Libro de Trigonometría
12. Proyecciones, composición y problemas integrados
Objetivos de la página
- Determinar proyecciones horizontales y verticales de un vector.
- Componer vectores mediante la suma de sus componentes.
- Calcular el módulo y la dirección de un vector resultante.
- Resolver problemas integrados que combinan trigonometría y vectores.
Proyecciones de un vector
La proyección horizontal de un vector corresponde a su componente sobre el eje \(x\).
La proyección vertical de un vector corresponde a su componente sobre el eje \(y\).
Si un vector \(\vec v\) tiene módulo \(|\vec v|\) y forma un ángulo \(\theta\) con el eje \(x\) positivo, entonces:
\[ v_x=|\vec v|\cos(\theta) \]
\[ v_y=|\vec v|\sin(\theta) \]
Estas componentes también se llaman proyecciones del vector sobre los ejes coordenados.
Composición de vectores
Componer vectores significa sumarlos. Para hacerlo, se suman sus componentes correspondientes.
Si:
\[ \vec a=(a_x,a_y),\qquad \vec b=(b_x,b_y) \]
entonces:
\[ \vec a+\vec b=(a_x+b_x,\ a_y+b_y) \]
Si la suma se llama \(\vec R\), entonces \(\vec R\) es el vector resultante.
Módulo y dirección del resultante
Si el vector resultante es:
\[ \vec R=(R_x,R_y) \]
su módulo es:
\[ |\vec R|=\sqrt{R_x^2+R_y^2} \]
Para determinar su dirección, se puede usar:
\[ \tan(\theta)=\frac{R_y}{R_x} \]
Luego se debe revisar el cuadrante donde queda el vector resultante.
Ejemplo 1: proyecciones de un vector
Un vector \(\vec v\) tiene módulo \(20\) y forma un ángulo de \(60^\circ\) con el eje \(x\) positivo. Determina sus proyecciones horizontal y vertical.
La proyección horizontal es:
\[ v_x=20\cos(60^\circ) \]
\[ v_x=20\cdot \frac{1}{2}=10 \]
La proyección vertical es:
\[ v_y=20\sin(60^\circ) \]
\[ v_y=20\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3} \]
Por lo tanto:
\[ \vec v=(10,10\sqrt{3}) \]
Ejemplo 2: suma de vectores por componentes
Sean los vectores:
\[ \vec a=(6,8),\qquad \vec b=(4,-3) \]
Calcula el vector resultante \(\vec R=\vec a+\vec b\).
Sumamos componente a componente:
\[ R_x=6+4=10 \]
\[ R_y=8+(-3)=5 \]
Por lo tanto:
\[ \vec R=(10,5) \]
Su módulo es:
\[ |\vec R|=\sqrt{10^2+5^2} \]
\[ |\vec R|=\sqrt{100+25}=\sqrt{125}=5\sqrt{5} \]
Ejemplo 3: composición desde módulo y ángulo
Dos fuerzas actúan sobre un objeto:
\[ |\vec F_1|=20,\quad \theta_1=0^\circ \]
\[ |\vec F_2|=20,\quad \theta_2=120^\circ \]
Primero descomponemos cada fuerza:
\[ \vec F_1=(20\cos 0^\circ,20\sin 0^\circ)=(20,0) \]
Para \(\vec F_2\):
\[ \cos(120^\circ)=-\frac{1}{2},\qquad \sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \vec F_2=\left(20\cdot\left(-\frac{1}{2}\right),20\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]
\[ \vec F_2=(-10,10\sqrt{3}) \]
Ahora sumamos:
\[ \vec R=(20,0)+(-10,10\sqrt{3}) \]
\[ \vec R=(10,10\sqrt{3}) \]
El módulo del resultante es:
\[ |\vec R|=\sqrt{10^2+(10\sqrt{3})^2} \]
\[ |\vec R|=\sqrt{100+300}=\sqrt{400}=20 \]
Procedimiento para problemas integrados
- Representa cada vector por sus componentes.
- Si el vector está dado por módulo y ángulo, calcula \(v_x\) y \(v_y\).
- Suma todas las componentes horizontales.
