Libro de variables aleatorias y probabilidad social
5. Gráfico de una distribución de probabilidad
Objetivos de la página
- Representar gráficamente una distribución de probabilidad de una variable aleatoria finita.
- Interpretar la altura de cada barra como una probabilidad.
- Leer probabilidades desde un gráfico de distribución.
- Verificar si un gráfico representa una distribución de probabilidad válida.
Gráfico de distribución
Una distribución de probabilidad de una variable aleatoria finita se puede representar mediante un gráfico de barras.
En este tipo de gráfico:
- En el eje horizontal se ubican los valores posibles de la variable aleatoria.
- En el eje vertical se representa la probabilidad de cada valor.
- La altura de cada barra corresponde a \(P(X=x)\).
Cómo construir el gráfico
Para graficar una distribución de probabilidad:
- Identifica los valores posibles de la variable aleatoria.
- Calcula o lee la probabilidad asociada a cada valor.
- Dibuja una barra para cada valor.
- La altura de cada barra debe coincidir con su probabilidad.
- Verifica que la suma de las probabilidades sea \(1\).
Ejemplo 1: gráfico para dos monedas
Se lanzan dos monedas. Definimos:
\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]
La distribución de probabilidad de \(X\) es:
| \(x\) | \(P(X=x)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(\frac{1}{4}=0{,}25\) |
| \(1\) | \(\frac{1}{2}=0{,}50\) |
| \(2\) | \(\frac{1}{4}=0{,}25\) |
El gráfico correspondiente es:
La barra más alta corresponde a \(X=1\), porque obtener exactamente una cara es el valor más probable.
Ejemplo 2: leer una distribución desde un gráfico
Observa el siguiente gráfico de una variable aleatoria \(Y\):
Desde el gráfico se obtiene la siguiente tabla:
| \(y\) | \(P(Y=y)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}2\) |
| \(1\) | \(0{,}3\) |
| \(2\) | \(0{,}4\) |
| \(3\) | \(0{,}1\) |
El valor más probable es \(Y=2\), porque su barra es la más alta.
Además, la distribución es válida porque:
\[ 0{,}2+0{,}3+0{,}4+0{,}1=1 \]
Ejemplo 3: gráfico a partir de datos
Se elige al azar un estudiante de un grupo de \(10\) personas. La cantidad de hermanos de cada estudiante es:
\[ 0,\quad 1,\quad 1,\quad 2,\quad 0,\quad 3,\quad 1,\quad 2,\quad 4,\quad 0 \]
Definimos:
\[ X=\text{número de hermanos del estudiante elegido} \]
| \(x\) | Cantidad de estudiantes | \(P(X=x)\) |
|---|---|---|
| \(0\) | \(3\) | \(\frac{3}{10}=0{,}3\) |
| \(1\) | \(3\) | \(\frac{3}{10}=0{,}3\) |
| \(2\) | \(2\) | \(\frac{2}{10}=0{,}2\) |
| \(3\) | \(1\) | \(\frac{1}{10}=0{,}1\) |
| \(4\) | \(1\) | \(\frac{1}{10}=0{,}1\) |
El gráfico de la distribución es:
Los valores más probables son \(X=0\) y \(X=1\), ambos con probabilidad \(0{,}3\).
Error frecuente
No se debe interpretar la altura de una barra como cantidad de casos si el gráfico representa una distribución de probabilidad.
En una distribución, la altura representa una probabilidad. Por eso, las alturas deben sumar \(1\).
Lectura rápida del gráfico
En un gráfico de distribución, la barra más alta indica el valor más probable de la variable aleatoria.
Para calcular probabilidades compuestas, se suman las alturas de las barras correspondientes.
Por ejemplo:
\[ P(X\geq 2)=P(X=2)+P(X=3)+\cdots \]
Ejercicio 1
Se lanza una moneda una vez. Definimos:
\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]
Construye la tabla de distribución y describe cómo debe ser su gráfico.
Al lanzar una moneda una vez:
\[ S=\{\text{cara},\text{sello}\} \]
Si sale sello, \(X=0\). Si sale cara, \(X=1\).
| \(x\) | \(P(X=x)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(\frac{1}{2}=0{,}5\) |
| \(1\) | \(\frac{1}{2}=0{,}5\) |
El gráfico debe tener dos barras, una en \(x=0\) y otra en \(x=1\), ambas con altura \(0{,}5\).
