Libro de variables aleatorias y probabilidad social
6. Interpretación de distribuciones de probabilidad
Objetivos de la página
- Interpretar tablas y gráficos de distribuciones de probabilidad.
- Identificar valores más probables y menos probables de una variable aleatoria finita.
- Calcular probabilidades usando expresiones como \(P(X\leq a)\), \(P(X\geq a)\) y \(P(a\leq X\leq b)\).
- Justificar conclusiones a partir de una distribución de probabilidad.
Interpretar una distribución
Interpretar una distribución de probabilidad significa explicar qué nos dice la tabla o el gráfico sobre el comportamiento de una variable aleatoria.
Por ejemplo, una distribución permite responder preguntas como:
- ¿Qué valor es más probable?
- ¿Qué valor es menos probable?
- ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor mayor o igual que cierto número?
- ¿Qué conclusión se puede justificar con los datos?
Probabilidades con varios valores
Si una variable aleatoria \(X\) puede tomar varios valores, algunas probabilidades se obtienen sumando las probabilidades correspondientes.
Por ejemplo:
\[ P(X\geq 2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+\cdots \]
\[ P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1) \]
\[ P(1\leq X\leq 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) \]
Ejemplo 1: interpretar una tabla de distribución
Una variable aleatoria \(X\) tiene la siguiente distribución de probabilidad:
| \(x\) | \(P(X=x)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}10\) |
| \(1\) | \(0{,}30\) |
| \(2\) | \(0{,}40\) |
| \(3\) | \(0{,}20\) |
El valor más probable es \(X=2\), porque tiene la mayor probabilidad: \(0{,}40\).
El valor menos probable es \(X=0\), porque tiene la menor probabilidad: \(0{,}10\).
Además:
\[ P(X\geq 2)=P(X=2)+P(X=3)=0{,}40+0{,}20=0{,}60 \]
Esto significa que la probabilidad de que \(X\) sea \(2\) o más es \(0{,}60\), es decir, \(60\%\).
Ejemplo 2: interpretar un gráfico de distribución
Observa el siguiente gráfico de una variable aleatoria \(Y\):
Del gráfico se lee:
| \(y\) | \(P(Y=y)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}15\) |
| \(1\) | \(0{,}25\) |
| \(2\) | \(0{,}35\) |
| \(3\) | \(0{,}25\) |
El valor más probable es \(Y=2\), porque su barra es la más alta.
Calculamos:
\[ P(Y\leq 1)=P(Y=0)+P(Y=1)=0{,}15+0{,}25=0{,}40 \]
\[ P(Y>1)=P(Y=2)+P(Y=3)=0{,}35+0{,}25=0{,}60 \]
Por lo tanto, es más probable que \(Y\) sea mayor que \(1\) a que sea menor o igual que \(1\).
Ejemplo 3: interpretar en un contexto
En una encuesta, se elige al azar a un estudiante y se registra la cantidad de horas diarias que dedica a estudiar fuera del horario de clases. Se define:
\[ H=\text{número de horas de estudio diario} \]
| \(h\) | \(P(H=h)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}20\) |
| \(1\) | \(0{,}45\) |
| \(2\) | \(0{,}25\) |
| \(3\) | \(0{,}10\) |
La mayor probabilidad corresponde a \(H=1\), con \(0{,}45\).
Esto permite afirmar que, según esta distribución, lo más probable es elegir un estudiante que estudia \(1\) hora diaria fuera del horario de clases.
Además:
\[ P(H\geq 2)=P(H=2)+P(H=3)=0{,}25+0{,}10=0{,}35 \]
Entonces, la probabilidad de elegir un estudiante que estudia al menos \(2\) horas diarias es \(0{,}35\).
Error frecuente
No basta con decir “la barra es alta” o “la barra es baja”. Una interpretación debe mencionar el valor de la variable, la probabilidad correspondiente y lo que significa en el contexto.
Por ejemplo, es mejor decir: “La probabilidad de que \(H=1\) es \(0{,}45\), por lo tanto, lo más probable es elegir un estudiante que estudia \(1\) hora diaria”.
Interpretar con cuidado
Una probabilidad alta no significa que el resultado ocurrirá con seguridad. Solo indica que ese valor tiene mayor posibilidad de ocurrir que otros, según la distribución dada.
