Libro de variables aleatorias y probabilidad social

a) En la Distribución A, el valor más probable es \(X=1\), porque:

\[ P_A(X=1)=0{,}50 \]

En la Distribución B, el valor más probable es \(X=0\), porque:

\[ P_B(X=0)=0{,}40 \]

b) Calculamos:

\[ P_A(X\geq 1)=P_A(X=1)+P_A(X=2)=0{,}50+0{,}30=0{,}80 \]

\[ P_B(X\geq 1)=P_B(X=1)+P_B(X=2)=0{,}30+0{,}30=0{,}60 \]

c) Es más probable obtener \(1\) o más en la Distribución A, porque:

\[ 0{,}80>0{,}60 \]

Del gráfico de \(X\):

\[ P(X=0)=0{,}15,\quad P(X=1)=0{,}25,\quad P(X=2)=0{,}35,\quad P(X=3)=0{,}25 \]

Del gráfico de \(Y\):

\[ P(Y=0)=0{,}25,\quad P(Y=1)=0{,}35,\quad P(Y=2)=0{,}25,\quad P(Y=3)=0{,}15 \]

a) El valor más probable de \(X\) es \(2\), con probabilidad \(0{,}35\).

b) El valor más probable de \(Y\) es \(1\), con probabilidad \(0{,}35\).

c)

\[ P(X\geq 2)=P(X=2)+P(X=3)=0{,}35+0{,}25=0{,}60 \]

\[ P(Y\geq 2)=P(Y=2)+P(Y=3)=0{,}25+0{,}15=0{,}40 \]

d) La distribución de \(X\) asigna mayor probabilidad a valores \(2\) o superiores, porque \(0{,}60>0{,}40\).

a) Satisfacción media o alta corresponde a \(S=2\) o \(S=3\).

Para el Curso A:

\[ P_A(S\geq 2)=P_A(S=2)+P_A(S=3)=0{,}45+0{,}35=0{,}80 \]

Para el Curso B:

\[ P_B(S\geq 2)=P_B(S=2)+P_B(S=3)=0{,}40+0{,}25=0{,}65 \]

b) Es mayor en el Curso A, porque:

\[ 0{,}80>0{,}65 \]

c) Una conclusión posible es: según estas distribuciones, en el Curso A es más probable encontrar estudiantes con satisfacción media o alta respecto de la actividad.

a) Verdadera. En la Distribución B, todos los valores tienen probabilidad \(0{,}25\), por lo tanto es uniforme.

b) Verdadera. En la Distribución A, la mayor probabilidad es \(0{,}50\), correspondiente a \(X=2\).

c) Falsa. Calculamos:

\[ P_A(X\geq 2)=P_A(X=2)+P_A(X=3)=0{,}50+0{,}30=0{,}80 \]

\[ P_B(X\geq 2)=P_B(X=2)+P_B(X=3)=0{,}25+0{,}25=0{,}50 \]

Por lo tanto, no son iguales.

a) No tener retrasos significa \(R=0\).

En el Recorrido A:

\[ P_A(R=0)=0{,}50 \]

En el Recorrido B:

\[ P_B(R=0)=0{,}30 \]

Es más probable no tener retrasos en el Recorrido A.

b) Dos o más retrasos significa \(R\geq 2\).

\[ P_A(R\geq 2)=P_A(R=2)+P_A(R=3)=0{,}15+0{,}05=0{,}20 \]

\[ P_B(R\geq 2)=P_B(R=2)+P_B(R=3)=0{,}25+0{,}10=0{,}35 \]

c) El Recorrido A parece más conveniente si se quiere reducir la probabilidad de muchos retrasos, porque \(0{,}20<0{,}35\).

a) Para que la Distribución B sea válida, sus probabilidades deben sumar \(1\):

\[ 0{,}10+0{,}20+p+0{,}40=1 \]

\[ 0{,}70+p=1 \]

\[ p=0{,}30 \]

b) Calculamos:

\[ P_A(X\geq 2)=P_A(X=2)+P_A(X=3)=0{,}30+0{,}20=0{,}50 \]

\[ P_B(X\geq 2)=P_B(X=2)+P_B(X=3)=0{,}30+0{,}40=0{,}70 \]

c) La Distribución B asigna mayor probabilidad a valores \(2\) o superiores, porque \(0{,}70>0{,}50\).

a) Valores bajos corresponden a \(0\) o \(1\).

