Libro de Trigonometría
9. Problemas geométricos y de contexto con trigonometría
Objetivos de la página
- Modelar situaciones geométricas mediante triángulos rectángulos.
- Aplicar seno, coseno y tangente para determinar alturas, distancias e inclinaciones.
- Usar razones trigonométricas inversas para determinar ángulos en contextos simples.
- Distinguir entre ángulo de elevación y ángulo de depresión.
Modelar con triángulos rectángulos
Muchos problemas de altura, sombra, distancia o inclinación pueden representarse con un triángulo rectángulo.
Para resolverlos, primero se debe identificar:
- el ángulo conocido;
- el lado conocido;
- el lado que se quiere determinar;
- la razón trigonométrica que relaciona esos datos.
Razones trigonométricas
Respecto de un ángulo agudo \(\theta\):
\[ \sin(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]
\[ \cos(\theta)=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]
\[ \tan(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} \]
Ángulo de elevación y ángulo de depresión
El ángulo de elevación se mide desde una línea horizontal hacia arriba.
El ángulo de depresión se mide desde una línea horizontal hacia abajo.
En ambos casos se puede formar un triángulo rectángulo para resolver el problema.
Ejemplo 1: altura de un árbol
Desde un punto ubicado a \(18\ \text{m}\) de la base de un árbol, se observa la punta con un ángulo de elevación de \(30^\circ\). Calcula la altura del árbol, sin considerar la altura de la persona que observa.
La distancia horizontal es el cateto adyacente y la altura del árbol es el cateto opuesto.
Usamos tangente:
\[ \tan(30^\circ)=\frac{\text{altura}}{18} \]
Como \(\tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3}\):
\[ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{h}{18} \]
\[ h=18\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3} \]
La altura del árbol es \(6\sqrt{3}\ \text{m}\), aproximadamente \(10{,}39\ \text{m}\).
Ejemplo 2: escalera apoyada en una pared
Una escalera de \(10\ \text{m}\) se apoya contra una pared formando un ángulo de \(60^\circ\) con el suelo. Calcula la altura que alcanza la escalera en la pared.
La escalera corresponde a la hipotenusa y la altura corresponde al cateto opuesto al ángulo de \(60^\circ\).
Usamos seno:
\[ \sin(60^\circ)=\frac{\text{altura}}{10} \]
\[ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{10} \]
\[ h=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3} \]
La escalera alcanza una altura de \(5\sqrt{3}\ \text{m}\), aproximadamente \(8{,}66\ \text{m}\).
Ejemplo 3: determinar el ángulo de inclinación
Una rampa sube \(3\ \text{m}\) de altura en una distancia horizontal de \(4\ \text{m}\). Determina el ángulo de inclinación \(\theta\) respecto del suelo.
La altura es el cateto opuesto y la distancia horizontal es el cateto adyacente.
Usamos tangente:
\[ \tan(\theta)=\frac{3}{4} \]
Aplicamos la razón inversa:
\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \]
Usando calculadora en grados:
\[ \theta\approx 36{,}9^\circ \]
La inclinación de la rampa es aproximadamente \(36{,}9^\circ\).
Estrategia de resolución
- Dibuja o interpreta el triángulo rectángulo.
- Marca el ángulo de referencia.
- Identifica cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa.
- Escoge seno, coseno o tangente.
- Resuelve la ecuación y escribe la unidad correspondiente.
Error frecuente
No todos los problemas con altura usan seno. Si el problema entrega una distancia horizontal y se busca una altura, generalmente aparece la tangente.
La razón depende de los lados involucrados, no del tipo de contexto.
Ejercicio 1
Desde un punto ubicado a \(20\ \text{m}\) de la base de un edificio, se observa su parte superior con un ángulo de elevación de \(45^\circ\).
Calcula la altura del edificio, sin considerar la altura de la persona que observa.
La distancia horizontal es el cateto adyacente y la altura del edificio es el cateto opuesto.
Usamos tangente:
\[ \tan(45^\circ)=\frac{h}{20} \]
Como \(\tan(45^\circ)=1\):
\[ 1=\frac{h}{20} \]
\[ h=20 \]
La altura del edificio es \(20\ \text{m}\).
Ejercicio 2
Una escalera de \(12\ \text{m}\) forma un ángulo de \(30^\circ\) con el suelo.
a) ¿Qué altura alcanza sobre la pared?
b) ¿A qué distancia de la pared está apoyada la base de la escalera?
