Libro de Trigonometría
7. Determinar lados usando razones trigonométricas
Determinar lados usando razones trigonométricas
Objetivos de la página
- Usar seno, coseno y tangente para determinar lados desconocidos en triángulos rectángulos.
- Escoger la razón trigonométrica adecuada según los datos disponibles.
- Trabajar con valores exactos de ángulos especiales.
- Resolver ecuaciones simples asociadas a razones trigonométricas.
Razones trigonométricas
Respecto de un ángulo agudo \(\theta\) en un triángulo rectángulo:
\[ \sin(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]
\[ \cos(\theta)=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]
\[ \tan(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} \]
Cómo elegir la razón adecuada
Para determinar un lado desconocido, conviene mirar qué lados aparecen en el problema.
| Datos involucrados | Razón útil |
|---|---|
| Cateto opuesto e hipotenusa | \(\sin(\theta)\) |
| Cateto adyacente e hipotenusa | \(\cos(\theta)\) |
| Cateto opuesto y cateto adyacente | \(\tan(\theta)\) |
Ejemplo 1: encontrar un cateto usando seno
En el triángulo rectángulo \(ABC\), el ángulo recto está en \(C\), la hipotenusa mide \(12\ \text{cm}\) y el ángulo de referencia es \(30^\circ\). Calcula el cateto opuesto a \(30^\circ\).
Como conocemos la hipotenusa y queremos el cateto opuesto, usamos seno:
\[ \sin(30^\circ)=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]
Reemplazamos:
\[ \frac{1}{2}=\frac{x}{12} \]
Multiplicamos por \(12\):
\[ x=12\cdot \frac{1}{2}=6 \]
El cateto opuesto mide \(6\ \text{cm}\).
Ejemplo 2: encontrar un cateto usando coseno
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide \(20\ \text{m}\) y el ángulo de referencia es \(60^\circ\). Calcula el cateto adyacente.
Como conocemos la hipotenusa y queremos el cateto adyacente, usamos coseno:
\[ \cos(60^\circ)=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]
Reemplazamos:
\[ \frac{1}{2}=\frac{x}{20} \]
Multiplicamos por \(20\):
\[ x=20\cdot \frac{1}{2}=10 \]
El cateto adyacente mide \(10\ \text{m}\).
Ejemplo 3: encontrar un cateto usando tangente
En un triángulo rectángulo, el ángulo de referencia es \(45^\circ\) y el cateto adyacente mide \(9\ \text{cm}\). Calcula el cateto opuesto.
Como se relacionan los dos catetos, usamos tangente:
\[ \tan(45^\circ)=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \]
Reemplazamos:
\[ 1=\frac{x}{9} \]
Multiplicamos por \(9\):
\[ x=9 \]
El cateto opuesto mide \(9\ \text{cm}\).
Ejemplo 4: encontrar la hipotenusa
En un triángulo rectángulo, el ángulo de referencia es \(30^\circ\) y el cateto opuesto mide \(7\ \text{cm}\). Calcula la hipotenusa.
Como conocemos el cateto opuesto y buscamos la hipotenusa, usamos seno:
\[ \sin(30^\circ)=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]
Reemplazamos:
\[ \frac{1}{2}=\frac{7}{h} \]
Multiplicamos en cruz:
\[ h=14 \]
La hipotenusa mide \(14\ \text{cm}\).
Error frecuente
No es correcto elegir una razón solo porque “recuerda” una fórmula. Primero hay que mirar qué lado se conoce y qué lado se busca.
Por ejemplo, si aparecen cateto opuesto y cateto adyacente, conviene usar tangente, no seno ni coseno.
Ejercicio 1
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide \(16\ \text{cm}\) y el ángulo de referencia es \(30^\circ\). Calcula el cateto opuesto a ese ángulo.
Conocemos la hipotenusa y buscamos el cateto opuesto, por lo tanto usamos seno:
\[ \sin(30^\circ)=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]
Como \(\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}\):
\[ \frac{1}{2}=\frac{x}{16} \]
Multiplicamos por \(16\):
\[ x=16\cdot \frac{1}{2}=8 \]
El cateto opuesto mide \(8\ \text{cm}\).