Para A:

\[ P_A(X\leq 1)=0{,}40+0{,}30=0{,}70 \]

Para B:

\[ P_B(X\leq 1)=0{,}10+0{,}20=0{,}30 \]

La Distribución A tiene mayor probabilidad en valores bajos.

b) Valores altos corresponden a \(2\) o \(3\).

Para A:

\[ P_A(X\geq 2)=0{,}20+0{,}10=0{,}30 \]

Para B:

\[ P_B(X\geq 2)=0{,}30+0{,}40=0{,}70 \]

La Distribución B tiene mayor probabilidad en valores altos.

c) Una conclusión posible es: la Distribución A concentra más probabilidad en valores bajos, mientras que la Distribución B concentra más probabilidad en valores altos.

a) El Grupo 2 tiene distribución uniforme, porque todos los puntajes tienen probabilidad \(0{,}25\).

b) En el Grupo 1:

\[ P_1(P=3)=0{,}40 \]

En el Grupo 2:

\[ P_2(P=3)=0{,}25 \]

Es más probable obtener puntaje \(3\) en el Grupo 1.

c) Calculamos puntaje \(2\) o \(3\):

\[ P_1(P\geq 2)=0{,}30+0{,}40=0{,}70 \]

\[ P_2(P\geq 2)=0{,}25+0{,}25=0{,}50 \]

Es más probable obtener puntaje \(2\) o \(3\) en el Grupo 1.

a) Ver un anuncio corresponde a \(A=1\).

\[ P_A(A=1)=0{,}35 \]

\[ P_B(A=1)=0{,}60 \]

Es más probable ver un anuncio en la Plataforma B.

b) No ver un anuncio corresponde a \(A=0\).

\[ P_A(A=0)=0{,}65 \]

\[ P_B(A=0)=0{,}40 \]

Es más probable no ver un anuncio en la Plataforma A.

c) Es importante considerar el significado de \(A=0\) y \(A=1\), porque no basta con comparar números: se debe saber qué representa cada valor para interpretar correctamente la situación.

La afirmación no es correcta.

Es verdad que ambas distribuciones tienen:

\[ P(X=2)=0{,}40 \]

Pero eso no significa que toda la distribución sea igual. Comparamos los otros valores:

\[ P_A(X=1)=0{,}30,\qquad P_B(X=1)=0{,}10 \]

\[ P_A(X=3)=0{,}30,\qquad P_B(X=3)=0{,}50 \]

Además, en la Distribución A se reparte la probabilidad restante de manera equilibrada entre \(1\) y \(3\), mientras que en la Distribución B hay más concentración en \(3\).

Por lo tanto, las distribuciones no son iguales.

a) Las tablas son:

b)

\[ P(M\geq 2)=P(M=2)+P(M=3)=0{,}30+0{,}20=0{,}50 \]

\[ P(N\geq 2)=P(N=2)+P(N=3)=0{,}35+0{,}45=0{,}80 \]

c) La variable \(N\) tiene mayor probabilidad de tomar valores \(2\) o \(3\), porque \(0{,}80>0{,}50\).

a) El puntaje máximo es \(3\).

En el Grupo A:

\[ P_A(X=3)=0{,}30 \]

En el Grupo B:

\[ P_B(X=3)=0{,}35 \]

La afirmación sobre el puntaje máximo es correcta, porque \(0{,}35>0{,}30\).

b) Calculamos la probabilidad de obtener puntaje \(2\) o \(3\).

Para el Grupo A:

\[ P_A(X\geq 2)=P_A(X=2)+P_A(X=3)=0{,}50+0{,}30=0{,}80 \]

Para el Grupo B:

\[ P_B(X\geq 2)=P_B(X=2)+P_B(X=3)=0{,}20+0{,}35=0{,}55 \]

c) La conclusión no queda completamente justificada si solo se mira el puntaje máximo. Aunque el Grupo B tiene mayor probabilidad de puntaje \(3\), el Grupo A tiene mayor probabilidad de obtener puntaje \(2\) o \(3\).

Por eso, una conclusión más cuidadosa sería: “El Grupo B tiene mayor probabilidad de obtener el puntaje máximo, pero el Grupo A tiene mayor probabilidad de obtener un puntaje alto si consideramos \(2\) o \(3\)”.