplo, \(\sin(A)\) puede ser distinto de \(\sin(B)\), porque cambia el cateto opuesto.
Ejercicio 1
Respecto de un ángulo \(\theta\), en un triángulo rectángulo se tiene:
- cateto opuesto: \(9\),
- cateto adyacente: \(12\),
- hipotenusa: \(15\).
Calcula \(\sin(\theta)\), \(\cos(\theta)\) y \(\tan(\theta)\), simplificando cuando sea posible.
Aplicamos las definiciones:
\[ \sin(\theta)=\frac{9}{15} \]
Simplificamos por \(3\):
\[ \sin(\theta)=\frac{3}{5} \]
\[ \cos(\theta)=\frac{12}{15} \]
Simplificamos por \(3\):
\[ \cos(\theta)=\frac{4}{5} \]
\[ \tan(\theta)=\frac{9}{12} \]
Simplificamos por \(3\):
\[ \tan(\theta)=\frac{3}{4} \]
Ejercicio 2
En un triángulo rectángulo \(ABC\), el ángulo recto está en \(C\). Las medidas son \(AC=8\), \(BC=15\) y \(AB=17\).
Respecto del ángulo \(A\), calcula \(\sin(A)\), \(\cos(A)\) y \(\tan(A)\).
Como el ángulo recto está en \(C\), la hipotenusa es \(AB=17\).
Respecto del ángulo \(A\):
- cateto opuesto: \(BC=15\),
- cateto adyacente: \(AC=8\),
- hipotenusa: \(AB=17\).
Entonces:
\[ \sin(A)=\frac{15}{17} \]
\[ \cos(A)=\frac{8}{17} \]
\[ \tan(A)=\frac{15}{8} \]
Ejercicio 3
En el mismo triángulo rectángulo \(ABC\), con ángulo recto en \(C\), \(AC=8\), \(BC=15\) y \(AB=17\), calcula \(\sin(B)\), \(\cos(B)\) y \(\tan(B)\).
La hipotenusa sigue siendo \(AB=17\).
Respecto del ángulo \(B\):
- cateto opuesto: \(AC=8\),
- cateto adyacente: \(BC=15\),
- hipotenusa: \(AB=17\).
Entonces:
\[ \sin(B)=\frac{8}{17} \]
\[ \cos(B)=\frac{15}{17} \]
\[ \tan(B)=\frac{8}{15} \]
Ejercicio 4
Observa el triángulo rectángulo \(PQR\). El ángulo recto está en \(Q\), con \(PQ=7\), \(QR=24\) y \(PR=25\).
Respecto del ángulo \(P\), calcula \(\sin(P)\), \(\cos(P)\) y \(\tan(P)\).
El ángulo recto está en \(Q\), por lo tanto la hipotenusa es \(PR=25\).
Respecto del ángulo \(P\):
- cateto opuesto: \(QR=24\),
- cateto adyacente: \(PQ=7\),
- hipotenusa: \(PR=25\).
Entonces:
\[ \sin(P)=\frac{24}{25} \]
\[ \cos(P)=\frac{7}{25} \]
\[ \tan(P)=\frac{24}{7} \]
Ejercicio 5
En un triángulo rectángulo, respecto de un ángulo \(\theta\), el cateto opuesto mide \(12\) y la hipotenusa mide \(13\).
Calcula el cateto adyacente y luego determina \(\sin(\theta)\), \(\cos(\theta)\) y \(\tan(\theta)\).
Usamos el teorema de Pitágoras. Si el cateto adyacente es \(a\):
\[ 13^2=12^2+a^2 \]
\[ 169=144+a^2 \]
\[ a^2=25 \]
\[ a=5 \]
Entonces:
- cateto opuesto: \(12\),
- cateto adyacente: \(5\),
- hipotenusa: \(13\).
Por lo tanto:
\[ \sin(\theta)=\frac{12}{13} \]
\[ \cos(\theta)=\frac{5}{13} \]
\[ \tan(\theta)=\frac{12}{5} \]
Ejercicio 6
En un triángulo rectángulo, respecto de un ángulo \(\theta\), el cateto adyacente mide \(20\) y la hipotenusa mide \(29\).
Calcula el cateto opuesto y luego determina \(\sin(\theta)\), \(\cos(\theta)\) y \(\tan(\theta)\).
