Libro de variables aleatorias y probabilidad social
2. Variables aleatorias finitas
Objetivos de la página
- Comprender qué es una variable aleatoria finita.
- Asignar valores numéricos a los resultados de un experimento aleatorio.
- Distinguir entre resultado posible y valor de una variable aleatoria.
- Identificar los valores posibles que puede tomar una variable aleatoria finita.
¿Qué es una variable aleatoria?
Una variable aleatoria es una regla que asigna un número a cada resultado posible de un experimento aleatorio.
Si el experimento tiene una cantidad finita de resultados posibles, entonces la variable aleatoria es finita.
Por ejemplo, si lanzamos una moneda, podemos definir una variable aleatoria \(X\) como:
\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]
En este caso, \(X\) puede tomar los valores \(0\) o \(1\).
Representación de una variable aleatoria
Una variable aleatoria se suele representar con una letra mayúscula, como \(X\), \(Y\) o \(Z\).
Si \(S\) es el espacio muestral, una variable aleatoria asigna un valor numérico a cada resultado de \(S\).
De forma simple:
\[ \text{resultado posible}\longrightarrow \text{valor numérico} \]
Por eso, una variable aleatoria no es el resultado en sí mismo, sino una forma numérica de describirlo.
Ejemplo 1: lanzar una moneda
Se lanza una moneda una vez. El espacio muestral es:
\[ S=\{\text{cara},\text{sello}\} \]
Definimos la variable aleatoria \(X\) como:
\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]
| Resultado | Valor de \(X\) |
|---|---|
| cara | \(1\) |
| sello | \(0\) |
Por lo tanto, los valores posibles de \(X\) son:
\[ X\in\{0,1\} \]
Ejemplo 2: lanzar una moneda dos veces
Se lanza una moneda dos veces. El espacio muestral es:
\[ S=\{(\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara}),(\text{sello},\text{sello})\} \]
Definimos la variable aleatoria \(X\) como:
\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]
| Resultado | Valor de \(X\) |
|---|---|
| \((\text{cara},\text{cara})\) | \(2\) |
| \((\text{cara},\text{sello})\) | \(1\) |
| \((\text{sello},\text{cara})\) | \(1\) |
| \((\text{sello},\text{sello})\) | \(0\) |
Aunque hay \(4\) resultados posibles, la variable \(X\) solo puede tomar \(3\) valores:
\[ X\in\{0,1,2\} \]
Ejemplo 3: lanzar un dado
Se lanza un dado común de seis caras. El espacio muestral es:
\[ S=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Definimos la variable aleatoria \(Y\) como:
\[ Y=\text{resto al dividir el resultado por }2 \]
Esto permite distinguir si el resultado es par o impar.
| Resultado del dado | Valor de \(Y\) |
|---|---|
| \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(0\) |
| \(3\) | \(1\) |
| \(4\) | \(0\) |
| \(5\) | \(1\) |
| \(6\) | \(0\) |
Los valores posibles de \(Y\) son:
\[ Y\in\{0,1\} \]
El valor \(0\) corresponde a resultados pares y el valor \(1\) corresponde a resultados impares.
Error frecuente
No siempre los valores de la variable aleatoria coinciden con los resultados del experimento.
Por ejemplo, al lanzar un dado, el resultado puede ser \(1,2,3,4,5\) o \(6\), pero si la variable aleatoria cuenta si el número es par o impar, sus valores posibles pueden ser solo \(0\) y \(1\).
Idea clave
Para definir una variable aleatoria finita, se deben responder dos preguntas:
- ¿Cuál es el experimento aleatorio?
- ¿Qué número se asignará a cada resultado posible?
Ejercicio 1
Se lanza una moneda una vez. Se define la variable aleatoria \(X\) como:
\[ X=\text{número de sellos obtenidos} \]
a) Escribe el espacio muestral.
b) Completa la asignación de valores de \(X\).
c) Indica los valores posibles de \(X\).
a) El espacio muestral es:
\[ S=\{\text{cara},\text{sello}\} \]
b) Como \(X\) cuenta el número de sellos:
| Resultado | Valor de \(X\) |
|---|---|
| cara | \(0\) |
| sello | \(1\) |
c) Los valores posibles de \(X\) son:
\[ X\in\{0,1\} \]
Ejercicio 2
Se lanza un dado común. Se define la variable aleatoria \(X\) como:
\[ X=\text{número obtenido en el dado} \]
a) Escribe el espacio muestral.
b) Indica los valores posibles de \(X\).
c) Explica si en este caso los resultados y los valores de \(X\) coinciden.
a) El espacio muestral es:
\[ S=\{1,2,3,4,5,6\} \]
b) Como \(X\) es el número obtenido, los valores posibles son:
\[ X\in\{1,2,3,4,5,6\} \]
c) Sí, en este caso coinciden, porque cada resultado del dado ya es un número y la variable \(X\) toma exactamente ese mismo valor.
