Libro de Trigonometría
8. Determinar ángulos usando razones trigonométricas inversas
Objetivos de la página
- Determinar ángulos agudos en triángulos rectángulos usando razones trigonométricas inversas.
- Escoger entre \(\sin^{-1}\), \(\cos^{-1}\) y \(\tan^{-1}\) según los lados conocidos.
- Interpretar correctamente el resultado en grados.
- Reconocer errores frecuentes al usar razones trigonométricas inversas.
¿Qué significa determinar un ángulo?
Hasta ahora hemos usado un ángulo conocido para calcular razones trigonométricas o lados desconocidos.
Ahora haremos el proceso inverso: si conocemos dos lados de un triángulo rectángulo, podemos determinar un ángulo agudo.
Razones trigonométricas inversas
Si conocemos una razón trigonométrica, podemos encontrar el ángulo usando una razón inversa.
Si se conoce el cateto opuesto y la hipotenusa:
\[ \sin(\theta)=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]
\[ \theta=\sin^{-1}\left(\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}\right) \]
Si se conoce el cateto adyacente y la hipotenusa:
\[ \cos(\theta)=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]
\[ \theta=\cos^{-1}\left(\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}\right) \]
Si se conocen los dos catetos:
\[ \tan(\theta)=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \]
\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}\right) \]
Atención con la notación
La expresión \(\sin^{-1}\) no significa \(\frac{1}{\sin}\) en este contexto.
Aquí \(\sin^{-1}\), \(\cos^{-1}\) y \(\tan^{-1}\) representan funciones inversas que permiten encontrar un ángulo.
Además, la calculadora debe estar en modo grados, no en radianes.
Ejemplo 1: determinar un ángulo usando seno
En el triángulo rectángulo \(ABC\), el ángulo recto está en \(C\). Respecto del ángulo \(A\), el cateto opuesto mide \(6\ \text{cm}\) y la hipotenusa mide \(12\ \text{cm}\).
Como conocemos cateto opuesto e hipotenusa, usamos seno:
\[ \sin(A)=\frac{6}{12} \]
\[ \sin(A)=\frac{1}{2} \]
Aplicamos la razón inversa:
\[ A=\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \]
\[ A=30^\circ \]
Por lo tanto, el ángulo \(A\) mide \(30^\circ\).
Ejemplo 2: determinar un ángulo usando coseno
En un triángulo rectángulo, respecto de un ángulo \(\theta\), el cateto adyacente mide \(8\ \text{cm}\) y la hipotenusa mide \(10\ \text{cm}\). Determina \(\theta\).
Como conocemos cateto adyacente e hipotenusa, usamos coseno:
\[ \cos(\theta)=\frac{8}{10} \]
\[ \cos(\theta)=0{,}8 \]
Aplicamos la razón inversa:
\[ \theta=\cos^{-1}(0{,}8) \]
Usando calculadora en grados:
\[ \theta\approx 36{,}9^\circ \]
Ejemplo 3: determinar un ángulo usando tangente
En un triángulo rectángulo, respecto de un ángulo \(\theta\), el cateto opuesto mide \(9\ \text{m}\) y el cateto adyacente mide \(9\ \text{m}\). Determina \(\theta\).
Como conocemos los dos catetos, usamos tangente:
\[ \tan(\theta)=\frac{9}{9} \]
\[ \tan(\theta)=1 \]
Aplicamos la razón inversa:
\[ \theta=\tan^{-1}(1) \]
\[ \theta=45^\circ \]
Cómo elegir la razón inversa
| Lados conocidos | Razón directa | Razón inversa |
|---|---|---|
| Opuesto e hipotenusa | \(\sin(\theta)\) | \(\sin^{-1}\) |
| Adyacente e hipotenusa | \(\cos(\theta)\) | \(\cos^{-1}\) |
| Opuesto y adyacente | \(\tan(\theta)\) | \(\tan^{-1}\) |
Ejercicio 1
Respecto de un ángulo \(\theta\), el cateto opuesto mide \(4\ \text{cm}\) y la hipotenusa mide \(8\ \text{cm}\).
Determina \(\theta\).
Como conocemos cateto opuesto e hipotenusa, usamos seno:
\[ \sin(\theta)=\frac{4}{8} \]
\[ \sin(\theta)=\frac{1}{2} \]
Aplicamos la razón inversa:
\[ \theta=\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \]
\[ \theta=30^\circ \]
El ángulo mide \(30^\circ\).
Ejercicio 2
Respecto de un ángulo \(\theta\), el cateto adyacente mide \(7\ \text{m}\) y la hipotenusa mide \(14\ \text{m}\).
Determina \(\theta\).
Como conocemos cateto adyacente e hipotenusa, usamos coseno:
\[ \cos(\theta)=\frac{7}{14} \]
\[ \cos(\theta)=\frac{1}{2} \]
Aplicamos la razón inversa:
\[ \theta=\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \]
\[ \theta=60^\circ \]
El ángulo mide \(60^\circ\).
Ejercicio 3
Respecto de un ángulo \(\theta\), el cateto opuesto mide \(13\ \text{cm}\) y el cateto adyacente mide \(13\ \text{cm}\).
Determina \(\theta\).
Como conocemos los dos catetos, usamos tangente:
\[ \tan(\theta)=\frac{13}{13} \]
\[ \tan(\theta)=1 \]
Aplicamos la razón inversa:
\[ \theta=\tan^{-1}(1) \]
\[ \theta=45^\circ \]
El ángulo mide \(45^\circ\).
Ejercicio 4
En un triángulo rectángulo \(ABC\), el ángulo recto está en \(C\). Las medidas son \(AC=12\), \(BC=5\) y \(AB=13\).
Determina el ángulo \(A\), aproximando a un decimal.
