Libro de Trigonometría
11. Descomposición de vectores
Objetivos de la página
- Descomponer un vector en sus componentes horizontal y vertical.
- Usar seno y coseno para calcular las componentes de un vector.
- Determinar correctamente el signo de las componentes según el cuadrante.
- Representar un vector a partir de su módulo y dirección.
Descomponer un vector
Descomponer un vector significa escribirlo mediante sus componentes horizontal y vertical.
Si un vector \(\vec v\) tiene módulo \(|\vec v|\) y forma un ángulo \(\theta\) con el eje \(x\) positivo, entonces puede escribirse como:
\[ \vec v=(v_x,v_y) \]
donde \(v_x\) es la componente horizontal y \(v_y\) es la componente vertical.
Fórmulas de descomposición
Si el ángulo \(\theta\) se mide desde el eje \(x\) positivo en sentido antihorario, entonces:
\[ v_x=|\vec v|\cos(\theta) \]
\[ v_y=|\vec v|\sin(\theta) \]
Por lo tanto:
\[ \vec v=\left(|\vec v|\cos(\theta),|\vec v|\sin(\theta)\right) \]
Interpretación geométrica
El vector funciona como la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
- La componente horizontal se obtiene con coseno.
- La componente vertical se obtiene con seno.
- Los signos dependen del cuadrante en que queda el vector.
Ejemplo 1: vector en el primer cuadrante
Un vector \(\vec v\) tiene módulo \(10\) y forma un ángulo de \(30^\circ\) con el eje \(x\) positivo. Determina sus componentes.
Usamos las fórmulas:
\[ v_x=|\vec v|\cos(30^\circ) \]
\[ v_y=|\vec v|\sin(30^\circ) \]
Como \(\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\) y \(\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}\), se tiene:
\[ v_x=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3} \]
\[ v_y=10\cdot \frac{1}{2}=5 \]
Por lo tanto:
\[ \vec v=(5\sqrt{3},5) \]
Ejemplo 2: vector en el segundo cuadrante
Un vector \(\vec u\) tiene módulo \(12\) y forma un ángulo de \(120^\circ\) con el eje \(x\) positivo. Determina sus componentes.
Usamos:
\[ u_x=12\cos(120^\circ) \]
\[ u_y=12\sin(120^\circ) \]
Como \(120^\circ\) está en el segundo cuadrante:
\[ \cos(120^\circ)=-\frac{1}{2} \]
\[ \sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Entonces:
\[ u_x=12\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-6 \]
\[ u_y=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3} \]
Por lo tanto:
\[ \vec u=(-6,6\sqrt{3}) \]
Ejemplo 3: vector en el cuarto cuadrante
Un vector \(\vec w\) tiene módulo \(8\) y forma un ángulo de \(300^\circ\) con el eje \(x\) positivo.
Como \(300^\circ\) está en el cuarto cuadrante:
\[ \cos(300^\circ)=\frac{1}{2} \]
\[ \sin(300^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Entonces:
\[ w_x=8\cdot \frac{1}{2}=4 \]
\[ w_y=8\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-4\sqrt{3} \]
Por lo tanto:
\[ \vec w=(4,-4\sqrt{3}) \]
Error frecuente
No basta con usar el ángulo de referencia. También se debe considerar el cuadrante.
Por ejemplo, \(150^\circ\) tiene ángulo de referencia \(30^\circ\), pero está en el segundo cuadrante. Por eso:
\[ \cos(150^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \sin(150^\circ)=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 1
Un vector \(\vec a\) tiene módulo \(20\) y forma un ángulo de \(30^\circ\) con el eje \(x\) positivo. Determina sus componentes.
Usamos:
\[ a_x=20\cos(30^\circ) \]
\[ a_y=20\sin(30^\circ) \]
Como:
\[ \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin(30^\circ)=\frac{1}{2} \]
Entonces:
\[ a_x=20\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3} \]
\[ a_y=20\cdot \frac{1}{2}=10 \]
Por lo tanto:
\[ \vec a=(10\sqrt{3},10) \]
Ejercicio 2
Un vector \(\vec b\) tiene módulo \(16\) y forma un ángulo de \(60^\circ\) con el eje \(x\) positivo. Determina sus componentes.