Ejercicio 3
Se lanza un dado común. Se define la variable aleatoria \(Y\) como:
\[ Y=1 \text{ si el resultado es par, y } Y=0 \text{ si el resultado es impar} \]
a) Completa la asignación de valores de \(Y\).
b) Indica los valores posibles de \(Y\).
| Resultado | Valor de \(Y\) |
|---|---|
| \(1\) | ... |
| \(2\) | ... |
| \(3\) | ... |
| \(4\) | ... |
| \(5\) | ... |
| \(6\) | ... |
Según la definición, \(Y=1\) cuando el resultado es par y \(Y=0\) cuando es impar.
| Resultado | Valor de \(Y\) |
|---|---|
| \(1\) | \(0\) |
| \(2\) | \(1\) |
| \(3\) | \(0\) |
| \(4\) | \(1\) |
| \(5\) | \(0\) |
| \(6\) | \(1\) |
Los valores posibles de \(Y\) son:
\[ Y\in\{0,1\} \]
Ejercicio 4
Se lanzan dos monedas. Se define la variable aleatoria \(X\) como:
\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]
a) Escribe el espacio muestral.
b) Asigna el valor de \(X\) a cada resultado.
c) Indica los valores posibles de \(X\).
a) El espacio muestral es:
\[ S=\{(\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara}),(\text{sello},\text{sello})\} \]
b) Asignamos a cada resultado el número de caras:
| Resultado | Valor de \(X\) |
|---|---|
| \((\text{cara},\text{cara})\) | \(2\) |
| \((\text{cara},\text{sello})\) | \(1\) |
| \((\text{sello},\text{cara})\) | \(1\) |
| \((\text{sello},\text{sello})\) | \(0\) |
c) Los valores posibles son:
\[ X\in\{0,1,2\} \]
Ejercicio 5
En una bolsa hay tarjetas con los números \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) y \(5\). Se extrae una tarjeta al azar.
Se define la variable aleatoria \(Z\) como:
\[ Z=\text{doble del número extraído} \]
a) Escribe el espacio muestral.
b) Asigna el valor de \(Z\) a cada resultado.
c) Indica los valores posibles de \(Z\).
a) El espacio muestral es:
\[ S=\{1,2,3,4,5\} \]
b) Como \(Z\) es el doble del número extraído:
| Resultado | Valor de \(Z\) |
|---|---|
| \(1\) | \(2\) |
| \(2\) | \(4\) |
| \(3\) | \(6\) |
| \(4\) | \(8\) |
| \(5\) | \(10\) |
c) Los valores posibles son:
\[ Z\in\{2,4,6,8,10\} \]
Ejercicio 6
En una encuesta, una persona elige su nivel de satisfacción con un servicio: baja, media o alta.
Se define la variable aleatoria \(X\) de la siguiente forma:
\[ X=1 \text{ si la satisfacción es baja} \]
\[ X=2 \text{ si la satisfacción es media} \]
\[ X=3 \text{ si la satisfacción es alta} \]
a) Escribe el espacio muestral.
b) Indica los valores posibles de \(X\).
c) Explica por qué \(X\) es una variable aleatoria finita.
a) El espacio muestral es:
\[ S=\{\text{baja},\text{media},\text{alta}\} \]
b) Según la definición, los valores posibles de \(X\) son:
\[ X\in\{1,2,3\} \]
c) Es una variable aleatoria finita porque asigna un número a cada resultado posible y porque el experimento tiene solo tres resultados posibles.
Ejercicio 7
Se elige al azar un estudiante de un grupo y se registra cuántos hermanos tiene.
Supongamos que en el grupo los posibles números de hermanos son \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) y \(4\).
a) Define una variable aleatoria adecuada para esta situación.
b) Indica sus valores posibles.
c) Explica por qué se considera finita en este contexto.
a) Una variable aleatoria adecuada es:
\[ X=\text{número de hermanos del estudiante elegido} \]
b) Según la información del grupo, los valores posibles son:
\[ X\in\{0,1,2,3,4\} \]
c) Se considera finita porque, dentro de este grupo, la variable solo puede tomar una cantidad limitada de valores.
Ejercicio 8
Una aplicación muestra al azar uno de estos tipos de contenido:
\[ \text{noticia},\quad \text{video},\quad \text{anuncio},\quad \text{publicación de amistad} \]
Se define la variable aleatoria \(X\) como:
\[ X=1 \text{ si el contenido es un anuncio} \]
\[ X=0 \text{ si el contenido no es un anuncio} \]
a) Asigna el valor de \(X\) a cada resultado posible.
b) Indica los valores posibles de \(X\).
c) Explica qué representa el valor \(1\).
a) Asignamos los valores según la definición:
| Resultado | Valor de \(X\) |
|---|---|
| noticia | \(0\) |
| video | \(0\) |
| anuncio | \(1\) |
| publicación de amistad | \(0\) |
b) Los valores posibles son:
\[ X\in\{0,1\} \]
c) El valor \(1\) representa que el contenido mostrado fue un anuncio.
Ejercicio 9
Se lanza un dado común. Un estudiante define:
\[ X=\text{obtener un número par} \]
¿Está correctamente definida \(X\) como variable aleatoria? Explica y corrige la definición.
No está completamente bien definida como variable aleatoria, porque la expresión “obtener un número par” describe un evento, pero no asigna directamente un valor numérico a cada resultado.
Una forma correcta de definirla sería:
\[ X=1 \text{ si el resultado es par} \]
\[ X=0 \text{ si el resultado es impar} \]
Así, cada resultado del dado recibe un valor numérico.
Ejercicio 10
En una caja hay bolitas rojas, azules y verdes. Se extrae una bolita al azar.
Define una variable aleatoria finita que permita distinguir si la bolita extraída es roja o no roja.
Luego indica sus valores posibles.
Una variable aleatoria adecuada es:
\[ X=1 \text{ si la bolita es roja} \]
\[ X=0 \text{ si la bolita no es roja} \]
Entonces, si el espacio muestral es:
\[ S=\{\text{roja},\text{azul},\text{verde}\} \]
la asignación queda:
| Resultado | Valor de \(X\) |
|---|---|
| roja | \(1\) |
| azul | \(0\) |
| verde | \(0\) |
Los valores posibles son:
\[ X\in\{0,1\} \]
Para continuar
En la próxima página se estudiará con más detalle cómo identificar y ordenar los valores posibles de una variable aleatoria finita.