Libro de variables aleatorias y probabilidad social
4. Tabla de distribución de probabilidad
Objetivos de la página
- Organizar en una tabla los valores posibles de una variable aleatoria finita y sus probabilidades.
- Verificar que las probabilidades de una distribución sumen \(1\).
- Interpretar una tabla de distribución de probabilidad.
- Representar gráficamente una distribución de probabilidad simple.
Distribución de probabilidad
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria finita muestra todos los valores que puede tomar la variable y la probabilidad asociada a cada uno.
Si la variable aleatoria es \(X\), una tabla de distribución suele organizarse así:
| Valor de \(X\) | Probabilidad |
|---|---|
| \(x_1\) | \(P(X=x_1)\) |
| \(x_2\) | \(P(X=x_2)\) |
| \(x_3\) | \(P(X=x_3)\) |
Condiciones de una distribución de probabilidad
Para que una tabla sea una distribución de probabilidad válida, debe cumplir dos condiciones:
\[ 0\leq P(X=x)\leq 1 \]
para cada valor posible \(x\), y además:
\[ \sum P(X=x)=1 \]
Es decir, ninguna probabilidad puede ser negativa ni mayor que \(1\), y la suma de todas las probabilidades debe ser \(1\).
Ejemplo 1: tabla de distribución al lanzar dos monedas
Se lanzan dos monedas. Definimos la variable aleatoria \(X\) como:
\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]
El espacio muestral es:
\[ S=\{(\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara}),(\text{sello},\text{sello})\} \]
| Valor de \(X\) | Resultados que lo producen | Probabilidad |
|---|---|---|
| \(0\) | \((\text{sello},\text{sello})\) | \(\frac{1}{4}\) |
| \(1\) | \((\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara})\) | \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) |
| \(2\) | \((\text{cara},\text{cara})\) | \(\frac{1}{4}\) |
La tabla de distribución de probabilidad es:
| \(x\) | \(P(X=x)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(\frac{1}{4}\) |
| \(1\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(2\) | \(\frac{1}{4}\) |
Verificamos que las probabilidades suman \(1\):
\[ \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1 \]
Ejemplo 2: distribución de una variable que distingue paridad
Se lanza un dado común. Definimos:
\[ Y=1 \text{ si el resultado es par} \]
\[ Y=0 \text{ si el resultado es impar} \]
Los resultados impares son \(1,3,5\), por lo tanto:
\[ P(Y=0)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Los resultados pares son \(2,4,6\), por lo tanto:
\[ P(Y=1)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
| \(y\) | \(P(Y=y)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(1\) | \(\frac{1}{2}\) |
La suma de probabilidades es:
\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \]
Ejemplo 3: distribución a partir de datos de un grupo
Se elige al azar un estudiante de un grupo de \(10\) personas. La cantidad de hermanos de cada estudiante es:
\[ 0,\quad 1,\quad 1,\quad 2,\quad 0,\quad 3,\quad 1,\quad 2,\quad 4,\quad 0 \]
Definimos:
\[ X=\text{número de hermanos del estudiante elegido} \]
Contamos cuántas veces aparece cada valor:
| \(x\) | Cantidad de estudiantes | \(P(X=x)\) |
|---|---|---|
| \(0\) | \(3\) | \(\frac{3}{10}\) |
| \(1\) | \(3\) | \(\frac{3}{10}\) |
| \(2\) | \(2\) | \(\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\) |
| \(3\) | \(1\) | \(\frac{1}{10}\) |
| \(4\) | \(1\) | \(\frac{1}{10}\) |
Verificamos:
\[ \frac{3}{10}+\frac{3}{10}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10} =\frac{3}{10}+\frac{3}{10}+\frac{2}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=1 \]
Error frecuente
Una tabla no es una distribución de probabilidad válida si sus probabilidades no suman \(1\).
Por ejemplo, la tabla \(0{,}2\), \(0{,}3\), \(0{,}4\) no es válida como distribución completa, porque:
\[ 0{,}2+0{,}3+0{,}4=0{,}9 \]
Falta probabilidad para completar el total.
Cómo interpretar una distribución
Una tabla de distribución permite responder preguntas como:
- ¿Qué valor es más probable?
- ¿Qué valores tienen la misma probabilidad?
- ¿Cuál es la probabilidad de que la variable tome ciertos valores?
- ¿La tabla representa una distribución válida?
Ejercicio 1
Se lanza una moneda una vez. Definimos:
\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]
Construye la tabla de distribución de probabilidad de \(X\).