Si el cateto opuesto es \(o\), usamos Pitágoras:
\[ 29^2=20^2+o^2 \]
\[ 841=400+o^2 \]
\[ o^2=441 \]
\[ o=21 \]
Entonces:
- cateto opuesto: \(21\),
- cateto adyacente: \(20\),
- hipotenusa: \(29\).
Por lo tanto:
\[ \sin(\theta)=\frac{21}{29} \]
\[ \cos(\theta)=\frac{20}{29} \]
\[ \tan(\theta)=\frac{21}{20} \]
Ejercicio 7
En un triángulo rectángulo \(ABC\), el ángulo recto está en \(C\). Las medidas son \(AC=9\), \(BC=40\) y \(AB=41\).
a) Calcula \(\sin(A)\), \(\cos(A)\) y \(\tan(A)\).
b) Calcula \(\sin(B)\), \(\cos(B)\) y \(\tan(B)\).
Como el ángulo recto está en \(C\), la hipotenusa es \(AB=41\).
a) Respecto del ángulo \(A\):
- cateto opuesto: \(BC=40\),
- cateto adyacente: \(AC=9\),
- hipotenusa: \(AB=41\).
\[ \sin(A)=\frac{40}{41} \]
\[ \cos(A)=\frac{9}{41} \]
\[ \tan(A)=\frac{40}{9} \]
b) Respecto del ángulo \(B\):
- cateto opuesto: \(AC=9\),
- cateto adyacente: \(BC=40\),
- hipotenusa: \(AB=41\).
\[ \sin(B)=\frac{9}{41} \]
\[ \cos(B)=\frac{40}{41} \]
\[ \tan(B)=\frac{9}{40} \]
Ejercicio 8
Una estudiante afirma que, en un triángulo rectángulo con cateto opuesto \(6\), cateto adyacente \(8\) e hipotenusa \(10\), se cumple:
\[ \tan(\theta)=\frac{6}{10} \]
¿Cuál es el error? Corrige el valor de \(\tan(\theta)\).
El error es usar la hipotenusa para calcular la tangente.
La tangente se define como:
\[ \tan(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} \]
Entonces:
\[ \tan(\theta)=\frac{6}{8} \]
Simplificamos por \(2\):
\[ \tan(\theta)=\frac{3}{4} \]
El valor \(\frac{6}{10}\) corresponde a \(\sin(\theta)\), no a \(\tan(\theta)\).
Ejercicio 9
En un triángulo rectángulo \(DEF\), el ángulo recto está en \(E\). Las medidas son \(DE=28\), \(EF=45\) y \(DF=53\).
Completa la tabla.
| Ángulo | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tan\) |
|---|---|---|---|
| \(D\) | ... | ... | ... |
| \(F\) | ... | ... | ... |
Como el ángulo recto está en \(E\), la hipotenusa es \(DF=53\).
Respecto del ángulo \(D\):
- opuesto: \(EF=45\),
- adyacente: \(DE=28\),
- hipotenusa: \(DF=53\).
Respecto del ángulo \(F\):
- opuesto: \(DE=28\),
- adyacente: \(EF=45\),
- hipotenusa: \(DF=53\).
| Ángulo | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tan\) |
|---|---|---|---|
| \(D\) | \(\frac{45}{53}\) | \(\frac{28}{53}\) | \(\frac{45}{28}\) |
| \(F\) | \(\frac{28}{53}\) | \(\frac{45}{53}\) | \(\frac{28}{45}\) |
Ejercicio 10
En un triángulo rectángulo, respecto de un ángulo \(\theta\), se tiene:
\[ \sin(\theta)=\frac{5}{13} \]
Además, la hipotenusa mide \(26\). Determina el cateto opuesto, el cateto adyacente y luego calcula \(\cos(\theta)\) y \(\tan(\theta)\).
Como:
\[ \sin(\theta)=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{5}{13} \]
Si la hipotenusa mide \(26\), el factor de escala es:
\[ \frac{26}{13}=2 \]
Entonces el cateto opuesto mide:
\[ 5\cdot 2=10 \]
Para hallar el cateto adyacente, usamos el triángulo proporcional \(5-12-13\). Al multiplicar por \(2\), se obtiene:
\[ 12\cdot 2=24 \]
Así, el cateto adyacente mide \(24\).
Luego:
\[ \cos(\theta)=\frac{24}{26}=\frac{12}{13} \]
\[ \tan(\theta)=\frac{10}{24}=\frac{5}{12} \]
Para continuar
En la próxima página se usará seno, coseno y tangente para determinar medidas de lados desconocidos en triángulos rectángulos.