Ejercicio 1
Una variable aleatoria \(X\) tiene la siguiente distribución:
| \(x\) | \(P(X=x)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}20\) |
| \(1\) | \(0{,}50\) |
| \(2\) | \(0{,}30\) |
a) ¿Cuál es el valor más probable de \(X\)?
b) ¿Cuál es el valor menos probable de \(X\)?
c) Calcula \(P(X\geq 1)\).
a) El valor más probable es \(X=1\), porque tiene la mayor probabilidad:
\[ P(X=1)=0{,}50 \]
b) El valor menos probable es \(X=0\), porque tiene la menor probabilidad:
\[ P(X=0)=0{,}20 \]
c) Para calcular \(P(X\geq 1)\), sumamos las probabilidades de \(X=1\) y \(X=2\):
\[ P(X\geq 1)=P(X=1)+P(X=2) \]
\[ P(X\geq 1)=0{,}50+0{,}30=0{,}80 \]
Ejercicio 2
Observa el gráfico de distribución de una variable aleatoria \(Y\):
a) Escribe la tabla de distribución.
b) ¿Cuál es el valor más probable?
c) Calcula \(P(Y\leq 1)\).
a) Desde el gráfico se obtiene:
| \(y\) | \(P(Y=y)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}30\) |
| \(1\) | \(0{,}20\) |
| \(2\) | \(0{,}40\) |
| \(3\) | \(0{,}10\) |
b) El valor más probable es \(Y=2\), porque tiene la probabilidad más alta:
\[ P(Y=2)=0{,}40 \]
c)
\[ P(Y\leq 1)=P(Y=0)+P(Y=1) \]
\[ P(Y\leq 1)=0{,}30+0{,}20=0{,}50 \]
Ejercicio 3
Una variable aleatoria \(Z\) tiene la siguiente distribución:
| \(z\) | \(P(Z=z)\) |
|---|---|
| \(1\) | \(0{,}15\) |
| \(2\) | \(0{,}25\) |
| \(3\) | \(0{,}35\) |
| \(4\) | \(0{,}25\) |
a) Calcula \(P(Z\geq 3)\).
b) Calcula \(P(2\leq Z\leq 4)\).
c) Calcula \(P(Z<3)\).
a) Para \(Z\geq 3\), consideramos \(Z=3\) y \(Z=4\):
\[ P(Z\geq 3)=P(Z=3)+P(Z=4) \]
\[ P(Z\geq 3)=0{,}35+0{,}25=0{,}60 \]
b) Para \(2\leq Z\leq 4\), consideramos \(Z=2\), \(Z=3\) y \(Z=4\):
\[ P(2\leq Z\leq 4)=P(Z=2)+P(Z=3)+P(Z=4) \]
\[ P(2\leq Z\leq 4)=0{,}25+0{,}35+0{,}25=0{,}85 \]
c) Para \(Z<3\), consideramos \(Z=1\) y \(Z=2\):
\[ P(Z<3)=P(Z=1)+P(Z=2) \]
\[ P(Z<3)=0{,}15+0{,}25=0{,}40 \]
Ejercicio 4
En un curso, se elige al azar un estudiante y se registra cuántas actividades deportivas realiza durante la semana. La distribución es:
| \(d\) | \(P(D=d)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}25\) |
| \(1\) | \(0{,}35\) |
| \(2\) | \(0{,}30\) |
| \(3\) | \(0{,}10\) |
a) ¿Qué cantidad de actividades deportivas es más probable?
b) Calcula la probabilidad de que un estudiante realice al menos una actividad deportiva.
c) Interpreta el resultado anterior en el contexto.
a) La cantidad más probable es \(D=1\), porque:
\[ P(D=1)=0{,}35 \]
es la mayor probabilidad de la tabla.
b) “Al menos una actividad” significa \(D\geq 1\). Entonces:
\[ P(D\geq 1)=P(D=1)+P(D=2)+P(D=3) \]
\[ P(D\geq 1)=0{,}35+0{,}30+0{,}10=0{,}75 \]
c) Esto significa que la probabilidad de elegir un estudiante que realiza una o más actividades deportivas durante la semana es \(0{,}75\), es decir, \(75\%\).
