Libro de Trigonometría
10. Vectores y triángulos rectángulos
Objetivos de la página
- Representar vectores como flechas en el plano cartesiano.
- Relacionar un vector con un triángulo rectángulo formado por sus componentes horizontal y vertical.
- Calcular el módulo de un vector usando el teorema de Pitágoras.
- Interpretar el signo de las componentes según la dirección del vector.
Vector en el plano
Un vector es una cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido.
En el plano cartesiano, un vector puede representarse como una flecha que parte desde un punto inicial y llega a un punto final.
Cuando el vector parte desde el origen y llega al punto \((v_x,v_y)\), podemos escribir:
\[ \vec v=(v_x,v_y) \]
El número \(v_x\) representa la componente horizontal y \(v_y\) representa la componente vertical.
Módulo de un vector
Si un vector tiene componentes \(\vec v=(v_x,v_y)\), su módulo se puede calcular formando un triángulo rectángulo.
\[ |\vec v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2} \]
Esta fórmula corresponde al teorema de Pitágoras aplicado al triángulo formado por las componentes del vector.
Ejemplo 1: vector en el primer cuadrante
Observa el vector \(\vec v=(6,8)\), que parte desde el origen y llega al punto \(P(6,8)\).
El vector forma un triángulo rectángulo con:
- componente horizontal \(v_x=6\),
- componente vertical \(v_y=8\),
- vector \(\vec v\) como hipotenusa del triángulo.
Calculamos su módulo:
\[ |\vec v|=\sqrt{6^2+8^2} \]
\[ |\vec v|=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \]
Por lo tanto, el módulo del vector es \(10\).
Ejemplo 2: vector con componente horizontal negativa
El vector \(\vec u=(-4,3)\) avanza \(4\) unidades hacia la izquierda y \(3\) unidades hacia arriba.
Sus componentes son:
\[ u_x=-4,\qquad u_y=3 \]
El signo negativo en \(u_x\) indica movimiento hacia la izquierda.
El módulo se calcula con Pitágoras:
\[ |\vec u|=\sqrt{(-4)^2+3^2} \]
\[ |\vec u|=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 \]
Ejemplo 3: dirección aproximada de un vector
Para el vector \(\vec v=(6,8)\), el ángulo \(\theta\) que forma con el eje \(x\) positivo se puede relacionar con el triángulo rectángulo formado por sus componentes.
En este caso:
- cateto opuesto: \(8\),
- cateto adyacente: \(6\).
Entonces:
\[ \tan(\theta)=\frac{8}{6} \]
\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{8}{6}\right) \]
Usando calculadora en grados:
\[ \theta\approx 53{,}1^\circ \]
El vector forma un ángulo aproximado de \(53{,}1^\circ\) con el eje \(x\) positivo.
Interpretación de signos
| Componente | Signo positivo | Signo negativo |
|---|---|---|
| \(v_x\) | Hacia la derecha | Hacia la izquierda |
| \(v_y\) | Hacia arriba | Hacia abajo |
Error frecuente
El módulo de un vector siempre es una cantidad no negativa.
Por ejemplo, si \(\vec v=(-3,-4)\), sus componentes son negativas, pero su módulo es:
\[ |\vec v|=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=5 \]
Ejercicio 1
El vector \(\vec a=(3,4)\) parte desde el origen.
a) Identifica sus componentes.
b) Calcula su módulo.
a) Componentes:
El vector \(\vec a=(3,4)\) tiene:
\[ a_x=3,\qquad a_y=4 \]
Esto significa que avanza \(3\) unidades hacia la derecha y \(4\) unidades hacia arriba.
b) Módulo:
\[ |\vec a|=\sqrt{3^2+4^2} \]
\[ |\vec a|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \]
El módulo de \(\vec a\) es \(5\).
Ejercicio 2
El vector \(\vec b=(-6,8)\) parte desde el origen.
a) ¿Qué indican los signos de sus componentes?
b) Calcula su módulo.
a) Interpretación de signos:
Como \(b_x=-6\), el vector avanza \(6\) unidades hacia la izquierda.
Como \(b_y=8\), el vector avanza \(8\) unidades hacia arriba.
b) Módulo:
\[ |\vec b|=\sqrt{(-6)^2+8^2} \]
\[ |\vec b|=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \]
El módulo del vector es \(10\).
Ejercicio 3
El vector \(\vec c=(5,-12)\) parte desde el origen.
a) Indica hacia dónde se mueve horizontal y verticalmente.
b) Calcula su módulo.
a) Dirección de las componentes:
Como \(c_x=5\), el vector avanza \(5\) unidades hacia la derecha.
Como \(c_y=-12\), el vector avanza \(12\) unidades hacia abajo.
b) Módulo:
\[ |\vec c|=\sqrt{5^2+(-12)^2} \]
\[ |\vec c|=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13 \]
El módulo del vector es \(13\).
