Libro de variables aleatorias y probabilidad social
3. Probabilidad asociada a cada valor de una variable aleatoria finita
Objetivos de la página
- Calcular la probabilidad de que una variable aleatoria finita tome un valor determinado.
- Relacionar valores de una variable aleatoria con los resultados del espacio muestral.
- Usar conteo de casos favorables y casos posibles en espacios muestrales equiprobables.
- Evitar confundir cantidad de valores posibles con cantidad de resultados posibles.
Probabilidad de un valor de la variable aleatoria
Si \(X\) es una variable aleatoria finita, la expresión \(P(X=x)\) representa la probabilidad de que \(X\) tome el valor \(x\).
Por ejemplo, si \(X\) es el número de caras al lanzar dos monedas, entonces:
\[ P(X=1) \]
representa la probabilidad de obtener exactamente una cara.
Cálculo en espacios muestrales equiprobables
Cuando todos los resultados del espacio muestral son igualmente probables, se puede calcular:
\[ P(X=x)=\frac{\text{número de resultados que producen }X=x}{\text{número total de resultados posibles}} \]
Es decir, se cuentan los resultados del experimento que hacen que la variable tome el valor indicado.
Ejemplo 1: número de caras al lanzar dos monedas
Se lanzan dos monedas. El espacio muestral es:
\[ S=\{(\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara}),(\text{sello},\text{sello})\} \]
Definimos la variable aleatoria \(X\) como:
\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]
| Resultado | Valor de \(X\) |
|---|---|
| \((\text{cara},\text{cara})\) | \(2\) |
| \((\text{cara},\text{sello})\) | \(1\) |
| \((\text{sello},\text{cara})\) | \(1\) |
| \((\text{sello},\text{sello})\) | \(0\) |
Calculamos la probabilidad de cada valor:
\[ P(X=0)=\frac{1}{4} \]
\[ P(X=1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]
\[ P(X=2)=\frac{1}{4} \]
El valor \(X=1\) tiene mayor probabilidad porque hay dos resultados que producen exactamente una cara.
Ejemplo 2: variable que distingue paridad
Se lanza un dado común. Definimos la variable aleatoria \(Y\) como:
\[ Y=1 \text{ si el resultado es par} \]
\[ Y=0 \text{ si el resultado es impar} \]
El espacio muestral es:
\[ S=\{1,2,3,4,5,6\} \]
| Valor de \(Y\) | Resultados que lo producen | Probabilidad |
|---|---|---|
| \(0\) | \(1,3,5\) | \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) |
| \(1\) | \(2,4,6\) | \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) |
Por lo tanto:
\[ P(Y=0)=\frac{1}{2},\qquad P(Y=1)=\frac{1}{2} \]
Ejemplo 3: tarjetas numeradas
En una caja hay tarjetas numeradas del \(1\) al \(5\). Se extrae una tarjeta al azar.
Definimos la variable aleatoria \(Z\) como:
\[ Z=1 \text{ si el número extraído es mayor que }3 \]
\[ Z=0 \text{ si el número extraído no es mayor que }3 \]
Los resultados posibles son:
\[ S=\{1,2,3,4,5\} \]
Los números mayores que \(3\) son \(4\) y \(5\), por lo tanto:
\[ P(Z=1)=\frac{2}{5} \]
Los números que no son mayores que \(3\) son \(1\), \(2\) y \(3\), por lo tanto:
\[ P(Z=0)=\frac{3}{5} \]
Error frecuente
No se debe dividir por la cantidad de valores posibles de la variable, sino por la cantidad de resultados posibles del experimento.
Al lanzar dos monedas, la variable \(X=\text{número de caras}\) tiene valores posibles \(\{0,1,2\}\), pero eso no significa que cada valor tenga probabilidad \(\frac{1}{3}\).
El valor \(X=1\) ocurre en dos resultados, mientras que \(X=0\) y \(X=2\) ocurren en uno cada uno.
Idea clave
Para calcular \(P(X=x)\), primero identifica qué resultados del espacio muestral producen el valor \(x\). Luego compara esa cantidad con el total de resultados posibles.