El espacio muestral es:
\[ S=\{\text{cara},\text{sello}\} \]
Si sale sello, \(X=0\). Si sale cara, \(X=1\).
| \(x\) | \(P(X=x)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(1\) | \(\frac{1}{2}\) |
La suma de probabilidades es:
\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \]
Ejercicio 2
Se lanza un dado común. Definimos:
\[ X=\text{número obtenido} \]
Construye la tabla de distribución de probabilidad de \(X\).
Los valores posibles de \(X\) son:
\[ X\in\{1,2,3,4,5,6\} \]
Como el dado es común y todos los resultados son equiprobables, cada valor tiene probabilidad \(\frac{1}{6}\).
| \(x\) | \(P(X=x)\) |
|---|---|
| \(1\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(2\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(3\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(4\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(5\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(6\) | \(\frac{1}{6}\) |
La suma de probabilidades es:
\[ 6\cdot \frac{1}{6}=1 \]
Ejercicio 3
Se lanza un dado común. Definimos:
\[ Y=1 \text{ si el resultado es múltiplo de }3 \]
\[ Y=0 \text{ si el resultado no es múltiplo de }3 \]
Construye la tabla de distribución de probabilidad de \(Y\).
En un dado común:
\[ S=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Los múltiplos de \(3\) son:
\[ \{3,6\} \]
Entonces:
\[ P(Y=1)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
Los resultados que no son múltiplos de \(3\) son:
\[ \{1,2,4,5\} \]
Entonces:
\[ P(Y=0)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \]
| \(y\) | \(P(Y=y)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(\frac{2}{3}\) |
| \(1\) | \(\frac{1}{3}\) |
La suma es:
\[ \frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1 \]
Ejercicio 4
Se lanzan dos monedas. Definimos:
\[ X=\text{número de sellos obtenidos} \]
Construye la tabla de distribución de probabilidad de \(X\).
El espacio muestral es:
\[ S=\{(\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara}),(\text{sello},\text{sello})\} \]
Asignamos el número de sellos:
| Resultado | Valor de \(X\) |
|---|---|
| \((\text{cara},\text{cara})\) | \(0\) |
| \((\text{cara},\text{sello})\) | \(1\) |
| \((\text{sello},\text{cara})\) | \(1\) |
| \((\text{sello},\text{sello})\) | \(2\) |
Por lo tanto:
| \(x\) | \(P(X=x)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(\frac{1}{4}\) |
| \(1\) | \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) |
| \(2\) | \(\frac{1}{4}\) |
La suma de probabilidades es:
\[ \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1 \]
Ejercicio 5
En una caja hay tarjetas numeradas del \(1\) al \(5\). Se extrae una tarjeta al azar. Definimos:
\[ Z=1 \text{ si el número extraído es mayor que }3 \]
\[ Z=0 \text{ si el número extraído no es mayor que }3 \]
Construye la distribución de probabilidad de \(Z\).
Los resultados posibles son:
\[ S=\{1,2,3,4,5\} \]
Los números mayores que \(3\) son \(4\) y \(5\), entonces:
\[ P(Z=1)=\frac{2}{5} \]
Los números que no son mayores que \(3\) son \(1,2,3\), entonces:
\[ P(Z=0)=\frac{3}{5} \]
| \(z\) | \(P(Z=z)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(\frac{3}{5}\) |
| \(1\) | \(\frac{2}{5}\) |
La tabla es válida porque:
\[ \frac{3}{5}+\frac{2}{5}=1 \]
Ejercicio 6
Se extrae una tarjeta al azar de una caja con los números:
\[ -2,\quad -1,\quad 0,\quad 1,\quad 2 \]
Definimos:
\[ Y=\text{valor absoluto del número extraído} \]
Construye la tabla de distribución de probabilidad de \(Y\).
El espacio muestral tiene \(5\) resultados posibles:
\[ S=\{-2,-1,0,1,2\} \]
Calculamos los valores de \(Y\):
| Resultado | Valor de \(Y\) |
|---|---|
| \(-2\) | \(2\) |
| \(-1\) | \(1\) |
| \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(2\) |
Entonces la distribución es:
| \(y\) | \(P(Y=y)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(\frac{1}{5}\) |
| \(1\) | \(\frac{2}{5}\) |
| \(2\) | \(\frac{2}{5}\) |
Verificación:
\[ \frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=1 \]
Ejercicio 7
Se elige al azar un estudiante de un grupo de \(12\) personas. La cantidad de mascotas de cada estudiante es:
\[ 0,\quad 1,\quad 2,\quad 1,\quad 0,\quad 3,\quad 2,\quad 1,\quad 0,\quad 2,\quad 4,\quad 1 \]
Definimos:
\[ M=\text{número de mascotas del estudiante elegido} \]
Construye la tabla de distribución de probabilidad de \(M\).