Ejercicio 5
Observa el gráfico asociado a una variable aleatoria \(A\), donde \(A=1\) representa “ver un anuncio” y \(A=0\) representa “no ver un anuncio”.
a) Interpreta \(P(A=1)\).
b) Interpreta \(P(A=0)\).
c) ¿Qué es más probable según la distribución?
Del gráfico se lee:
\[ P(A=0)=0{,}70,\qquad P(A=1)=0{,}30 \]
a) \(P(A=1)=0{,}30\) significa que la probabilidad de ver un anuncio es \(0{,}30\), es decir, \(30\%\).
b) \(P(A=0)=0{,}70\) significa que la probabilidad de no ver un anuncio es \(0{,}70\), es decir, \(70\%\).
c) Es más probable no ver un anuncio, porque:
\[ 0{,}70>0{,}30 \]
Ejercicio 6
Una variable aleatoria \(X\) tiene la siguiente distribución:
| \(x\) | \(P(X=x)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}05\) |
| \(1\) | \(0{,}15\) |
| \(2\) | \(0{,}50\) |
| \(3\) | \(0{,}30\) |
a) ¿Es más probable que \(X\) sea menor que \(2\) o que \(X\) sea mayor o igual que \(2\)?
b) Justifica con cálculos.
Calculamos primero:
\[ P(X<2)=P(X=0)+P(X=1) \]
\[ P(X<2)=0{,}05+0{,}15=0{,}20 \]
Ahora calculamos:
\[ P(X\geq 2)=P(X=2)+P(X=3) \]
\[ P(X\geq 2)=0{,}50+0{,}30=0{,}80 \]
Como:
\[ 0{,}80>0{,}20 \]
es más probable que \(X\) sea mayor o igual que \(2\).
Ejercicio 7
Observa el gráfico de una variable aleatoria \(R\):
a) ¿Cuál es el valor más probable?
b) Calcula \(P(R\leq 2)\).
c) Calcula \(P(R\geq 3)\).
d) ¿Qué evento es más probable: \(R\leq 2\) o \(R\geq 3\)?
Del gráfico se lee:
\[ P(R=0)=0{,}05,\quad P(R=1)=0{,}15,\quad P(R=2)=0{,}25,\quad P(R=3)=0{,}35,\quad P(R=4)=0{,}20 \]
a) El valor más probable es \(R=3\), porque tiene la mayor probabilidad: \(0{,}35\).
b)
\[ P(R\leq 2)=P(R=0)+P(R=1)+P(R=2) \]
\[ P(R\leq 2)=0{,}05+0{,}15+0{,}25=0{,}45 \]
c)
\[ P(R\geq 3)=P(R=3)+P(R=4) \]
\[ P(R\geq 3)=0{,}35+0{,}20=0{,}55 \]
d) Es más probable \(R\geq 3\), porque:
\[ 0{,}55>0{,}45 \]
Ejercicio 8
En una plataforma educativa, se elige al azar una actividad completada por un estudiante. La variable \(T\) representa el tiempo usado, en minutos, aproximado a una de estas categorías:
| \(t\) | \(P(T=t)\) |
|---|---|
| \(10\) | \(0{,}20\) |
| \(20\) | \(0{,}40\) |
| \(30\) | \(0{,}25\) |
| \(40\) | \(0{,}15\) |
a) ¿Cuál es el tiempo más probable?
b) Calcula \(P(T\geq 30)\).
c) Interpreta \(P(T\geq 30)\) en el contexto.
a) El tiempo más probable es \(20\) minutos, porque:
\[ P(T=20)=0{,}40 \]
es la mayor probabilidad de la tabla.
b) Calculamos:
\[ P(T\geq 30)=P(T=30)+P(T=40) \]
\[ P(T\geq 30)=0{,}25+0{,}15=0{,}40 \]
c) Esto significa que la probabilidad de elegir una actividad completada en \(30\) minutos o más es \(0{,}40\), es decir, \(40\%\).
