Libro de variables aleatorias y probabilidad social
1. Experimentos aleatorios y resultados posibles
Objetivos de la página
- Distinguir entre situaciones determinísticas y experimentos aleatorios.
- Identificar resultados posibles de un experimento aleatorio.
- Representar el espacio muestral de un experimento aleatorio finito.
- Reconocer eventos dentro de un espacio muestral.
Situaciones determinísticas y aleatorias
Una situación es determinística cuando se puede anticipar con certeza su resultado.
Una situación es aleatoria cuando no se puede saber con certeza qué resultado ocurrirá, aunque sí se pueden conocer sus resultados posibles.
Ejemplo 1: distinguir situaciones
Analicemos las siguientes situaciones:
| Situación | Tipo | Justificación |
|---|---|---|
| Calcular \(5+7\) | Determinística | El resultado siempre será \(12\). |
| Lanzar una moneda | Aleatoria | No se sabe con certeza si saldrá cara o sello. |
| Elegir al azar a un estudiante de un curso | Aleatoria | Antes de elegir, no se sabe con certeza qué estudiante será seleccionado. |
Espacio muestral
El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos sus resultados posibles.
Se suele representar con la letra \(S\) o \(\Omega\).
Por ejemplo, al lanzar una moneda:
\[ S=\{\text{cara},\text{sello}\} \]
Este espacio muestral es finito porque tiene una cantidad limitada de resultados posibles.
Ejemplo 2: espacio muestral de un dado
Al lanzar un dado común de seis caras, los resultados posibles son:
\[ S=\{1,2,3,4,5,6\} \]
El espacio muestral tiene \(6\) resultados posibles.
Cada resultado corresponde al número obtenido en la cara superior del dado.
Evento o suceso
Un evento o suceso es un conjunto de resultados dentro del espacio muestral.
Por ejemplo, al lanzar un dado, el evento “obtener un número par” es:
\[ A=\{2,4,6\} \]
El evento \(A\) está formado por todos los resultados del espacio muestral que cumplen la condición indicada.
Ejemplo 3: eventos en un contexto
En una encuesta escolar, se pregunta a una persona cuál es su medio de transporte principal para llegar al colegio.
Los resultados posibles son:
\[ S=\{\text{caminando},\text{bicicleta},\text{bus},\text{auto},\text{metro}\} \]
Un evento podría ser:
\[ A=\{\text{bus},\text{metro}\} \]
Este evento representa “usar transporte público”.
Error frecuente
No es lo mismo un resultado que un evento.
Un resultado es una posibilidad individual. Un evento puede contener uno o más resultados.
Por ejemplo, al lanzar un dado, \(4\) es un resultado, mientras que \(\{2,4,6\}\) es un evento.
Idea clave
Antes de calcular probabilidades, es necesario identificar claramente qué experimento se realiza y cuáles son todos sus resultados posibles.
Este paso será fundamental para definir variables aleatorias finitas en las siguientes páginas.
Ejercicio 1
Clasifica cada situación como determinística o aleatoria. Justifica brevemente.
a) Medir la temperatura máxima de mañana.
b) Calcular \(9\cdot 4\).
c) Lanzar una moneda.
d) Saber cuántos estudiantes asistirán mañana a clases.
a) Es una situación aleatoria, porque no se puede saber con certeza cuál será la temperatura máxima de mañana.
b) Es determinística, porque \(9\cdot 4=36\) siempre.
c) Es aleatoria, porque antes del lanzamiento no se sabe si saldrá cara o sello.
d) Es aleatoria, porque no se puede saber con certeza cuántos estudiantes asistirán hasta que ocurra la jornada.
Ejercicio 2
Se lanza una moneda una vez.
a) Escribe el espacio muestral.
b) Indica cuántos resultados posibles tiene.
a) Al lanzar una moneda una vez, los resultados posibles son cara o sello.
Por lo tanto:
\[ S=\{\text{cara},\text{sello}\} \]
b) El espacio muestral tiene \(2\) resultados posibles.
Ejercicio 3
Se lanza un dado común de seis caras.
a) Escribe el espacio muestral.
b) Escribe el evento \(A\): “obtener un número mayor que \(4\)”.
c) Escribe el evento \(B\): “obtener un número impar”.
a) El espacio muestral es:
\[ S=\{1,2,3,4,5,6\} \]
b) Los números mayores que \(4\) son \(5\) y \(6\). Entonces:
\[ A=\{5,6\} \]
c) Los números impares del dado son \(1\), \(3\) y \(5\). Entonces:
\[ B=\{1,3,5\} \]
Ejercicio 4
En una bolsa hay fichas con las letras \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\). Se extrae una ficha al azar.
a) Escribe el espacio muestral.
b) Escribe el evento \(V\): “extraer una vocal”.
c) Escribe el evento \(C\): “extraer una consonante”.