Ejercicio 2
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide \(18\ \text{m}\) y el ángulo de referencia es \(60^\circ\). Calcula el cateto adyacente a ese ángulo.
Conocemos la hipotenusa y buscamos el cateto adyacente, por lo tanto usamos coseno:
\[ \cos(60^\circ)=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]
Como \(\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}\):
\[ \frac{1}{2}=\frac{x}{18} \]
Multiplicamos por \(18\):
\[ x=18\cdot \frac{1}{2}=9 \]
El cateto adyacente mide \(9\ \text{m}\).
Ejercicio 3
En un triángulo rectángulo, el ángulo de referencia es \(45^\circ\) y el cateto adyacente mide \(11\ \text{cm}\). Calcula el cateto opuesto.
Como se conoce el cateto adyacente y se busca el cateto opuesto, usamos tangente:
\[ \tan(45^\circ)=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \]
Como \(\tan(45^\circ)=1\):
\[ 1=\frac{x}{11} \]
Multiplicamos por \(11\):
\[ x=11 \]
El cateto opuesto mide \(11\ \text{cm}\).
Ejercicio 4
En un triángulo rectángulo, el ángulo de referencia es \(30^\circ\) y el cateto opuesto mide \(10\ \text{cm}\). Calcula la hipotenusa.
Conocemos el cateto opuesto y buscamos la hipotenusa, por lo tanto usamos seno:
\[ \sin(30^\circ)=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]
Como \(\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}\):
\[ \frac{1}{2}=\frac{10}{h} \]
Multiplicamos en cruz:
\[ h=20 \]
La hipotenusa mide \(20\ \text{cm}\).
Ejercicio 5
En un triángulo rectángulo, el ángulo de referencia es \(60^\circ\) y el cateto adyacente mide \(7\ \text{m}\).
a) Calcula el cateto opuesto.
b) Calcula la hipotenusa.
a) Cateto opuesto:
Como conocemos el cateto adyacente y buscamos el opuesto, usamos tangente:
\[ \tan(60^\circ)=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \]
Como \(\tan(60^\circ)=\sqrt{3}\):
\[ \sqrt{3}=\frac{x}{7} \]
Multiplicamos por \(7\):
\[ x=7\sqrt{3} \]
El cateto opuesto mide \(7\sqrt{3}\ \text{m}\).
b) Hipotenusa:
Como conocemos el cateto adyacente y buscamos la hipotenusa, usamos coseno:
\[ \cos(60^\circ)=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]
\[ \frac{1}{2}=\frac{7}{h} \]
Multiplicamos en cruz:
\[ h=14 \]
La hipotenusa mide \(14\ \text{m}\).
Ejercicio 6
Observa el triángulo rectángulo \(ABC\). El ángulo recto está en \(C\), el ángulo de referencia es \(A=45^\circ\) y la hipotenusa mide \(12\ \text{cm}\).
a) Calcula el cateto opuesto a \(A\).
b) Calcula el cateto adyacente a \(A\).
La hipotenusa mide \(12\ \text{cm}\) y el ángulo de referencia es \(45^\circ\).
a) Cateto opuesto:
\[ \sin(45^\circ)=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]
\[ \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{x}{12} \]
\[ x=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2} \]
b) Cateto adyacente:
\[ \cos(45^\circ)=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]
\[ \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{y}{12} \]
\[ y=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2} \]
Ambos catetos miden \(6\sqrt{2}\ \text{cm}\).
Ejercicio 7
Completa la tabla indicando qué razón conviene usar y luego calcula el lado desconocido.