Ejercicio 4
Un desplazamiento se realiza avanzando \(9\ \text{m}\) hacia la derecha y \(12\ \text{m}\) hacia arriba.
a) Escribe el vector desplazamiento.
b) Calcula el módulo del desplazamiento.
a) Vector desplazamiento:
El avance horizontal es \(9\) y el avance vertical es \(12\), por lo tanto:
\[ \vec d=(9,12) \]
b) Módulo:
\[ |\vec d|=\sqrt{9^2+12^2} \]
\[ |\vec d|=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15 \]
El desplazamiento total mide \(15\ \text{m}\).
Ejercicio 5
El vector \(\vec e=(12,5)\) forma un ángulo \(\theta\) con el eje \(x\) positivo.
a) Calcula su módulo.
b) Determina aproximadamente el ángulo \(\theta\), redondeando a un decimal.
a) Módulo:
\[ |\vec e|=\sqrt{12^2+5^2} \]
\[ |\vec e|=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13 \]
b) Ángulo:
Respecto del ángulo \(\theta\), el cateto opuesto es \(5\) y el cateto adyacente es \(12\).
\[ \tan(\theta)=\frac{5}{12} \]
\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right) \]
Usando calculadora en grados:
\[ \theta\approx 22{,}6^\circ \]
Ejercicio 6
Una persona camina \(300\ \text{m}\) hacia el este y luego \(400\ \text{m}\) hacia el norte.
a) Escribe el vector desplazamiento.
b) Calcula la distancia directa desde el punto inicial hasta el punto final.
c) Determina el ángulo aproximado que forma el desplazamiento con la dirección este.
a) Vector desplazamiento:
Tomando el este como dirección positiva del eje \(x\) y el norte como dirección positiva del eje \(y\):
\[ \vec d=(300,400) \]
b) Distancia directa:
\[ |\vec d|=\sqrt{300^2+400^2} \]
\[ |\vec d|=\sqrt{90000+160000}=\sqrt{250000}=500 \]
La distancia directa es \(500\ \text{m}\).
c) Ángulo con la dirección este:
\[ \tan(\theta)=\frac{400}{300}=\frac{4}{3} \]
\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \]
\[ \theta\approx 53{,}1^\circ \]
El desplazamiento forma aproximadamente \(53{,}1^\circ\) con la dirección este.
Ejercicio 7
Completa la tabla calculando el módulo de cada vector.
| Vector | Módulo |
|---|---|
| \((8,15)\) | ... |
| \((-7,-24)\) | ... |
| \((0,9)\) | ... |
Calculamos cada módulo:
\[ |(8,15)|=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17 \]
\[ |(-7,-24)|=\sqrt{(-7)^2+(-24)^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25 \]
\[ |(0,9)|=\sqrt{0^2+9^2}=\sqrt{81}=9 \]
| Vector | Módulo |
|---|---|
| \((8,15)\) | \(17\) |
| \((-7,-24)\) | \(25\) |
| \((0,9)\) | \(9\) |
Ejercicio 8
Un estudiante afirma que el vector \(\vec v=(-4,3)\) tiene componentes \(4\) y \(3\), porque para calcular el módulo se usan valores positivos.
¿Cuál es el error? Explica y calcula el módulo correcto.
El error es confundir las componentes con las longitudes usadas en el triángulo.
El vector realmente tiene componentes:
\[ v_x=-4,\qquad v_y=3 \]
El signo negativo indica que la componente horizontal va hacia la izquierda.
Para calcular el módulo, se elevan las componentes al cuadrado:
\[ |\vec v|=\sqrt{(-4)^2+3^2} \]
\[ |\vec v|=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 \]
El módulo es \(5\), pero la componente horizontal sigue siendo \(-4\).
Ejercicio 9
Compara los vectores:
\[ \vec a=(6,8),\qquad \vec b=(-6,-8) \]
a) Calcula el módulo de cada uno.
b) Explica qué tienen en común y en qué se diferencian.
a) Módulos:
\[ |\vec a|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10 \]
\[ |\vec b|=\sqrt{(-6)^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=10 \]
b) Comparación:
Ambos vectores tienen el mismo módulo:
\[ |\vec a|=|\vec b|=10 \]
Pero tienen sentidos distintos. El vector \(\vec a=(6,8)\) apunta hacia la derecha y hacia arriba, mientras que \(\vec b=(-6,-8)\) apunta hacia la izquierda y hacia abajo.
Ejercicio 10
Observa el vector que parte desde el origen y llega al punto \(P(-3,-4)\).
a) Escribe sus componentes.
b) Calcula su módulo.
c) Indica hacia dónde apunta horizontal y verticalmente.
a) Componentes:
Como el vector llega al punto \(P(-3,-4)\), sus componentes son:
\[ \vec v=(-3,-4) \]
b) Módulo:
\[ |\vec v|=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2} \]
\[ |\vec v|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \]
c) Dirección de las componentes:
Como \(v_x=-3\), apunta \(3\) unidades hacia la izquierda.
Como \(v_y=-4\), apunta \(4\) unidades hacia abajo.
Para continuar
En la próxima página se estudiará cómo descomponer un vector cuando se conoce su módulo y el ángulo que forma con el eje \(x\).