Respecto del ángulo \(A\):
- cateto opuesto: \(BC=5\),
- cateto adyacente: \(AC=12\),
- hipotenusa: \(AB=13\).
Podemos usar seno:
\[ \sin(A)=\frac{5}{13} \]
Aplicamos la razón inversa:
\[ A=\sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) \]
Usando calculadora en grados:
\[ A\approx 22{,}6^\circ \]
El ángulo \(A\) mide aproximadamente \(22{,}6^\circ\).
Ejercicio 5
En un triángulo rectángulo \(ABC\), el ángulo recto está en \(C\). Las medidas son \(AC=12\), \(BC=5\) y \(AB=13\).
Determina el ángulo \(B\), aproximando a un decimal.
Respecto del ángulo \(B\):
- cateto opuesto: \(AC=12\),
- cateto adyacente: \(BC=5\),
- hipotenusa: \(AB=13\).
Podemos usar seno:
\[ \sin(B)=\frac{12}{13} \]
Aplicamos la razón inversa:
\[ B=\sin^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) \]
Usando calculadora en grados:
\[ B\approx 67{,}4^\circ \]
El ángulo \(B\) mide aproximadamente \(67{,}4^\circ\).
También se podía usar que los ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman \(90^\circ\):
\[ B=90^\circ-22{,}6^\circ=67{,}4^\circ \]
Ejercicio 6
Respecto de un ángulo \(\theta\), el cateto opuesto mide \(7\) y el cateto adyacente mide \(24\).
Determina \(\theta\), aproximando a un decimal.
Como conocemos los dos catetos, usamos tangente:
\[ \tan(\theta)=\frac{7}{24} \]
Aplicamos la razón inversa:
\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{7}{24}\right) \]
Usando calculadora en grados:
\[ \theta\approx 16{,}3^\circ \]
El ángulo mide aproximadamente \(16{,}3^\circ\).
Ejercicio 7
Completa la tabla indicando qué razón inversa conviene usar y determina el ángulo.
| Datos conocidos | Razón inversa conveniente | Ángulo |
|---|---|---|
| Opuesto \(=6\), hipotenusa \(=12\) | ... | ... |
| Adyacente \(=5\), hipotenusa \(=10\) | ... | ... |
| Opuesto \(=8\), adyacente \(=8\) | ... | ... |
| Datos conocidos | Razón inversa conveniente | Ángulo |
|---|---|---|
| Opuesto \(=6\), hipotenusa \(=12\) | \(\sin^{-1}\) | \(30^\circ\) |
| Adyacente \(=5\), hipotenusa \(=10\) | \(\cos^{-1}\) | \(60^\circ\) |
| Opuesto \(=8\), adyacente \(=8\) | \(\tan^{-1}\) | \(45^\circ\) |
Justificación:
\[ \sin^{-1}\left(\frac{6}{12}\right)=\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=30^\circ \]
\[ \cos^{-1}\left(\frac{5}{10}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=60^\circ \]
\[ \tan^{-1}\left(\frac{8}{8}\right)=\tan^{-1}(1)=45^\circ \]
Ejercicio 8
En un triángulo rectángulo, respecto de un ángulo \(\theta\), se sabe que:
\[ \cos(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Determina \(\theta\).
Buscamos el ángulo cuyo coseno es \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
De los valores especiales:
\[ \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Por lo tanto:
\[ \theta=30^\circ \]
Ejercicio 9
En un triángulo rectángulo, respecto de un ángulo \(\theta\), se sabe que:
\[ \tan(\theta)=\sqrt{3} \]
Determina \(\theta\).
Buscamos el ángulo cuya tangente es \(\sqrt{3}\).
De los valores especiales:
\[ \tan(60^\circ)=\sqrt{3} \]
Por lo tanto:
\[ \theta=60^\circ \]
Ejercicio 10
Una estudiante quiere determinar un ángulo \(\theta\). Sabe que el cateto opuesto mide \(8\) y la hipotenusa mide \(10\). Escribe:
\[ \theta=\sin\left(\frac{8}{10}\right) \]
¿Cuál es el error? Corrige el procedimiento y determina el ángulo aproximado.
El error es usar \(\sin\) en vez de \(\sin^{-1}\).
Primero se forma la razón:
\[ \sin(\theta)=\frac{8}{10}=0{,}8 \]
Para encontrar el ángulo, se usa la razón inversa:
\[ \theta=\sin^{-1}(0{,}8) \]
Usando calculadora en grados:
\[ \theta\approx 53{,}1^\circ \]
El ángulo mide aproximadamente \(53{,}1^\circ\).
Ejercicio 11
En un triángulo rectángulo \(PQR\), el ángulo recto está en \(Q\). Las medidas son \(PQ=20\), \(QR=21\) y \(PR=29\).
a) Determina el ángulo \(P\), aproximando a un decimal.
b) Determina el ángulo \(R\), aproximando a un decimal.
Como el ángulo recto está en \(Q\), la hipotenusa es \(PR=29\).
a) Ángulo \(P\):
Respecto de \(P\), el cateto opuesto es \(QR=21\) y la hipotenusa es \(PR=29\).
\[ \sin(P)=\frac{21}{29} \]
\[ P=\sin^{-1}\left(\frac{21}{29}\right) \]
\[ P\approx 46{,}4^\circ \]
b) Ángulo \(R\):
Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman \(90^\circ\). Entonces:
\[ R=90^\circ-46{,}4^\circ \]
\[ R\approx 43{,}6^\circ \]
También se podía calcular con:
\[ R=\sin^{-1}\left(\frac{20}{29}\right) \]
Para continuar
En la próxima página se aplicarán las razones trigonométricas en problemas geométricos y de contexto, como alturas, sombras, inclinaciones y distancias.