a) Los resultados posibles son las letras de las fichas:
\[ S=\{A,B,C,D,E\} \]
b) Las vocales presentes son \(A\) y \(E\). Entonces:
\[ V=\{A,E\} \]
c) Las consonantes presentes son \(B\), \(C\) y \(D\). Entonces:
\[ C=\{B,C,D\} \]
Ejercicio 5
Se elige al azar un día de la semana.
a) Escribe el espacio muestral.
b) Escribe el evento \(F\): “elegir un día de fin de semana”.
c) Escribe el evento \(L\): “elegir un día cuyo nombre comienza con la letra \(m\)”.
a) El espacio muestral es:
\[ S=\{\text{lunes},\text{martes},\text{miércoles},\text{jueves},\text{viernes},\text{sábado},\text{domingo}\} \]
b) Los días de fin de semana son sábado y domingo:
\[ F=\{\text{sábado},\text{domingo}\} \]
c) Los días que comienzan con \(m\) son martes y miércoles:
\[ L=\{\text{martes},\text{miércoles}\} \]
Ejercicio 6
En una encuesta, una persona debe elegir su actividad favorita entre las siguientes opciones:
\[ \text{deporte},\quad \text{música},\quad \text{lectura},\quad \text{videojuegos},\quad \text{cine} \]
a) Escribe el espacio muestral.
b) Propón un evento formado por dos resultados posibles.
c) Propón un evento formado por tres resultados posibles.
a) El espacio muestral es:
\[ S=\{\text{deporte},\text{música},\text{lectura},\text{videojuegos},\text{cine}\} \]
b) Una respuesta posible es el evento “actividades artísticas o culturales”:
\[ A=\{\text{música},\text{cine}\} \]
c) Una respuesta posible es el evento “actividades de tiempo libre en casa”:
\[ B=\{\text{lectura},\text{videojuegos},\text{cine}\} \]
Existen otras respuestas correctas si los eventos propuestos están formados por resultados del espacio muestral.
Ejercicio 7
Se lanza una moneda dos veces. Un resultado se representa como un par ordenado, por ejemplo \((\text{cara},\text{sello})\).
a) Escribe el espacio muestral.
b) Escribe el evento \(A\): “obtener exactamente una cara”.
c) Escribe el evento \(B\): “obtener dos resultados iguales”.
a) Como se lanza la moneda dos veces, debemos considerar el resultado del primer y segundo lanzamiento:
\[ S=\{(\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara}),(\text{sello},\text{sello})\} \]
b) Obtener exactamente una cara ocurre en los resultados:
\[ A=\{(\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara})\} \]
c) Obtener dos resultados iguales ocurre en:
\[ B=\{(\text{cara},\text{cara}),(\text{sello},\text{sello})\} \]
Ejercicio 8
En una caja hay tarjetas numeradas del \(1\) al \(10\). Se elige una tarjeta al azar.
a) Escribe el espacio muestral.
b) Escribe el evento \(A\): “obtener un número múltiplo de \(3\)”.
c) Escribe el evento \(B\): “obtener un número menor o igual que \(4\)”.
d) Escribe el evento \(C\): “obtener un número mayor que \(10\)”.
a) El espacio muestral es:
\[ S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
b) Los múltiplos de \(3\) entre \(1\) y \(10\) son \(3\), \(6\) y \(9\). Entonces:
\[ A=\{3,6,9\} \]
c) Los números menores o iguales que \(4\) son:
\[ B=\{1,2,3,4\} \]
d) No hay números mayores que \(10\) en el espacio muestral. Entonces:
\[ C=\varnothing \]
El evento \(C\) es un evento imposible dentro de este experimento.
Ejercicio 9
Una aplicación muestra al azar una de las siguientes recomendaciones:
\[ \text{noticia},\quad \text{video},\quad \text{anuncio},\quad \text{publicación de amistad} \]
a) Escribe el espacio muestral.
b) Escribe un evento que represente “contenido informativo”.
c) Explica por qué esta situación puede considerarse aleatoria desde el punto de vista del usuario.
a) El espacio muestral es:
\[ S=\{\text{noticia},\text{video},\text{anuncio},\text{publicación de amistad}\} \]
b) Una respuesta posible para “contenido informativo” es:
\[ I=\{\text{noticia}\} \]
También podría incluirse otro resultado si se justifica que cumple la condición.
c) Desde el punto de vista del usuario, puede considerarse aleatoria porque antes de que aparezca la recomendación no sabe con certeza cuál de las opciones verá.
Ejercicio 10
Un estudiante dice: “Al lanzar un dado, el evento obtener un número par es \(2\)”.
¿Cuál es el error? Corrige la afirmación.
El error es confundir un resultado con un evento.
El número \(2\) es solo un resultado posible.
El evento “obtener un número par” incluye todos los resultados pares del dado:
\[ A=\{2,4,6\} \]
Por lo tanto, la afirmación corregida es:
“Al lanzar un dado, el evento obtener un número par es \(\{2,4,6\}\)”.
Para continuar
En la próxima página se definirá una variable aleatoria finita, asignando un valor numérico a cada resultado posible de un experimento aleatorio.