La distribución es válida porque:
\[ 0{,}5+0{,}5=1 \]
Ejercicio 2
Se lanza un dado común. Definimos:
\[ X=\text{número obtenido} \]
Construye la tabla de distribución y describe las alturas de las barras del gráfico.
Los valores posibles son:
\[ X\in\{1,2,3,4,5,6\} \]
Como el dado es común, cada resultado tiene probabilidad \(\frac{1}{6}\).
| \(x\) | \(P(X=x)\) |
|---|---|
| \(1\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(2\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(3\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(4\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(5\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(6\) | \(\frac{1}{6}\) |
El gráfico debe tener seis barras de igual altura, una para cada valor de \(1\) a \(6\).
La suma de probabilidades es:
\[ 6\cdot \frac{1}{6}=1 \]
Ejercicio 3
Observa el gráfico de distribución de una variable aleatoria \(X\):
a) Escribe la tabla de distribución.
b) ¿Cuál es el valor más probable?
c) Calcula \(P(X\geq 1)\).
a) Desde el gráfico se lee:
| \(x\) | \(P(X=x)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}2\) |
| \(1\) | \(0{,}5\) |
| \(2\) | \(0{,}3\) |
b) El valor más probable es \(X=1\), porque tiene la barra más alta: \(0{,}5\).
c) Calculamos:
\[ P(X\geq 1)=P(X=1)+P(X=2) \]
\[ P(X\geq 1)=0{,}5+0{,}3=0{,}8 \]
Ejercicio 4
Observa el gráfico de distribución de una variable aleatoria \(Y\):
a) Calcula \(P(Y=2)\).
b) Calcula \(P(Y\leq 1)\).
c) Calcula \(P(Y>1)\).
d) Verifica si el gráfico representa una distribución válida.
Del gráfico se lee:
\[ P(Y=0)=0{,}1,\quad P(Y=1)=0{,}2,\quad P(Y=2)=0{,}4,\quad P(Y=3)=0{,}3 \]
a)
\[ P(Y=2)=0{,}4 \]
b)
\[ P(Y\leq 1)=P(Y=0)+P(Y=1) \]
\[ P(Y\leq 1)=0{,}1+0{,}2=0{,}3 \]
c)
\[ P(Y>1)=P(Y=2)+P(Y=3) \]
\[ P(Y>1)=0{,}4+0{,}3=0{,}7 \]
d) Verificamos la suma total:
\[ 0{,}1+0{,}2+0{,}4+0{,}3=1 \]
Por lo tanto, sí representa una distribución válida.
Ejercicio 5
Observa el siguiente gráfico:
¿Representa una distribución de probabilidad válida? Justifica.
Para que el gráfico represente una distribución válida, las probabilidades deben sumar \(1\).
Del gráfico se lee:
\[ P(X=0)=0{,}3,\quad P(X=1)=0{,}3,\quad P(X=2)=0{,}3 \]
Sumamos:
\[ 0{,}3+0{,}3+0{,}3=0{,}9 \]
Como la suma es \(0{,}9\), no representa una distribución completa de probabilidad.
Ejercicio 6
Completa la tabla para que sea una distribución de probabilidad válida. Luego describe el gráfico correspondiente.
| \(x\) | \(P(X=x)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}15\) |
| \(1\) | \(p\) |
| \(2\) | \(0{,}35\) |
| \(3\) | \(0{,}20\) |
Para que sea una distribución válida, la suma de probabilidades debe ser \(1\):
\[ 0{,}15+p+0{,}35+0{,}20=1 \]
Sumamos las probabilidades conocidas:
\[ 0{,}15+0{,}35+0{,}20=0{,}70 \]
Entonces:
\[ 0{,}70+p=1 \]
\[ p=0{,}30 \]
| \(x\) | \(P(X=x)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}15\) |
| \(1\) | \(0{,}30\) |
| \(2\) | \(0{,}35\) |
| \(3\) | \(0{,}20\) |
El gráfico debe tener cuatro barras, con alturas \(0{,}15\), \(0{,}30\), \(0{,}35\) y \(0{,}20\). La barra más alta corresponde a \(X=2\).