| Datos | Lado buscado | Ángulo | Razón conveniente | Resultado |
|---|---|---|---|---|
| Hipotenusa \(=24\) | Cateto opuesto | \(30^\circ\) | ... | ... |
| Hipotenusa \(=24\) | Cateto adyacente | \(60^\circ\) | ... | ... |
| Cateto adyacente \(=5\) | Cateto opuesto | \(45^\circ\) | ... | ... |
| Datos | Lado buscado | Ángulo | Razón conveniente | Resultado |
|---|---|---|---|---|
| Hipotenusa \(=24\) | Cateto opuesto | \(30^\circ\) | Seno | \(12\) |
| Hipotenusa \(=24\) | Cateto adyacente | \(60^\circ\) | Coseno | \(12\) |
| Cateto adyacente \(=5\) | Cateto opuesto | \(45^\circ\) | Tangente | \(5\) |
Justificación de los resultados:
\[ \sin(30^\circ)=\frac{x}{24}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{x}{24}\Rightarrow x=12 \]
\[ \cos(60^\circ)=\frac{x}{24}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{x}{24}\Rightarrow x=12 \]
\[ \tan(45^\circ)=\frac{x}{5}\Rightarrow 1=\frac{x}{5}\Rightarrow x=5 \]
Ejercicio 8
En un triángulo rectángulo, el ángulo de referencia es \(30^\circ\) y el cateto adyacente mide \(9\sqrt{3}\ \text{cm}\).
a) Calcula el cateto opuesto.
b) Calcula la hipotenusa.
a) Cateto opuesto:
Como conocemos el cateto adyacente y buscamos el opuesto, usamos tangente:
\[ \tan(30^\circ)=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \]
\[ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{9\sqrt{3}} \]
Multiplicamos por \(9\sqrt{3}\):
\[ x=9\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \]
\[ x=9\cdot \frac{3}{3}=9 \]
El cateto opuesto mide \(9\ \text{cm}\).
b) Hipotenusa:
Usamos coseno:
\[ \cos(30^\circ)=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]
\[ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{h} \]
Multiplicamos en cruz:
\[ h\sqrt{3}=18\sqrt{3} \]
Dividimos por \(\sqrt{3}\):
\[ h=18 \]
La hipotenusa mide \(18\ \text{cm}\).
Ejercicio 9
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide \(25\ \text{cm}\) y el ángulo de referencia es aproximadamente \(37^\circ\). Usa:
\[ \sin(37^\circ)\approx 0{,}60,\qquad \cos(37^\circ)\approx 0{,}80 \]
a) Calcula el cateto opuesto.
b) Calcula el cateto adyacente.
a) Cateto opuesto:
\[ \sin(37^\circ)=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]
\[ 0{,}60=\frac{x}{25} \]
\[ x=25\cdot 0{,}60=15 \]
El cateto opuesto mide aproximadamente \(15\ \text{cm}\).
b) Cateto adyacente:
\[ \cos(37^\circ)=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]
\[ 0{,}80=\frac{y}{25} \]
\[ y=25\cdot 0{,}80=20 \]
El cateto adyacente mide aproximadamente \(20\ \text{cm}\).
Ejercicio 10
Un estudiante quiere calcular el cateto opuesto a un ángulo de \(60^\circ\). Sabe que la hipotenusa mide \(10\ \text{cm}\) y escribe:
\[ \cos(60^\circ)=\frac{x}{10} \]
¿Cuál es el error? Corrige el procedimiento y calcula el cateto opuesto.
El error es usar coseno para calcular el cateto opuesto conociendo la hipotenusa.
El coseno relaciona cateto adyacente con hipotenusa. Para cateto opuesto e hipotenusa se usa seno:
\[ \sin(60^\circ)=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]
Entonces:
\[ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x}{10} \]
Multiplicamos por \(10\):
\[ x=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3} \]
El cateto opuesto mide \(5\sqrt{3}\ \text{cm}\).
Ejercicio 11
En un triángulo rectángulo, el ángulo de referencia es \(45^\circ\) y el cateto opuesto mide \(6\sqrt{2}\ \text{cm}\).
a) Calcula la hipotenusa.
b) Calcula el cateto adyacente.
a) Hipotenusa:
Como conocemos el cateto opuesto y buscamos la hipotenusa, usamos seno:
\[ \sin(45^\circ)=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]
\[ \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{h} \]
Multiplicamos en cruz:
\[ h\sqrt{2}=12\sqrt{2} \]
Dividimos por \(\sqrt{2}\):
\[ h=12 \]
La hipotenusa mide \(12\ \text{cm}\).
b) Cateto adyacente:
En un triángulo \(45^\circ-45^\circ-90^\circ\), los catetos son iguales.
Por lo tanto, el cateto adyacente también mide:
\[ 6\sqrt{2}\ \text{cm} \]
Para continuar
En la próxima página se estudiará cómo determinar ángulos usando razones trigonométricas inversas.