La escalera es la hipotenusa.
a) Altura:
La altura es el cateto opuesto al ángulo de \(30^\circ\).
\[ \sin(30^\circ)=\frac{h}{12} \]
\[ \frac{1}{2}=\frac{h}{12} \]
\[ h=6 \]
La escalera alcanza \(6\ \text{m}\) de altura.
b) Distancia a la pared:
La distancia horizontal es el cateto adyacente.
\[ \cos(30^\circ)=\frac{x}{12} \]
\[ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x}{12} \]
\[ x=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3} \]
La base está a \(6\sqrt{3}\ \text{m}\) de la pared, aproximadamente \(10{,}39\ \text{m}\).
Ejercicio 3
Un volantín está sujeto por un hilo tenso de \(40\ \text{m}\). El hilo forma un ángulo de \(30^\circ\) con el suelo.
Calcula la altura aproximada del volantín, suponiendo que el hilo parte desde el suelo.
El hilo corresponde a la hipotenusa y la altura corresponde al cateto opuesto.
Usamos seno:
\[ \sin(30^\circ)=\frac{h}{40} \]
\[ \frac{1}{2}=\frac{h}{40} \]
\[ h=20 \]
La altura aproximada del volantín es \(20\ \text{m}\).
Ejercicio 4
Un árbol proyecta una sombra de \(12\ \text{m}\). El ángulo de elevación del Sol respecto del suelo es \(60^\circ\).
Calcula la altura del árbol.
La sombra es el cateto adyacente y la altura del árbol es el cateto opuesto.
Usamos tangente:
\[ \tan(60^\circ)=\frac{h}{12} \]
Como \(\tan(60^\circ)=\sqrt{3}\):
\[ \sqrt{3}=\frac{h}{12} \]
\[ h=12\sqrt{3} \]
La altura del árbol es \(12\sqrt{3}\ \text{m}\), aproximadamente \(20{,}78\ \text{m}\).
Ejercicio 5
Desde la cima de un faro de \(30\ \text{m}\) de altura, se observa una embarcación con un ángulo de depresión de \(30^\circ\).
Calcula la distancia horizontal entre la base del faro y la embarcación.
El ángulo de depresión es igual al ángulo de elevación desde la embarcación hacia la cima del faro, por ángulos alternos internos.
La altura del faro es el cateto opuesto y la distancia horizontal es el cateto adyacente.
Usamos tangente:
\[ \tan(30^\circ)=\frac{30}{x} \]
\[ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{30}{x} \]
Multiplicamos en cruz:
\[ x\sqrt{3}=90 \]
\[ x=\frac{90}{\sqrt{3}}=30\sqrt{3} \]
La distancia horizontal es \(30\sqrt{3}\ \text{m}\), aproximadamente \(51{,}96\ \text{m}\).
Ejercicio 6
Una rampa tiene una longitud de \(8\ \text{m}\) y alcanza una altura de \(4\ \text{m}\).
Determina el ángulo que forma la rampa con el suelo.
La rampa corresponde a la hipotenusa y la altura corresponde al cateto opuesto.
Usamos seno:
\[ \sin(\theta)=\frac{4}{8} \]
\[ \sin(\theta)=\frac{1}{2} \]
Aplicamos la razón inversa:
\[ \theta=\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \]
\[ \theta=30^\circ \]
La rampa forma un ángulo de \(30^\circ\) con el suelo.
Ejercicio 7
Desde un punto en el suelo se observa la cima de una torre con un ángulo de elevación de \(37^\circ\). La persona está a \(50\ \text{m}\) de la base de la torre.
Usa \(\tan(37^\circ)\approx 0{,}75\) para calcular la altura aproximada de la torre.
La distancia horizontal es el cateto adyacente y la altura es el cateto opuesto.
Usamos tangente:
\[ \tan(37^\circ)=\frac{h}{50} \]
Reemplazamos \(\tan(37^\circ)\approx 0{,}75\):
\[ 0{,}75=\frac{h}{50} \]
\[ h=50\cdot 0{,}75=37{,}5 \]
La altura aproximada de la torre es \(37{,}5\ \text{m}\).
Ejercicio 8
Un poste mide \(15\ \text{m}\) y proyecta una sombra de \(20\ \text{m}\).
Determina el ángulo de elevación del Sol respecto del suelo, aproximando a un decimal.
La altura del poste es el cateto opuesto y la sombra es el cateto adyacente.