Ejercicio 7
Se elige al azar un estudiante de un grupo de \(12\) personas. La cantidad de mascotas de cada estudiante es:
\[ 0,\quad 1,\quad 2,\quad 1,\quad 0,\quad 3,\quad 2,\quad 1,\quad 0,\quad 2,\quad 4,\quad 1 \]
Definimos:
\[ M=\text{número de mascotas del estudiante elegido} \]
a) Construye la tabla de distribución de probabilidad.
b) Indica qué barras serían las más altas en el gráfico.
Contamos cuántas veces aparece cada valor:
\[ 0:\,3\text{ veces},\quad 1:\,4\text{ veces},\quad 2:\,3\text{ veces},\quad 3:\,1\text{ vez},\quad 4:\,1\text{ vez} \]
| \(m\) | Cantidad | \(P(M=m)\) |
|---|---|---|
| \(0\) | \(3\) | \(\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\) |
| \(1\) | \(4\) | \(\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\) |
| \(2\) | \(3\) | \(\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\) |
| \(3\) | \(1\) | \(\frac{1}{12}\) |
| \(4\) | \(1\) | \(\frac{1}{12}\) |
La barra más alta sería la de \(M=1\), porque tiene probabilidad \(\frac{1}{3}\), que es la mayor de la distribución.
Verificamos:
\[ \frac{3}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12} =\frac{12}{12}=1 \]
Ejercicio 8
Se lanzan dos monedas. Definimos:
\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]
Un estudiante afirma que el gráfico de la distribución debe tener tres barras de la misma altura porque \(X\) puede tomar tres valores: \(0\), \(1\) y \(2\).
¿Es correcta la afirmación? Justifica.
No es correcta.
Aunque \(X\) puede tomar tres valores, esos valores no ocurren con la misma probabilidad.
El espacio muestral es:
\[ S=\{(\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara}),(\text{sello},\text{sello})\} \]
Entonces:
| \(x\) | Resultados que producen \(X=x\) | \(P(X=x)\) |
|---|---|---|
| \(0\) | \((\text{sello},\text{sello})\) | \(\frac{1}{4}\) |
| \(1\) | \((\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara})\) | \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) |
| \(2\) | \((\text{cara},\text{cara})\) | \(\frac{1}{4}\) |
El gráfico debe tener barras de alturas \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{2}\) y \(\frac{1}{4}\), no tres barras iguales.
Ejercicio 9
Una aplicación muestra al azar un contenido. Se define:
\[ A=1 \text{ si el contenido es un anuncio} \]
\[ A=0 \text{ si el contenido no es un anuncio} \]
Observa la distribución:
a) Interpreta \(P(A=1)\).
b) Interpreta \(P(A=0)\).
c) ¿Qué es más probable: ver un anuncio o ver un contenido que no sea anuncio?
Del gráfico se lee:
\[ P(A=0)=0{,}75,\qquad P(A=1)=0{,}25 \]
a) \(P(A=1)=0{,}25\) significa que la probabilidad de que el contenido mostrado sea un anuncio es \(0{,}25\), es decir, \(25\%\).
b) \(P(A=0)=0{,}75\) significa que la probabilidad de que el contenido mostrado no sea un anuncio es \(0{,}75\), es decir, \(75\%\).
c) Es más probable ver un contenido que no sea anuncio, porque \(0{,}75>0{,}25\).
Ejercicio 10
Al lanzar dos monedas, con \(X=\text{número de caras}\), un estudiante dibuja barras de alturas \(1\), \(2\) y \(1\), y dice que ese es el gráfico de distribución de probabilidad.
¿Cuál es el problema? Corrige el gráfico en términos de probabilidades.
Las alturas \(1\), \(2\) y \(1\) representan cantidades de resultados, no probabilidades.
Para obtener la distribución de probabilidad, se debe dividir cada cantidad por el total de resultados posibles, que es \(4\).
Entonces:
\[ P(X=0)=\frac{1}{4} \]
\[ P(X=1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]
\[ P(X=2)=\frac{1}{4} \]
| \(x\) | Altura correcta de la barra |
|---|---|
| \(0\) | \(\frac{1}{4}=0{,}25\) |
| \(1\) | \(\frac{1}{2}=0{,}50\) |
| \(2\) | \(\frac{1}{4}=0{,}25\) |
El gráfico de distribución de probabilidad debe usar estas alturas, cuya suma es:
\[ 0{,}25+0{,}50+0{,}25=1 \]
Para continuar
En la próxima página se interpretarán distribuciones de probabilidad para comparar valores, justificar conclusiones y responder preguntas en distintos contextos.