Usamos:
\[ b_x=16\cos(60^\circ) \]
\[ b_y=16\sin(60^\circ) \]
Como:
\[ \cos(60^\circ)=\frac{1}{2},\qquad \sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Entonces:
\[ b_x=16\cdot \frac{1}{2}=8 \]
\[ b_y=16\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3} \]
Por lo tanto:
\[ \vec b=(8,8\sqrt{3}) \]
Ejercicio 3
Un vector \(\vec c\) tiene módulo \(10\) y forma un ángulo de \(45^\circ\) con el eje \(x\) positivo. Determina sus componentes.
Usamos:
\[ c_x=10\cos(45^\circ) \]
\[ c_y=10\sin(45^\circ) \]
Como:
\[ \cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Entonces:
\[ c_x=10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2} \]
\[ c_y=10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2} \]
Por lo tanto:
\[ \vec c=(5\sqrt{2},5\sqrt{2}) \]
Ejercicio 4
Un vector \(\vec d\) tiene módulo \(14\) y forma un ángulo de \(120^\circ\) con el eje \(x\) positivo. Determina sus componentes.
El ángulo \(120^\circ\) está en el segundo cuadrante.
Su ángulo de referencia es:
\[ 180^\circ-120^\circ=60^\circ \]
Por lo tanto:
\[ \cos(120^\circ)=-\frac{1}{2},\qquad \sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Calculamos:
\[ d_x=14\cos(120^\circ)=14\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-7 \]
\[ d_y=14\sin(120^\circ)=14\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=7\sqrt{3} \]
Por lo tanto:
\[ \vec d=(-7,7\sqrt{3}) \]
Ejercicio 5
Un vector \(\vec e\) tiene módulo \(18\) y forma un ángulo de \(210^\circ\) con el eje \(x\) positivo. Determina sus componentes.
El ángulo \(210^\circ\) está en el tercer cuadrante.
Su ángulo de referencia es:
\[ 210^\circ-180^\circ=30^\circ \]
En el tercer cuadrante, seno y coseno son negativos:
\[ \cos(210^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin(210^\circ)=-\frac{1}{2} \]
Entonces:
\[ e_x=18\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-9\sqrt{3} \]
\[ e_y=18\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-9 \]
Por lo tanto:
\[ \vec e=(-9\sqrt{3},-9) \]
Ejercicio 6
Un vector \(\vec f\) tiene módulo \(12\) y forma un ángulo de \(315^\circ\) con el eje \(x\) positivo. Determina sus componentes.
El ángulo \(315^\circ\) está en el cuarto cuadrante.
Su ángulo de referencia es:
\[ 360^\circ-315^\circ=45^\circ \]
En el cuarto cuadrante, el coseno es positivo y el seno es negativo:
\[ \cos(315^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin(315^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Entonces:
\[ f_x=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2} \]
\[ f_y=12\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-6\sqrt{2} \]
Por lo tanto:
\[ \vec f=(6\sqrt{2},-6\sqrt{2}) \]
Ejercicio 7
Completa la tabla de descomposición.
| Módulo | Ángulo | \(v_x\) | \(v_y\) | Vector |
|---|---|---|---|---|
| \(8\) | \(0^\circ\) | ... | ... | ... |
| \(9\) | \(90^\circ\) | ... | ... | ... |
| \(6\) | \(180^\circ\) | ... | ... | ... |
| \(5\) | \(270^\circ\) | ... | ... | ... |
Usamos \(v_x=|\vec v|\cos(\theta)\) y \(v_y=|\vec v|\sin(\theta)\).