- Suma todas las componentes verticales.
- Calcula el módulo del resultante con Pitágoras.
- Si se pide dirección, usa una razón trigonométrica inversa y revisa el cuadrante.
Error frecuente
No se deben sumar directamente los módulos de los vectores si tienen direcciones distintas.
Primero se deben sumar las componentes. Luego se calcula el módulo del resultante.
Ejercicio 1
Un vector \(\vec a\) tiene módulo \(12\) y forma un ángulo de \(0^\circ\) con el eje \(x\) positivo.
Determina sus proyecciones horizontal y vertical.
Usamos:
\[ a_x=12\cos(0^\circ) \]
\[ a_y=12\sin(0^\circ) \]
Como:
\[ \cos(0^\circ)=1,\qquad \sin(0^\circ)=0 \]
Entonces:
\[ a_x=12\cdot 1=12 \]
\[ a_y=12\cdot 0=0 \]
Por lo tanto:
\[ \vec a=(12,0) \]
Ejercicio 2
Un vector \(\vec b\) tiene módulo \(18\) y forma un ángulo de \(30^\circ\) con el eje \(x\) positivo.
Determina sus proyecciones horizontal y vertical.
Calculamos la proyección horizontal:
\[ b_x=18\cos(30^\circ) \]
\[ b_x=18\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3} \]
Calculamos la proyección vertical:
\[ b_y=18\sin(30^\circ) \]
\[ b_y=18\cdot \frac{1}{2}=9 \]
Por lo tanto:
\[ \vec b=(9\sqrt{3},9) \]
Ejercicio 3
El vector \(\vec c=(-8,6)\) ya está escrito por componentes.
a) Indica su proyección horizontal y vertical.
b) Calcula su módulo.
c) Determina aproximadamente su dirección medida desde el eje \(x\) positivo.
a) Proyecciones:
La proyección horizontal es:
\[ c_x=-8 \]
La proyección vertical es:
\[ c_y=6 \]
b) Módulo:
\[ |\vec c|=\sqrt{(-8)^2+6^2} \]
\[ |\vec c|=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10 \]
c) Dirección:
El vector está en el segundo cuadrante, porque \(c_x<0\) y \(c_y>0\).
Para el ángulo de referencia:
\[ \tan(\alpha)=\frac{6}{8}=\frac{3}{4} \]
\[ \alpha=\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\approx 36{,}9^\circ \]
Como está en el segundo cuadrante:
\[ \theta=180^\circ-36{,}9^\circ=143{,}1^\circ \]
La dirección aproximada es \(143{,}1^\circ\).
Ejercicio 4
Sean:
\[ \vec u=(5,7),\qquad \vec v=(3,-2) \]
Calcula \(\vec R=\vec u+\vec v\) y su módulo.
Sumamos componente a componente:
\[ R_x=5+3=8 \]
\[ R_y=7+(-2)=5 \]
Entonces:
\[ \vec R=(8,5) \]
Calculamos el módulo:
\[ |\vec R|=\sqrt{8^2+5^2} \]
\[ |\vec R|=\sqrt{64+25}=\sqrt{89} \]
Por lo tanto, el módulo del resultante es \(\sqrt{89}\), aproximadamente \(9{,}4\).
Ejercicio 5
Dos vectores tienen las siguientes características:
\[ |\vec a|=10,\quad \theta_a=0^\circ \]
\[ |\vec b|=10,\quad \theta_b=90^\circ \]
a) Escribe cada vector por componentes.
b) Calcula el vector resultante.
c) Calcula su módulo y dirección.
a) Componentes:
Para \(\vec a\):
\[ \vec a=(10\cos 0^\circ,10\sin 0^\circ)=(10,0) \]
Para \(\vec b\):
\[ \vec b=(10\cos 90^\circ,10\sin 90^\circ)=(0,10) \]
b) Resultante:
\[ \vec R=(10,0)+(0,10)=(10,10) \]
c) Módulo y dirección:
\[ |\vec R|=\sqrt{10^2+10^2} \]
\[ |\vec R|=\sqrt{200}=10\sqrt{2} \]
Como las componentes son iguales y positivas, el vector está en el primer cuadrante y forma un ángulo de \(45^\circ\).