Usamos tangente:
\[ \tan(\theta)=\frac{15}{20} \]
\[ \tan(\theta)=0{,}75 \]
Aplicamos la razón inversa:
\[ \theta=\tan^{-1}(0{,}75) \]
Usando calculadora en grados:
\[ \theta\approx 36{,}9^\circ \]
El ángulo de elevación del Sol es aproximadamente \(36{,}9^\circ\).
Ejercicio 9
Una antena está afirmada con un cable de \(25\ \text{m}\), desde la punta de la antena hasta un punto del suelo. El cable forma un ángulo de \(53^\circ\) con el suelo.
Usa \(\sin(53^\circ)\approx 0{,}80\) y \(\cos(53^\circ)\approx 0{,}60\).
a) Calcula la altura aproximada de la antena.
b) Calcula la distancia horizontal desde la base de la antena hasta el punto donde se fija el cable.
El cable corresponde a la hipotenusa.
a) Altura:
La altura es el cateto opuesto al ángulo de \(53^\circ\). Usamos seno:
\[ \sin(53^\circ)=\frac{h}{25} \]
\[ 0{,}80=\frac{h}{25} \]
\[ h=25\cdot 0{,}80=20 \]
La antena mide aproximadamente \(20\ \text{m}\).
b) Distancia horizontal:
La distancia horizontal es el cateto adyacente. Usamos coseno:
\[ \cos(53^\circ)=\frac{x}{25} \]
\[ 0{,}60=\frac{x}{25} \]
\[ x=25\cdot 0{,}60=15 \]
La distancia horizontal es aproximadamente \(15\ \text{m}\).
Ejercicio 10
Una persona observa la punta de un edificio con un ángulo de elevación de \(60^\circ\). La persona está a \(25\ \text{m}\) de la base del edificio y sus ojos están a \(1{,}6\ \text{m}\) del suelo.
Calcula la altura total del edificio.
El triángulo rectángulo se forma desde los ojos de la persona hasta la punta del edificio.
La distancia horizontal es \(25\ \text{m}\), y la altura desde los ojos hasta la punta del edificio es \(h\).
Usamos tangente:
\[ \tan(60^\circ)=\frac{h}{25} \]
\[ \sqrt{3}=\frac{h}{25} \]
\[ h=25\sqrt{3} \]
Esta es la altura sobre el nivel de los ojos. Para obtener la altura total del edificio, sumamos \(1{,}6\ \text{m}\):
\[ H=25\sqrt{3}+1{,}6 \]
Usando \(\sqrt{3}\approx 1{,}732\):
\[ H\approx 25\cdot 1{,}732+1{,}6=43{,}3+1{,}6=44{,}9 \]
La altura total del edificio es aproximadamente \(44{,}9\ \text{m}\).
Ejercicio 11
Un estudiante resuelve el siguiente problema: “Una escalera de \(10\ \text{m}\) forma un ángulo de \(30^\circ\) con el suelo. ¿Qué altura alcanza?”
Él escribe:
\[ \cos(30^\circ)=\frac{h}{10} \]
¿Cuál es el error? Corrige el procedimiento.
El error es usar coseno para calcular la altura.
La escalera es la hipotenusa y la altura es el cateto opuesto al ángulo de \(30^\circ\).
Por lo tanto, se debe usar seno:
\[ \sin(30^\circ)=\frac{h}{10} \]
\[ \frac{1}{2}=\frac{h}{10} \]
\[ h=5 \]
La escalera alcanza una altura de \(5\ \text{m}\).
Ejercicio 12
Una rampa debe alcanzar una altura de \(2\ \text{m}\) y formar un ángulo de \(30^\circ\) con el suelo.
a) Calcula la longitud de la rampa.
b) Calcula la distancia horizontal que ocupa la rampa.
La altura es el cateto opuesto y la rampa es la hipotenusa.
a) Longitud de la rampa:
\[ \sin(30^\circ)=\frac{2}{L} \]
\[ \frac{1}{2}=\frac{2}{L} \]
Multiplicamos en cruz:
\[ L=4 \]
La rampa mide \(4\ \text{m}\).
b) Distancia horizontal:
La distancia horizontal es el cateto adyacente. Usamos coseno:
\[ \cos(30^\circ)=\frac{x}{4} \]
\[ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x}{4} \]
\[ x=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} \]
La distancia horizontal es \(2\sqrt{3}\ \text{m}\), aproximadamente \(3{,}46\ \text{m}\).
Para continuar
En la próxima página se conectará la trigonometría con vectores, representando un vector como la hipotenusa de un triángulo rectángulo.