Los valores posibles de \(M\) son:
\[ M\in\{0,1,2,3,4\} \]
Contamos cuántas veces aparece cada valor:
| \(m\) | Cantidad de estudiantes | \(P(M=m)\) |
|---|---|---|
| \(0\) | \(3\) | \(\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\) |
| \(1\) | \(4\) | \(\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\) |
| \(2\) | \(3\) | \(\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\) |
| \(3\) | \(1\) | \(\frac{1}{12}\) |
| \(4\) | \(1\) | \(\frac{1}{12}\) |
Verificamos la suma:
\[ \frac{3}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12} =\frac{12}{12}=1 \]
Ejercicio 8
Indica si la siguiente tabla puede ser una distribución de probabilidad. Justifica.
| \(x\) | \(P(X=x)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}2\) |
| \(1\) | \(0{,}5\) |
| \(2\) | \(0{,}3\) |
Revisamos las condiciones:
Cada probabilidad está entre \(0\) y \(1\):
\[ 0\leq 0{,}2,\quad 0{,}5,\quad 0{,}3\leq 1 \]
Además, suman:
\[ 0{,}2+0{,}5+0{,}3=1 \]
Por lo tanto, sí puede ser una distribución de probabilidad.
Ejercicio 9
Indica si la siguiente tabla puede ser una distribución de probabilidad. Justifica.
| \(x\) | \(P(X=x)\) |
|---|---|
| \(1\) | \(0{,}4\) |
| \(2\) | \(0{,}4\) |
| \(3\) | \(0{,}4\) |
Las probabilidades son no negativas y menores que \(1\), pero debemos revisar la suma:
\[ 0{,}4+0{,}4+0{,}4=1{,}2 \]
Como la suma es mayor que \(1\), la tabla no puede ser una distribución de probabilidad válida.
Ejercicio 10
Completa la tabla para que sea una distribución de probabilidad válida.
| \(x\) | \(P(X=x)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}25\) |
| \(1\) | \(p\) |
| \(2\) | \(0{,}35\) |
Para que sea una distribución válida, las probabilidades deben sumar \(1\):
\[ 0{,}25+p+0{,}35=1 \]
Sumamos los valores conocidos:
\[ 0{,}60+p=1 \]
Despejamos:
\[ p=1-0{,}60=0{,}40 \]
Por lo tanto:
\[ p=0{,}40 \]
Ejercicio 11
Observa el gráfico de distribución de una variable aleatoria \(X\).
a) ¿Cuál es el valor más probable de \(X\)?
b) Calcula \(P(X\geq 2)\).
c) Verifica si el gráfico representa una distribución válida.
Del gráfico se interpreta:
| \(x\) | \(P(X=x)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}1\) |
| \(1\) | \(0{,}4\) |
| \(2\) | \(0{,}3\) |
| \(3\) | \(0{,}2\) |
a) El valor más probable es \(X=1\), porque tiene la mayor probabilidad: \(0{,}4\).
b) Para calcular \(P(X\geq 2)\), sumamos:
\[ P(X\geq 2)=P(X=2)+P(X=3) \]
\[ P(X\geq 2)=0{,}3+0{,}2=0{,}5 \]
c) Verificamos la suma total:
\[ 0{,}1+0{,}4+0{,}3+0{,}2=1 \]
Como todas las probabilidades están entre \(0\) y \(1\), y la suma total es \(1\), el gráfico representa una distribución válida.
Ejercicio 12
Un estudiante dice:
“Si una tabla tiene tres valores posibles, entonces las probabilidades deben ser \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{3}\) y \(\frac{1}{3}\)”.
¿Es correcta esta afirmación? Explica usando el caso de dos monedas y \(X=\text{número de caras}\).
La afirmación no siempre es correcta.
Al lanzar dos monedas y definir \(X=\text{número de caras}\), los valores posibles son:
\[ X\in\{0,1,2\} \]
Pero no todos los valores aparecen la misma cantidad de veces en el espacio muestral:
| Valor de \(X\) | Resultados que lo producen | Probabilidad |
|---|---|---|
| \(0\) | \((\text{sello},\text{sello})\) | \(\frac{1}{4}\) |
| \(1\) | \((\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara})\) | \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) |
| \(2\) | \((\text{cara},\text{cara})\) | \(\frac{1}{4}\) |
Por lo tanto, la distribución correcta es:
\[ P(X=0)=\frac{1}{4},\qquad P(X=1)=\frac{1}{2},\qquad P(X=2)=\frac{1}{4} \]
Aunque hay tres valores posibles, no tienen necesariamente la misma probabilidad.
Para continuar
En la próxima página se profundizará en la representación gráfica de distribuciones de probabilidad y en su interpretación.