| Módulo | Ángulo | \(v_x\) | \(v_y\) | Vector |
|---|---|---|---|---|
| \(8\) | \(0^\circ\) | \(8\) | \(0\) | \((8,0)\) |
| \(9\) | \(90^\circ\) | \(0\) | \(9\) | \((0,9)\) |
| \(6\) | \(180^\circ\) | \(-6\) | \(0\) | \((-6,0)\) |
| \(5\) | \(270^\circ\) | \(0\) | \(-5\) | \((0,-5)\) |
Por ejemplo, para \(\theta=180^\circ\):
\[ v_x=6\cos(180^\circ)=6(-1)=-6 \]
\[ v_y=6\sin(180^\circ)=6(0)=0 \]
Ejercicio 8
Un vector \(\vec g\) tiene módulo \(50\) y forma un ángulo aproximado de \(37^\circ\) con el eje \(x\) positivo.
Usa:
\[ \cos(37^\circ)\approx 0{,}80,\qquad \sin(37^\circ)\approx 0{,}60 \]
Determina sus componentes aproximadas.
Usamos las fórmulas:
\[ g_x=50\cos(37^\circ) \]
\[ g_y=50\sin(37^\circ) \]
Reemplazamos los valores aproximados:
\[ g_x=50\cdot 0{,}80=40 \]
\[ g_y=50\cdot 0{,}60=30 \]
Por lo tanto, aproximadamente:
\[ \vec g\approx (40,30) \]
Ejercicio 9
Un vector \(\vec h\) tiene módulo \(20\) y forma un ángulo de \(225^\circ\) con el eje \(x\) positivo.
a) Determina el cuadrante del vector.
b) Calcula sus componentes.
a) Cuadrante:
El ángulo \(225^\circ\) está entre \(180^\circ\) y \(270^\circ\), por lo tanto el vector está en el tercer cuadrante.
b) Componentes:
Su ángulo de referencia es:
\[ 225^\circ-180^\circ=45^\circ \]
En el tercer cuadrante, seno y coseno son negativos:
\[ \cos(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Entonces:
\[ h_x=20\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-10\sqrt{2} \]
\[ h_y=20\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-10\sqrt{2} \]
Por lo tanto:
\[ \vec h=(-10\sqrt{2},-10\sqrt{2}) \]
Ejercicio 10
Un estudiante afirma que si un vector tiene módulo \(10\) y ángulo \(150^\circ\), entonces sus componentes son:
\[ (5\sqrt{3},5) \]
¿Cuál es el error? Corrige las componentes.
El estudiante usó correctamente el ángulo de referencia \(30^\circ\), pero olvidó considerar el cuadrante.
El ángulo \(150^\circ\) está en el segundo cuadrante, donde:
- el coseno es negativo;
- el seno es positivo.
Entonces:
\[ \cos(150^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \sin(150^\circ)=\frac{1}{2} \]
Calculamos:
\[ v_x=10\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-5\sqrt{3} \]
\[ v_y=10\cdot \frac{1}{2}=5 \]
Por lo tanto, las componentes correctas son:
\[ (-5\sqrt{3},5) \]
Ejercicio 11
Un bote se desplaza \(30\ \text{m}\) en una dirección que forma un ángulo de \(240^\circ\) con el eje \(x\) positivo.
Determina las componentes horizontal y vertical del desplazamiento.
El módulo del desplazamiento es \(30\).
El ángulo \(240^\circ\) está en el tercer cuadrante.
Su ángulo de referencia es:
\[ 240^\circ-180^\circ=60^\circ \]
En el tercer cuadrante, seno y coseno son negativos:
\[ \cos(240^\circ)=-\frac{1}{2} \]
\[ \sin(240^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Entonces:
\[ v_x=30\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-15 \]
\[ v_y=30\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-15\sqrt{3} \]
Por lo tanto, el desplazamiento se puede escribir como:
\[ \vec v=(-15,-15\sqrt{3}) \]
Esto significa que el bote se desplaza \(15\ \text{m}\) hacia la izquierda y \(15\sqrt{3}\ \text{m}\) hacia abajo, según el sistema de referencia usado.
Para continuar
En la próxima página se trabajará con proyecciones, composición de vectores y problemas integrados.