Ejercicio 9
Una variable aleatoria \(N\) tiene la siguiente distribución:
| \(n\) | \(P(N=n)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}12\) |
| \(1\) | \(0{,}18\) |
| \(2\) | \(0{,}30\) |
| \(3\) | \(0{,}25\) |
| \(4\) | \(0{,}15\) |
Determina si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica.
a) El valor más probable es \(N=2\).
b) \(P(N\leq 1)=0{,}30\).
c) Es más probable que \(N\geq 3\) a que \(N<2\).
a) Verdadera. La mayor probabilidad es \(0{,}30\), correspondiente a \(N=2\).
b) Verdadera, porque:
\[ P(N\leq 1)=P(N=0)+P(N=1) \]
\[ P(N\leq 1)=0{,}12+0{,}18=0{,}30 \]
c) Calculamos:
\[ P(N\geq 3)=P(N=3)+P(N=4)=0{,}25+0{,}15=0{,}40 \]
\[ P(N<2)=P(N=0)+P(N=1)=0{,}12+0{,}18=0{,}30 \]
Como \(0{,}40>0{,}30\), la afirmación es verdadera.
Ejercicio 10
Una distribución de probabilidad se muestra en el siguiente gráfico:
Un estudiante afirma: “Todos los valores son igualmente probables”.
a) ¿Es correcta la afirmación?
b) Calcula \(P(X\geq 3)\).
c) Calcula \(P(X<3)\).
a) Sí, la afirmación es correcta, porque todas las barras tienen la misma altura:
\[ 0{,}25 \]
Por lo tanto, todos los valores tienen la misma probabilidad.
b)
\[ P(X\geq 3)=P(X=3)+P(X=4) \]
\[ P(X\geq 3)=0{,}25+0{,}25=0{,}50 \]
c)
\[ P(X<3)=P(X=1)+P(X=2) \]
\[ P(X<3)=0{,}25+0{,}25=0{,}50 \]
Ejercicio 11
En una encuesta, se elige al azar una respuesta sobre satisfacción con un servicio. La variable \(S\) se define así:
\[ S=1 \text{ baja},\quad S=2 \text{ media},\quad S=3 \text{ alta} \]
La distribución es:
| \(s\) | Interpretación | \(P(S=s)\) |
|---|---|---|
| \(1\) | baja | \(0{,}25\) |
| \(2\) | media | \(0{,}50\) |
| \(3\) | alta | \(0{,}25\) |
a) ¿Cuál es la respuesta más probable?
b) Calcula la probabilidad de que la satisfacción sea media o alta.
c) Escribe una conclusión contextual.
a) La respuesta más probable es satisfacción media, porque:
\[ P(S=2)=0{,}50 \]
es la mayor probabilidad.
b) Satisfacción media o alta corresponde a \(S=2\) o \(S=3\):
\[ P(S=2 \text{ o } S=3)=P(S=2)+P(S=3) \]
\[ P(S=2 \text{ o } S=3)=0{,}50+0{,}25=0{,}75 \]
c) Una conclusión posible es: según esta distribución, la probabilidad de elegir una respuesta de satisfacción media o alta es \(0{,}75\), por lo que la mayoría de las respuestas se concentra en valoraciones no bajas.
Ejercicio 12
Un estudiante interpreta la siguiente distribución:
| \(x\) | \(P(X=x)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}05\) |
| \(1\) | \(0{,}10\) |
| \(2\) | \(0{,}60\) |
| \(3\) | \(0{,}25\) |
El estudiante dice: “Como \(X=2\) tiene probabilidad \(0{,}60\), entonces siempre ocurrirá \(X=2\)”.
¿Cuál es el error de interpretación? Corrige la afirmación.
El error es confundir una probabilidad alta con una certeza.
Que \(P(X=2)=0{,}60\) significa que \(X=2\) es el valor más probable, pero no significa que ocurrirá siempre.
Para que ocurriera siempre, su probabilidad tendría que ser \(1\).
Una interpretación correcta sería:
“Según la distribución, \(X=2\) es el valor más probable, con probabilidad \(0{,}60\), pero también pueden ocurrir otros valores”.
Para continuar
En la próxima página se compararán dos distribuciones de probabilidad para decidir cuál tiene mayor concentración, mayor probabilidad en ciertos valores o mejor ajuste a una situación.