Ejercicio 1
Se lanza una moneda una vez. Definimos la variable aleatoria \(X\) como:
\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]
Calcula \(P(X=0)\) y \(P(X=1)\).
El espacio muestral es:
\[ S=\{\text{cara},\text{sello}\} \]
Si sale sello, entonces \(X=0\). Si sale cara, entonces \(X=1\).
Hay \(2\) resultados posibles igualmente probables.
Entonces:
\[ P(X=0)=\frac{1}{2} \]
\[ P(X=1)=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 2
Se lanza un dado común. Definimos la variable aleatoria \(X\) como:
\[ X=\text{número obtenido} \]
Calcula \(P(X=2)\), \(P(X=5)\) y \(P(X=7)\).
El espacio muestral es:
\[ S=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Cada resultado tiene probabilidad \(\frac{1}{6}\).
Como \(2\) aparece una vez en el dado:
\[ P(X=2)=\frac{1}{6} \]
Como \(5\) aparece una vez en el dado:
\[ P(X=5)=\frac{1}{6} \]
Como \(7\) no es un resultado posible del dado:
\[ P(X=7)=0 \]
Ejercicio 3
Se lanza un dado común. Definimos la variable aleatoria \(Y\) como:
\[ Y=1 \text{ si el resultado es par} \]
\[ Y=0 \text{ si el resultado es impar} \]
Calcula \(P(Y=0)\) y \(P(Y=1)\).
El espacio muestral es:
\[ S=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Los resultados impares son:
\[ \{1,3,5\} \]
Por lo tanto:
\[ P(Y=0)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Los resultados pares son:
\[ \{2,4,6\} \]
Por lo tanto:
\[ P(Y=1)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 4
Se lanzan dos monedas. Definimos la variable aleatoria \(X\) como:
\[ X=\text{número de sellos obtenidos} \]
Calcula \(P(X=0)\), \(P(X=1)\) y \(P(X=2)\).
El espacio muestral es:
\[ S=\{(\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara}),(\text{sello},\text{sello})\} \]
Asignamos el número de sellos:
| Resultado | Valor de \(X\) |
|---|---|
| \((\text{cara},\text{cara})\) | \(0\) |
| \((\text{cara},\text{sello})\) | \(1\) |
| \((\text{sello},\text{cara})\) | \(1\) |
| \((\text{sello},\text{sello})\) | \(2\) |
Entonces:
\[ P(X=0)=\frac{1}{4} \]
\[ P(X=1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]
\[ P(X=2)=\frac{1}{4} \]
Ejercicio 5
Se lanzan dos monedas. Definimos la variable aleatoria \(W\) como:
\[ W=1 \text{ si los dos resultados son iguales} \]
\[ W=0 \text{ si los dos resultados son distintos} \]
Calcula \(P(W=0)\) y \(P(W=1)\).
El espacio muestral es:
\[ S=\{(\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara}),(\text{sello},\text{sello})\} \]
Los resultados iguales son:
\[ \{(\text{cara},\text{cara}),(\text{sello},\text{sello})\} \]
Entonces:
\[ P(W=1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]
Los resultados distintos son:
\[ \{(\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara})\} \]
Entonces:
\[ P(W=0)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 6
En una caja hay tarjetas numeradas del \(1\) al \(5\). Se extrae una tarjeta al azar.
Definimos la variable aleatoria \(Z\) como:
\[ Z=1 \text{ si el número extraído es mayor que }3 \]
\[ Z=0 \text{ si el número extraído no es mayor que }3 \]
Calcula \(P(Z=0)\) y \(P(Z=1)\).
El espacio muestral es:
\[ S=\{1,2,3,4,5\} \]
Los resultados mayores que \(3\) son:
\[ \{4,5\} \]
Entonces:
\[ P(Z=1)=\frac{2}{5} \]
Los resultados que no son mayores que \(3\) son:
\[ \{1,2,3\} \]
Entonces:
\[ P(Z=0)=\frac{3}{5} \]
Ejercicio 7
Se extrae una tarjeta al azar de una caja con los números:
\[ -2,\quad -1,\quad 0,\quad 1,\quad 2 \]
Definimos la variable aleatoria \(Y\) como:
\[ Y=\text{valor absoluto del número extraído} \]
Calcula \(P(Y=0)\), \(P(Y=1)\) y \(P(Y=2)\).