Por lo tanto:
\[ |\vec R|=10\sqrt{2},\qquad \theta=45^\circ \]
Ejercicio 6
Dos fuerzas actúan sobre un cuerpo:
\[ |\vec F_1|=20,\quad \theta_1=0^\circ \]
\[ |\vec F_2|=20,\quad \theta_2=120^\circ \]
Determina el vector resultante, su módulo y su dirección.
Primero descomponemos \(\vec F_1\):
\[ \vec F_1=(20\cos 0^\circ,20\sin 0^\circ)=(20,0) \]
Ahora descomponemos \(\vec F_2\):
\[ \cos(120^\circ)=-\frac{1}{2},\qquad \sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \vec F_2=\left(20\cdot\left(-\frac{1}{2}\right),20\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]
\[ \vec F_2=(-10,10\sqrt{3}) \]
Sumamos:
\[ \vec R=(20,0)+(-10,10\sqrt{3}) \]
\[ \vec R=(10,10\sqrt{3}) \]
Calculamos el módulo:
\[ |\vec R|=\sqrt{10^2+(10\sqrt{3})^2} \]
\[ |\vec R|=\sqrt{100+300}=\sqrt{400}=20 \]
Para la dirección:
\[ \tan(\theta)=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3} \]
\[ \theta=60^\circ \]
Por lo tanto, el resultante es:
\[ \vec R=(10,10\sqrt{3}),\qquad |\vec R|=20,\qquad \theta=60^\circ \]
Ejercicio 7
Una persona se desplaza \(50\ \text{m}\) formando un ángulo de \(37^\circ\) con el eje \(x\) positivo. Luego se desplaza \(20\ \text{m}\) hacia el oeste.
Usa:
\[ \cos(37^\circ)\approx 0{,}80,\qquad \sin(37^\circ)\approx 0{,}60 \]
a) Escribe ambos desplazamientos por componentes.
b) Calcula el desplazamiento resultante.
c) Calcula el módulo aproximado del resultante.
a) Componentes:
Primer desplazamiento:
\[ d_{1x}=50\cos(37^\circ)\approx 50\cdot 0{,}80=40 \]
\[ d_{1y}=50\sin(37^\circ)\approx 50\cdot 0{,}60=30 \]
\[ \vec d_1\approx (40,30) \]
El segundo desplazamiento es \(20\ \text{m}\) hacia el oeste, es decir, hacia la izquierda:
\[ \vec d_2=(-20,0) \]
b) Resultante:
\[ \vec R=(40,30)+(-20,0) \]
\[ \vec R=(20,30) \]
c) Módulo:
\[ |\vec R|=\sqrt{20^2+30^2} \]
\[ |\vec R|=\sqrt{400+900}=\sqrt{1300}=10\sqrt{13} \]
\[ |\vec R|\approx 36{,}1\ \text{m} \]
Ejercicio 8
Dos fuerzas tienen módulos \(30\ \text{N}\) y \(30\ \text{N}\). La primera forma un ángulo de \(30^\circ\) y la segunda forma un ángulo de \(330^\circ\) con el eje \(x\) positivo.
Calcula el vector resultante.
Descomponemos la primera fuerza:
\[ \vec F_1=(30\cos 30^\circ,30\sin 30^\circ) \]
\[ \vec F_1=\left(30\cdot\frac{\sqrt{3}}{2},30\cdot\frac{1}{2}\right) \]
\[ \vec F_1=(15\sqrt{3},15) \]
Descomponemos la segunda fuerza:
\[ \cos(330^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin(330^\circ)=-\frac{1}{2} \]
\[ \vec F_2=(30\cos 330^\circ,30\sin 330^\circ) \]
\[ \vec F_2=(15\sqrt{3},-15) \]
Sumamos:
\[ \vec R=(15\sqrt{3},15)+(15\sqrt{3},-15) \]
\[ \vec R=(30\sqrt{3},0) \]
El resultante es horizontal hacia la derecha, porque las componentes verticales se anulan.