El espacio muestral tiene \(5\) resultados posibles:
\[ S=\{-2,-1,0,1,2\} \]
Calculamos el valor absoluto de cada resultado:
| Resultado | Valor de \(Y\) |
|---|---|
| \(-2\) | \(2\) |
| \(-1\) | \(1\) |
| \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(2\) |
Entonces:
\[ P(Y=0)=\frac{1}{5} \]
\[ P(Y=1)=\frac{2}{5} \]
\[ P(Y=2)=\frac{2}{5} \]
Ejercicio 8
Se lanza un dado común. Definimos la variable aleatoria \(T\) como:
\[ T=\text{doble del número obtenido} \]
Calcula \(P(T=2)\), \(P(T=8)\), \(P(T=12)\) y \(P(T=7)\).
El dado tiene resultados posibles:
\[ S=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Como \(T\) es el doble del número obtenido, los valores posibles son:
\[ T\in\{2,4,6,8,10,12\} \]
El valor \(T=2\) ocurre cuando sale \(1\):
\[ P(T=2)=\frac{1}{6} \]
El valor \(T=8\) ocurre cuando sale \(4\):
\[ P(T=8)=\frac{1}{6} \]
El valor \(T=12\) ocurre cuando sale \(6\):
\[ P(T=12)=\frac{1}{6} \]
El valor \(T=7\) no puede ocurrir, porque no es el doble de ningún resultado del dado:
\[ P(T=7)=0 \]
Ejercicio 9
Se elige al azar un estudiante de un grupo de \(10\) personas. La cantidad de hermanos de cada estudiante es:
\[ 0,\quad 1,\quad 1,\quad 2,\quad 0,\quad 3,\quad 1,\quad 2,\quad 4,\quad 0 \]
Definimos la variable aleatoria \(X\) como:
\[ X=\text{número de hermanos del estudiante elegido} \]
Calcula la probabilidad de cada valor posible de \(X\).
Los valores posibles de \(X\) son:
\[ X\in\{0,1,2,3,4\} \]
Contamos cuántas veces aparece cada valor en el grupo:
| Valor de \(X\) | Cantidad de estudiantes | Probabilidad |
|---|---|---|
| \(0\) | \(3\) | \(\frac{3}{10}\) |
| \(1\) | \(3\) | \(\frac{3}{10}\) |
| \(2\) | \(2\) | \(\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\) |
| \(3\) | \(1\) | \(\frac{1}{10}\) |
| \(4\) | \(1\) | \(\frac{1}{10}\) |
Por lo tanto:
\[ P(X=0)=\frac{3}{10},\quad P(X=1)=\frac{3}{10},\quad P(X=2)=\frac{1}{5},\quad P(X=3)=\frac{1}{10},\quad P(X=4)=\frac{1}{10} \]
Ejercicio 10
Un estudiante dice:
“Al lanzar dos monedas, si \(X\) es el número de caras, entonces \(X\) puede valer \(0\), \(1\) o \(2\). Como hay tres valores posibles, cada uno tiene probabilidad \(\frac{1}{3}\)”.
¿Cuál es el error? Corrige las probabilidades.
El error es dividir por la cantidad de valores posibles de \(X\), en vez de contar los resultados del espacio muestral.
Al lanzar dos monedas, el espacio muestral tiene \(4\) resultados igualmente probables:
\[ S=\{(\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara}),(\text{sello},\text{sello})\} \]
La variable \(X=\text{número de caras}\) toma los valores:
| Resultado | Valor de \(X\) |
|---|---|
| \((\text{cara},\text{cara})\) | \(2\) |
| \((\text{cara},\text{sello})\) | \(1\) |
| \((\text{sello},\text{cara})\) | \(1\) |
| \((\text{sello},\text{sello})\) | \(0\) |
Por lo tanto:
\[ P(X=0)=\frac{1}{4} \]
\[ P(X=1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]
\[ P(X=2)=\frac{1}{4} \]
Para continuar
En la próxima página se organizarán estas probabilidades en una tabla de distribución de probabilidad.