Ejercicio 9
Un vector resultante tiene componentes:
\[ \vec R=(-6,8) \]
a) Calcula su módulo.
b) Determina aproximadamente su dirección medida desde el eje \(x\) positivo.
a) Módulo:
\[ |\vec R|=\sqrt{(-6)^2+8^2} \]
\[ |\vec R|=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \]
b) Dirección:
Como \(R_x<0\) y \(R_y>0\), el vector está en el segundo cuadrante.
El ángulo de referencia cumple:
\[ \tan(\alpha)=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} \]
\[ \alpha=\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\approx 53{,}1^\circ \]
Como el vector está en el segundo cuadrante:
\[ \theta=180^\circ-53{,}1^\circ=126{,}9^\circ \]
La dirección aproximada es \(126{,}9^\circ\).
Ejercicio 10
Un estudiante suma dos vectores de módulos \(10\) y \(10\), con direcciones \(0^\circ\) y \(180^\circ\), y afirma que el módulo resultante es \(20\).
¿Cuál es el error? Calcula correctamente el vector resultante.
El error es sumar directamente los módulos sin considerar la dirección.
El primer vector, de módulo \(10\) y dirección \(0^\circ\), es:
\[ \vec a=(10,0) \]
El segundo vector, de módulo \(10\) y dirección \(180^\circ\), apunta hacia la izquierda:
\[ \vec b=(-10,0) \]
Sumamos:
\[ \vec R=(10,0)+(-10,0) \]
\[ \vec R=(0,0) \]
Por lo tanto, el módulo resultante es:
\[ |\vec R|=0 \]
Las fuerzas o desplazamientos se anulan porque tienen igual magnitud y sentidos opuestos.
Ejercicio 11
Un objeto recibe tres desplazamientos consecutivos:
\[ \vec d_1=(12,5),\qquad \vec d_2=(-4,7),\qquad \vec d_3=(2,-9) \]
a) Calcula el desplazamiento resultante.
b) Calcula su módulo.
a) Resultante:
Sumamos las componentes horizontales:
\[ R_x=12+(-4)+2=10 \]
Sumamos las componentes verticales:
\[ R_y=5+7+(-9)=3 \]
Entonces:
\[ \vec R=(10,3) \]
b) Módulo:
\[ |\vec R|=\sqrt{10^2+3^2} \]
\[ |\vec R|=\sqrt{100+9}=\sqrt{109} \]
El módulo del desplazamiento resultante es \(\sqrt{109}\), aproximadamente \(10{,}4\).
Ejercicio 12
Un dron se mueve \(40\ \text{m}\) con dirección \(60^\circ\) y luego \(20\ \text{m}\) con dirección \(300^\circ\), ambas medidas desde el eje \(x\) positivo.
a) Escribe cada desplazamiento por componentes.
b) Calcula el desplazamiento resultante.
c) Calcula el módulo del resultante.
a) Componentes:
Primer desplazamiento:
\[ \vec d_1=(40\cos 60^\circ,40\sin 60^\circ) \]
\[ \vec d_1=\left(40\cdot\frac{1}{2},40\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]
\[ \vec d_1=(20,20\sqrt{3}) \]
Segundo desplazamiento:
\[ \cos(300^\circ)=\frac{1}{2},\qquad \sin(300^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \vec d_2=(20\cos 300^\circ,20\sin 300^\circ) \]
\[ \vec d_2=(10,-10\sqrt{3}) \]
b) Resultante:
\[ \vec R=(20,20\sqrt{3})+(10,-10\sqrt{3}) \]
\[ \vec R=(30,10\sqrt{3}) \]
c) Módulo:
\[ |\vec R|=\sqrt{30^2+(10\sqrt{3})^2} \]
\[ |\vec R|=\sqrt{900+300}=\sqrt{1200} \]
\[ |\vec R|=20\sqrt{3} \]
El módulo del desplazamiento resultante es \(20\sqrt{3}\ \text{m}\), aproximadamente \(34{,}6\ \text{m}\).
Cierre
La trigonometría permite pasar entre módulo, dirección y componentes de un vector. Esta conexión es fundamental para resolver problemas de desplazamientos, fuerzas y proyecciones en el plano.